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CONTENT
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
Author . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
The Rise of Structural Equation Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
An Example of Structural Equation Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Personality Descriptions as Variable Stimuli . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Mathematical Foundations for Structural Equation Modeling . . . 11
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Scalar Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
N-tuples as Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Equality of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Scalars and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Multiplying a Vector by a Scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Addition of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Scalar Product of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Distance between Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Length of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Another Definition for Scalar Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . 21
Cosine of the Angle between Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Projection of a Vector onto Another Vector . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Types of Special Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Linear Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Basis Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Matrix Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Definition of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Identity Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Scalar Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Diagonal Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Upper and Lower Triangular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Null Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Transpose Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Matrix Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Orthogonal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Trace of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Minors of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Rank of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Cofactors of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Expanding a Determinant by Cofactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Adjoint Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Important Properties of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Simultaneous Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Treatment of Variables as Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Variables in Finite Populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Variables in Infinite Populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Random Vectors of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Maxima and Minima of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Slope as the Indicator of a Maximum or Minimum . . . . . . . . . . 52
An Index for Slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Derivative of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Derivative of a Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Derivative of Other Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Partial Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Maxima and Minima of Functions of Several Variables . . . . . . . 58
Constrained Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Causation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Historical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Causation among the Ancients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Causation in the Seventeenth Century . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Locke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Eighteenth-Century Empiricists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Berkeley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Hume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
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