Contents
Introduction 1
1 The Claim Arrival Process
1.1 The Model : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.2 The Erlang Case : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.3 A Characterization of the Exponential Distribution : : : : : : : : : :
1.4 Remarks : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2 The Claim Number Process
2.1 The Model : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2 The Erlang Case : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.3 A Characterization of the Poisson Process : : : : : : : : : : : : : : :
2.4 Remarks : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3 The Claim Number Process as a Markov Process
3.1 The Model : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2 A Characterization of Regularity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.3 A Characterization of the Inhomogeneous Poisson Process : : : : : :
3.4 A Characterization of Homogeneity : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.5 A Characterization of the Poisson Process : : : : : : : : : : : : : : :
3.6 A Claim Number Process with Contagion : : : : : : : : : : : : : : : :
3.7 Remarks : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4 The Mixed Claim Number Process
4.1 The Model : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.2 The Mixed Poisson Process : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.3 The P´olya–Lundberg Process : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.4 Remarks : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5 The Aggregate Claims Process
5.1 The Model : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.2 Compound Distributions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.3 A Characterization of the Binomial, Poisson, and Negativebinomial
Distributions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4 The Recursions of Panjer and DePril : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.5 Remarks : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6 The Risk Process in Reinsurance
6.1 The Model : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.2 Thinning a Risk Process : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.3 Decomposition of a Poisson Risk Process : : : : : : : : : : : : : : : :
6.4 Superposition of Poisson Risk Processes : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.5 Remarks :
7 The Reserve Process and the Ruin Problem
7.1 The Model
7.2 Kolmogorov’s Inequality for Positive Supermartingales
7.3 Lundberg’s Inequality
7.4 On the Existence of a Superadjustment Coefficient
7.5 Remarks
Appendix: Special Distributions
Measures
Generalities on Distributions
Discrete Distributions
Continuous Distributions