前言

最近查一点泰尔指数的资料，发现无论是公式还是软件实现，都说的特别乱，看不出所以然。

特整理了该内容，并用Matlab软件给出了实现的代码。

一、泰尔指数

泰尔指数（Theil index）或者泰尔熵标准(Theil’s entropy measure)泰是由泰尔(Theil,1967)利用信息理论中的熵概念来计算收入不平等而得名。

熵在信息论中被称为平均信息量。在信息理论中，假定某事件E将以某概率p发生，而后收到一条确定消息证实该事件E的发生，则此消息所包含的信息量用公式可以表示为：

\[h(p)=ln(\frac{1}{p})\]

设某完备事件组由各自发生概率依次为p1,p2,...,p_n由n个事件E1,E2,...,E_n构成，则有\[\sum_{i=1}^n p_i =1\]，熵或者期望信息量等于各事件的信息量与其相应概率乘积的总和：

\[H(x)=\sum_{i=1}^n p_i h(p_i) = \sum_{i=1}^n p_i \ln\big(\frac{1}{p_i}\big) = -\sum_{i=1}^n p_i \ln(p_i)\]      (1)

将信息理论中的熵指数概念用于收入差距的测度时，可将收入差距的测度解释为将人口份额转化为收入份额（类似于洛伦兹曲线中将人口累计百分比信息转化为收入累计百分比）的消息所包含的信息量。而泰尔指数只是熵指数中的一个应用最广泛的特例。泰尔指数的表达式为：

\[T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{y_i}{\bar{y}} \ln\big(\frac{y_i}{\bar{y}}\big)\]               (2)

其中，T为收入差距程度的测度泰尔指数，y_i表示第i个个体的收入，\[\bar{y}\]表示所有个体的平均收入。

对于分组数据，泰尔指数有另一种表达式：

\[T=\sum_{k=1}^K w_k \ln\big( \frac{w_k}{e_k} \big)\]                 (3)

其中，w_k表示第k组收入占总收入的比重，e_k表示第k组人口数占总人口数的比重。

例1.

(I)    按公式(2)计算：

主程序：

运行结果：

T2 =  0.0791

(II)   按公式(3)计算：

主程序：

运行结果：

T =  0.0791

泰尔指数作为收入不平等程度的测度指标具备良好的可分解性质，即将样本分为多个群组时，泰尔指数可以分别衡量组内差距与组间差距对总差距的贡献。假设包含n个个体的样本被分为K个群组，每组分别为\[g_k, (k=1,\cdots,K)\],第k组g_k中的个体数目为n_k，则有\[\sum_{k=1}^K n_k =n\]，

y_i表示个体i的收入份额（占总收入的比例）, y_k表示第k组的收入份额（占总收入的比例），记T_b与T_w分别为组间差距和组内差距，则可将泰尔指数分解如下：

\[T=T_b+T_w=\sum_{k=1}^K y_k \ln\big(\frac{y_k}{n_k /n} \big) + \sum_{k=1}^K y_k \Big(\sum_{i \in g_k} \frac{y_i}{y_k} \ln \frac{y_i / y_k}{1/n_k} \Big)\]     (4)

在上式中组间差距T_b与组内差距T_w分别有如下表达式：

\[T_b=\sum_{k=1}^K y_k \ln\big(\frac{y_k}{n_k /n} \big) \]                           (5)

\[T_w = \sum_{k=1}^K y_k \Big(\sum_{i \in g_k} \frac{y_i}{y_k} \ln \frac{y_i / y_k}{1/n_k} \Big)\]      (6)

另外，值得注意的是组内差距项分别由各组的组内差距之和构成，各组的组内差距的计算公式与样本总体的计算公式并无二致，只是将样本容量控制在第k组的个体数目n_k。

例2 还是例1的数据，计算组间差距T_b与组内差距T_w，验证泰尔指数T=T_b+T_w

主程序：

    运行结果：

Tb=  0.0791

Tw=  -3.7007e-17

说明：由于该例中，每个分组内各个个体的收入是相同的，故每个分组的组内差距为０，总的组内差距Tw也为０，结果中的-3.7007e-17是由于Matlab中的双精度误差造成的，相当于是０.

例3 修改例1中的数据，让各分组的个体收入不相等，继续测试上述算法。

原第1组：10、10，改为9.5、10.5

原第2组：8、8、8、8，改为7、9、7.5、8.5

原第3组：6、6、6、6、6、6改为5、7、5.5、6.5、6、6

原第4组：4、4、4、4改为3、5、3.5、4.5

原第5组：1.5、2.5

主程序：

运行结果：

Tb=  0.0791

Tw=  0.0077

T=   0.0868

ans=  0.0868