DO you have ever studied math?

这两个Bellman Function有不同的含义，第一个是 cake-eating 问题，第二个是 stopping-rule 问题。
举个例子说明这两个问题。假如一个消费者有一笔钱存在银行，利率是$r$，在第t期时本息有$(1+r)x_t$。他每一期从银行取钱出来消费，并把剩下的钱$x_{t+1}$继续存在银行（$0 \leq x_{t+1}\leq (1+r)x_t$）。那么他每期的消费为$c_t=(1+r)x_t-x_{t+1}$，并且获得效用$u(c_t)$，贴现率为$\beta$。他面临一个标准的跨期储蓄问题。建立一个最优问题如(i) ，在这个问题中，消费者每期选择消费多少（$c_t$），储蓄多少（$x_{t+1}$），以最大化其跨期的效用。这个问题对应"加号"的Bellman Function $V(x) = max \{F(x,y)+ \beta V(y)\}$，其中$x$就是$x_t$，$y$就是$x_{t+1}$。

(i) $V(x_t)=\underset{0\leq x_{t+1} \leq (1+r) x_t }{\max} \{u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})\}$

对(i)进行修改得到(ii)，与“逗号”的Bellman function对应的，即$V(x) = max \{x, \beta V(y)\}$。现在消费者每期是考虑的是，要不钱全部取出，要不全部钱继续存在银行，也就是说他每期在$(1+r)x_t$和0这两个数选择。

(ii) $V(x_t)=\underset{ (1+r)x_t \text{ or } 0}{\max} \{u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})\}$

在(ii)中有两种情况：
第一，在$t$期银行的钱全部取出来，那么(ii) 变成
(*)  $V(x_t)=\underset{ (1+r)x_t \text{ or } 0}{\max} \{u((1+r)x_t)+\beta V(0)\}$
第二，在$t$期钱全部继续存在银行，那么(ii) 变成
(**) $V(x_t)=\underset{ (1+r)x_t \text{ or } 0}{\max} \{u(0)+\beta V(x_{t+1})\}$

结合(*)和(**)可以把(ii)写为：
(iii) $V(x_t)=\max \{u((1+r)x_t),\beta V((1+r)x_t)\}$

其实，(i)是消费者每一期吃掉整个蛋糕的一块，把剩下的留到下一期，以最大化他的跨期效用；(iii)是消费者决定在哪一期吃掉整个蛋糕是最优的。（在这个例子中蛋糕每一期都在变大）