第i个人放牧的牛的头数，正好是使自己的一阶导数为零时的头数，其余的放牧者都投入0头，是一种纳什均衡。（而且只要前i个人的投入总数符合这一条件，都是纳什均衡，）此时，对于第i个人有占优策略，而对于其它人来说，没有占优策略。

　　但是当第i个人的投入的数量为Ni=N'，注意N'是使它的一阶导数为零时的投入，这时，它的概率也就太小了。

假设I 个农场主，每个人均有权力在公共草地放牧奶牛。一头奶牛产奶的数量决定于草地放牧的奶牛总的数量N，当N< N*时，每头牛的产出是：

V（N），而当N≥N*时，V（N）＝0，其中V（0）＞0，V’<0，V”>0，每头牛的成本为c，奶牛是可分的，假设V（0）＞c，农场主同时决定购买多少奶牛，所有奶牛都在公共墓地上放牧。问题：

（1）将此局势表述为标准式博弈。

（2）找出纳什均衡，并与社会最优解比较。

（3）讨论这个博弈与古诺垄断竞争模型之间的关系。

楼主可以参考吉本斯第一章中的例题公共地悲剧！

本题试解如下：

解：（1）通常我们用：G＝{S₁ ，…，S_n ；u₁ ，…，u_n} 来代表策略型（标准型）博弈。当只有2人参与博弈时，才用矩形表格来表示。

其中Si表示第i个博弈参与者的策略集合，共有I个博弈参与者：i =1, 2,…,I；

而Si的本身是一个集合，可以是有限集，也可以是无限集，本题是一个关于牛的饲养头数的问题，总数量没有限定，且由于奶牛可分，因此是一个无限集。

其中，我们用u_i表示每个参与者的支付函数。u_i＝u_i (s₁, s₂,…,s_I)，其中s_i表示第i个参与者采取的具体策略。

那么本题的标准形可以表示为：

（2）只有当每个人的利润达到最大化的时候，才会达到纳什均衡

因此，将各个农场主的支付函数求最大化，有：

各个农场主的支付函数：u_i＝Ni×v(∑N _k)- Ni×c； ( k＝1, 2, …, I)

将支付函数对N求导，有

u_i’＝Ni × v’ (∑N _k)+ v (∑N _k) – c = 0；

从而可以推导出：N₁= N₂=…= N_i =…=N_I；（1）

那么我们有u_i’＝Ni × v’ (I×N i)+ v (I×Ni) – c = 0；（2）

其中Ni为每个农场主的经营奶牛数目，他们经营的数目都相等。同时要满足上述的支付函数的一阶条件。此时各个农场主都不再愿意改变自己的经营数目，从而达到了纳什均衡。

但是社会最优解为：

总利润函数L＝N×v(N)－N×c

两边对于N求导数有：L’ = N×v’(N) + v(N) －c = 0；（3）

将（2）式对于i求和，有：

∑u_i’ = N × v’（N） + I×v（N）– I×c = 0（4）

对比（3）式和（4）式，由（3）两边乘以I有：

I×L’ = I× N×v’(N) + I× v(N) －I×c = 0（5），

通过对比（4）式和（5）式，可知，在两式中的N是不相等的，即由纳什均衡求出的解N_NE和由社会最优均衡解出的值N_E不一样。

由此可知，在社会最优均衡条件下利润达到最优与在纳什均衡条件下不同。即所说的“囚徒困境”问题。