这个题本质上可以看作以下题的推广:
      \[\lim_{n \to \infty }a_n=a;\lim_{n \to \infty }\frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{n}=a.\]

更一般的有:
    \[\lim_{n \to \infty }a_n=a;\lim_{n \to \infty }\frac{\sum_{k=1}^{n}ka_k}{n^2}=\frac{1}{2} a.\]

另外提醒楼主，规范发贴，选择分类，尽量用Latex文本发贴。

谢谢hylpy1,但是金哥123的回答在前面，所以~~~~~

你很牛， 你学数学的吗？  数列的极限的问题！   以前读书时候也做过！

再推而广之，有:
\[\lim_{n \to \infty }a_n=a;\lim_{n \to \infty }\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a_k=a.\]

我没有套用啥高级定理公式，只是运用了本科微积分的最基本的极限的定义。 解释基本的极限定义的时候，无穷和有限的情况，是需要分开说明和证明的。

你说的，对a=0也适用，估计在套用某定理的情况可以。 套用高级公式定理，说明知道的ABCD多。 但是基本的证明方法，说明会用方法，可能适用的环境更多。

第二个极限是否漏了一个常数因子

要说推广，讨论下列形式等式成立更为一般(可参见波利亚、舍贵著：``数学分析习题和定理''一书的第二章):
$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sum_{k=1}^na_kb_k}{\sum_{k=1}^nb_k}?=\lim_{n\to\infty}a_n.$$
$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sum_{k=1}^na_kb_{n,k}}{\sum_{k=1}^nb_{n,k}}?=\lim_{n\to\infty}a_n.$$