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Stochastic Differential Equations An Introduction with Applications Fifth Edition 1. Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.1 Stochastic Analogs of Classical Di&reg;erential Equations . . . . . . . 1 1.2 Filtering Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Stochastic Approach to Deterministic Boundary Value Prob- lems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Optimal Stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Stochastic Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Mathematical Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Some Mathematical Preliminaries : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2.1 Probability Spaces, Random Variables and Stochastic Processes 7 2.2 An Important Example: Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. It^o Integrals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 3.1 Construction of the It^o Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Some properties of the It^o integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Extensions of the It^o integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. The It^o Formula and the Martingale Representation Theo- rem: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 4.1 The 1-dimensional It^o formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 The Multi-dimensional It^o Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3 The Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5. Stochastic Di&reg;erential Equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61 5.1 Examples and Some Solution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 An Existence and Uniqueness Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3 Weak and Strong Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72XVIII Table of Contents 6. The Filtering Problem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 The 1-Dimensional Linear Filtering Problem . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.3 The Multidimensional Linear Filtering Problem . . . . . . . . . . . . 102 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7. Di&reg;usions: Basic Properties : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109 7.1 The Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.2 The Strong Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.3 The Generator of an It^o Di&reg;usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.4 The Dynkin Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.5 The Characteristic Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8. Other Topics in Di&reg;usion Theory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133 8.1 Kolmogorov's Backward Equation. The Resolvent . . . . . . . . . . 133 8.2 The Feynman-Kac Formula. Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.3 The Martingale Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.4 When is an It^o Process a Di&reg;usion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.5 Random Time Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.6 The Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9. Applications to Boundary Value Problems : : : : : : : : : : : : : : : : 167 9.1 The Combined Dirichlet-Poisson Problem. Uniqueness . . . . . . . 167 9.2 The Dirichlet Problem. Regular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.3 The Poisson Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10. Application to Optimal Stopping : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195 10.1 The Time-Homogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.2 The Time-Inhomogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 10.3 Optimal Stopping Problems Involving an Integral . . . . . . . . . . . 212 10.4 Connection with Variational Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11. Application to Stochastic Control : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 225 11.1 Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.2 The Hamilton-Jacobi-Bellman Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11.3 Stochastic control problems with terminal conditions . . . . . . . . 241 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Table of Contents XIX 12. Application to Mathematical Finance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 249 12.1 Market, portfolio and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 12.2 Attainability and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.3 Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Appendix A: Normal Random Variables : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 295 Appendix B: Conditional Expectation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 299 Appendix C: Uniform Integrability and Martingale Conver- gence : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 301 Appendix D: An Approximation Result: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 305 Solutions and Additional Hints to Some of the Exercises : : : : : : 309 References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 317 List of Frequently Used Notation and Symbols : : : : : : : : : : : : : : : 325 Index : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 329&nbsp;Stochastic Differential Equations 6th&nbsp;&nbsp;