所谓连续复利公式的推导错在哪里？

yeting2000

2017-6-3 13:59:15

谢谢楼主分享

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hebdzhg

2017-6-3 15:04:14

yeting2000 发表于 2017-6-3 13:59
谢谢楼主分享

感谢你能认真审看本帖。简单说，通常讲的所谓连续复利公式的错误在于：
给定年利率r后，将一年分做m期计算，将分期后的期利率定为r/m时没想到“利生利”，以分期后的期利率返回计算一年的本利和时想起了“利生利”，这是一种出资方片面、没有经用资方同意的、没有用的、真用就必须出差错的单方思维，用在权威的期权定价模型中也必定是不对的。

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crossbone254

2017-6-3 17:23:24

hebdzhg 发表于 2017-6-3 10:59
具体工作中的应用和数学求极限中的无穷小相互替代是两回事。
具体计算中，在没有准确值时是可以用近似值 ...

不管r有多大大，A(t)=A(0)exp(rt)作为的连续复利值都没有错，因为连续复利意味着无视无刻都在增值，所以对时间的分割可以任意小，只要r是有限的，总能够选择分割使得dt足够小以致(1+r)^(dt)与1+rdt足够接近，所以连续复利公式确实是复利公式的正确的极限表达式

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hebdzhg

2017-6-3 17:55:06

crossbone254 发表于 2017-6-3 17:23
不管r有多大大，A(t)=A(0)exp(rt)作为的连续复利值都没有错，因为连续复利意味着无视无刻都在增值，所以对 ...

"不管r有多大大，A(t)=A(0)exp(rt)作为的连续复利值都没有错?"-
在给定r=10%时，用公式A(t)=A(0)exp(rt)=A(0)exp(tln(1+10%))=A(0)exp(0.0953t)作为连续复利值没错。但这实际上还是公式A(t)=A(0)(1+10%)^t.
在给定r=10%时，用公式A(t)=A(0)exp(rt)=A(0)exp(0.01t)=A(0)(1+10.517%)^t则应是不对的。
A(t)=A(0)(1+10%)^t.与A(t)=A(0)exp(0.0953t)完全一样，能说A(t)=A(0)(1+10%)^t不是连续复利，A(t)=A(0)exp(0.0953t)是计算连续复利吗？
A(t)=A(0)exp(0.01t)与A(t)=A(0)(1+10.517%)^t的值完全一样，能说哪一个是连续复利值吗？
本应用A(t)=A(0)(1+10%)^t计算，怎么连续复利一下就成了A(t)=A(0)(1+10.517%)^t了？
在A(t)=A(0)(1+10%)^t中，t取连续实数，则这个式子完全可解释为时时刻刻都在增值。

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h2h2

2017-6-3 19:07:26

留下脚步

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heydrich

2017-6-3 19:36:57

hebdzhg 发表于 2017-5-25 17:20
连续复利法就是在给定年利率的前提下，通过不断缩短计息期，实现连续计息的一种所谓方法。而多年来许多教材 ...

学习了

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shengli1202

2017-6-3 19:51:41

hebdzhg 发表于 2017-5-25 17:20
连续复利法就是在给定年利率的前提下，通过不断缩短计息期，实现连续计息的一种所谓方法。而多年来许多教材 ...

这个公式是考虑极限的，t→∞时r/t→0，公式没错哦

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crossbone254

2017-6-3 23:00:43

hebdzhg 发表于 2017-6-3 17:55
"不管r有多大大，A(t)=A(0)exp(rt)作为的连续复利值都没有错?"-
在给定r=10%时，用公式A(t)=A(0)exp(r ...

我认为通常的连续复利公式是正确的，即若r=10%，则有A(t)=A(0)exp(10%t)
按你的公式，取对数并微分则有dln(A)/dt=ln(1+r)，而常用公式下dln(A)/dt=r，而对数的微分是增长比例的概念，具体而言即dln(A)/dt=(dA/dt)/A，因此通常的连续复利公式在任意小的时间内按比例增加的速度刚好为利率，因此在这个视角看来明显通常的连续复利公式更合理。

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h2h2

2017-6-3 23:18:35

大大，请看

b. 按复利方法折算，一年的利率为100%, 得半年的期利率为 (1+100%)^(1/2) -1=41.421%。
b-b. 根据半年期的期利率41.421%, 再按复利计算两个半年，即一年的利率，就是(1+41.421%)^2-1=100%。

复利是（已赚的利息）上再计利息。

b. 这是原本的一年利息的 power of 半年。
b-b. 这就是原本的一年利息，一年利息的 power of 一年。

哪来的复利？（已赚利息）上再计的利息？
b-b. 的100%说明了赚到的利息就是一年的原本利息100%，完全没有复利啊！

b-a. 根据半年期的期利率41.421%，按单利方法，即将半年期利率加倍的方法求一年的利率，得年利率82.842%。

利率41.421%是一年利息的 power of 半年，所以一年的话，就必须再 power of 2, 就是 b-b. 的方法，不是再乘以2（加倍），这个不只没有复利，连原本利息100%都拿不到！

a-b. 根据半年期的期利率50%，按复利算一年的利率，就得一年的利率为（1+50%）^2-1=125%。

这个就有复利，125%=一年的原本利息100%+复利的利息25%

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hebdzhg

2017-6-4 01:41:49

shengli1202 发表于 2017-6-3 19:51
这个公式是考虑极限的，t→∞时r/t→0，公式没错哦

在没有复利计算的背景下，令m趋于无穷大，求极限 Am= A（1+r/m）^(mt)趋于A(t)= A。e^(rt)是对的。

在给定年利率r的情况下，根据 Am= A（1+r）^t得出 Am= A（1+r/m）^(mt)就已经不对了，再锝这个
A(t)= A。e^(rt)也就不对了。

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hebdzhg

2017-6-4 01:57:24

crossbone254 发表于 2017-6-3 23:00
我认为通常的连续复利公式是正确的，即若r=10%，则有A(t)=A(0)exp(10%t)
按你的公式，取对数并微分则有d ...

问题是,在给出的年利率为r的情况，也就是给出公式 A（t）= A。（1+r）^t的情况下，
(dA/dt)/A=ln(1+r), 不等于r. dA/dt除以总量 (dA/dt)/A=ln(1+r)是，1个单位资金在任意时刻的增长速度，1个单位资金在任意时刻的增长速度是r时，由于这一个单位的资金不停地利生利，经过一小段时间，1单位变成大于1单位的资金，1个单位资金在任意时刻的增长速度是r,大于1单位的资金z增值速度就不再是r，经过1单位时间，1单位资金累积增加值就不再是r，而是e^r-1。

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hebdzhg

2017-6-4 02:15:48

h2h2 发表于 2017-6-3 23:18
大大，请看

b. 按复利方法折算，一年的利率为100%, 得半年的期利率为 (1+100%)^(1/2) -1=41 ...

问题1 在给定年利率100%的基础上，将一年分成两个半年，半年期的期利率取为50%根据何在，半年期的期利率取为30%为什么就不对？
问题2、复利就是“利生利”，在给定年利率100%的基础上确定半年期的期利率为什么不是(1+100%)^(1/2) -1=41.421%,而是50%。
实际生活中的利率是双方商定的，缩短计息期的利率也要双方同意。在双方同意年利率100%的基础上确定半年期的期利率为50%，借用资金的一方会同意吗？

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h2h2

2017-6-4 04:10:29

hebdzhg 发表于 2017-6-4 02:15
问题1 在给定年利率100%的基础上，将一年分成两个半年，半年期的期利率取为50%根据何在，半年期的期利率 ...

大大，

本金1
年利率，r=100%
半年复利，n=年内复利次数=12个月/6个月=2; 年利率100%*6个月/12个月=100%/(12/6)=100%/2=r/n
期限两年，t=2

50%是这样来的。。。

第一个半年后=1+(1*年利率100%*6个月/12个月)=1+100%/2

第二个半年后=(1+100%/2)+((1+100%/2)*年利率100%*6个月/12个月)=(1+100%/2)+((1+100%/2)*100%/2)=(1+100%/2)(1+100%/2)=(1+100%/2)^2

第三个半年后=(1+100%/2)^2+((1+100%/2)^2*年利率100%*6个月/12个月)=(1+100%/2)^2+((1+100%/2)^2*100%/2)=(1+100%/2)^2(1+100%/2)=(1+100%/2)^3

第四个半年后=(1+100%/2)^3+((1+100%/2)^3*年利率100%*6个月/12个月)=(1+100%/2)^3+((1+100%/2)^3*100%/2)=(1+100%/2)^3(1+100%/2)=(1+100%/2)^4

(1+100%/2)^4=(1+r/n)^(nt)

---------------------------------
如果连续复利的话，推导如下

(1+r/n)^(nt)=(1+1/(n/r))^(nt)
let n/r=a, n=ar,
=(1+1/a)^(art)=((1+1/a)^a)^(rt)
n→∞, a→∞,
lim((1+1/a)^a)^(rt)=e^(rt)

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hebdzhg

2017-6-4 05:40:08

本主题年利率为贴中，为简便，以年利率100%为例展开讨论。
“b-b. 的100%说明了赚到的利息就是一年的原本利息100%，完全没有复利啊！”
1.实际生活中，甲乙双方商定资金出借期和利率r 是同时商定的，如遇到改变出借期、提前还款的情况，就需要重新商定利率；否则就是到期按利率r 还款。对商定好的利率r 分复利和单利没一点意义。
2.实际生活中，在甲乙双方商定年利率为100%过程中，出资方实际考虑问题的方法是复利、是“利生利”的连续复利。年利率为100%本身就是经过一年时间按“利生利”、连续复利的结果。原来的本金是1，一年后本利和成为 1*（1+100%）就是连续复利的结果。

“a-b. 根据半年期的期利率50%，按复利算一年的利率，就得一年的利率为（1+50%）^2-1=125%。
这个就有复利，125%=一年的原本利息100%+复利的利息25%”。
1 按a-b算法，利息率从100%提高到125%，又增加了25%，出资方很高兴，用资方同意吗？
2 用资方不同意能执行吗？若用资方不同意的计算方法，能成为计算方法吗？所以，在给出年利率100%时，按单利法定半年期的利率为50%的方法就是不对的，实际上，各方都在按复利、“利生利”的思维考虑问题。

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hebdzhg

2017-6-4 09:02:16

感谢本帖通过审核人admin_kefu和精华帖推荐人晓七、rrx6658、admin。你们的工作使本话题在此能得到深入讨论。
几年前曾在某著名网的贴吧中发帖谈这个话题，没几天就被吧主以“民科违规贴”的理由给封杀了。

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jjxjiang

2017-6-4 10:21:23

我得看看

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hebdzhg

2017-6-4 10:51:39

h2h2 发表于 2017-6-4 04:10
大大，

本金1

在金融学和任何学科中，有应用的公式才叫数学模型，用不对的计算方法不能成为数学模型和经济模型。
在利息计算问题上，利率大小、计息方法需要双方商定。双方骨子里都是复利思维。
在给定年利率100%的基础上，将一年分成两个半年，计算出“”第一个半年后=1+(1*年利率100%*6个月/12个月)=1+100%/2”。生活中有这种应用吗？在商定利率值时，特别是出资方要用复利思维考虑问题。在将商定好的利率作分期计算时，用资方也会用复利思维考虑问题。这样确定分期后的期利率50%如同确定成30%一样，是讲不通的，用资金的一方不同意就不能成为计算方法。

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hebdzhg

2017-6-4 11:58:55

其实，不用分析所谓连续复利公式结构上的错误，把它看成对的，就能发现其内在矛盾。
1.所谓连续复利公式是指写成以e为底的指数形式？还是指实际公式计算的值。
例如，在给定r=10%时，公式A(t)=A(0)(1+10%)^t与.用公式A(t)=A(0)exp(tln(1+10%))=A(0)exp(0.0953t)完全一样，
它们都是连续复利公式?还是都不是连续复利公式？还是仅仅A(t)=A(0)exp(0.0953t)是连续复利公式?

2. 根据A(t)=A(0)(1+10%)^t推出所谓连续复利公式A(t)=A(0)exp(0.01t)与A(t)=A(0)(1+10.517%)^t
，也就是根据A(t)=A(0)exp(0.0953t)推出连续复利公式A(t)=A(0)(1+10.517%)^t。
A(t)=A(0)exp(0.0953t)与A(t)=A(0)(1+10.517%)^t哪一个是连续复利公式？
根据A(t)=A(0)(1+10%)^t推推出连续复利公式A(t)=A(0)(1+10.517%)^t除去把年利率10%改成10,517%外，有连续不连续的意义吗？。

3.如果不看指数函数的表达形式而是计算的实际数值，则就是根据A(t)=A(0)(1+10%)^t推出连续复利公式A(t)=A(0)(1+10.517%)^t，根据A(t)=A(0)(1+10.517%)^t还可推出连续复利公式
A(t)=A(0)(1+11,090%)^t
公式A(t)=A(0)(1+10%)^t还是A(t)=A(0)(1+9.53%)^t的连续复利公式。
到底什么是连续复利公式？

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lwell20

2017-6-4 12:54:17

*[em35]*[em35]

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luoxinquan

2017-6-4 14:42:08

hebdzhg 发表于 2017-5-25 17:20
连续复利法就是在给定年利率的前提下，通过不断缩短计息期，实现连续计息的一种所谓方法。而多年来许多教材 ...

你提出质疑的态度很不错，值得鼓励哈。不过那啥，哥们，你先把高数里面，积分的部分再学一遍吧。之后理解起来更容易些。大学了，数学水平要跟上去。

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hebdzhg

2017-6-4 15:10:23

luoxinquan 发表于 2017-6-4 14:42
你提出质疑的态度很不错，值得鼓励哈。不过那啥，哥们，你先把高数里面，积分的部分再学一遍吧。之后理解 ...

1  所谓连续复利就是根据  A(t)= A。(1+r）^t             （1）
每期结算m次，得mt期本利和Am为
                                          Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)    （2）
再令m→∞。得          A(t)=A。e^（rt）                            （3）
问题是，从（1）推导（2）是不成立的，没有任何书能举出这种推导应用的例子。
2 世界上许多事物的变化率dA(t)/d与该事物的即时量A(t) 成正比，即有
   （ dA(t)/dt）/ A(t)=r ，解方程，再代入初始条件A(0)=A。得
               A(t)=A。e^（rt）
这个式子应用广泛，但这与连续复利无关。
3、本帖  12、13、14、17、20、21、23楼中所列各教材的错误是不是真错？这些错误的根源在哪里？

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h_y_zhou163

2017-6-5 00:16:36

公式一直用推导却是个高深的问题

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h_y_zhou163

2017-6-5 00:16:54

不明觉厉

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S364674528

2017-6-5 01:08:52

hebdzhg 发表于 2017-5-25 17:20
连续复利法就是在给定年利率的前提下，通过不断缩短计息期，实现连续计息的一种所谓方法。而多年来许多教材 ...

我就看看热闹

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hebdzhg

2017-6-5 01:52:53

h_y_zhou163 发表于 2017-6-5 00:16
公式一直用推导却是个高深的问题

本帖 12、13、14、17、20、21、23楼所列各教材显示的错误并不高深，只是这些教材的编写者没去认真思考而已。期权定价模型中应用所谓连续复利法也是同样道理。
期权定价模型理论高深，理解其中应用连续复利的错误并不高深。
在期权定价模型中，实际中的 r 值通常都很小，用错误的A(t)= A。e^(rt)替代 A(t)= A。(1+r）^t引起误差一般不大，难以被发现，而且未来的收益具有随机性，收益率没有确定的值，也就不存在用公式验证问题的对错。
1.用错误的A(t)= A。e^(rt)替代准确的 A(t)= A。(1+r）^t引起误差不大，并不是说这种替代不是方法错误。因为其思维是错误的，而且，r 值很大时引起的差错也可大的惊人。
2.期权定价估的是价格，将6个月后的股票期权定为2.01元或2.02元差别是0,01元，差别不大。投资的最终目的是计算纯盈利，6个月后每支股票单股盈利0.0几元时，0.01元的差就不是小数字了。
银行储蓄利率要给出小数点后4位数，2017年春中国银行一年期的年利率是0.0175.

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h2h2

2017-6-5 05:10:33

hebdzhg 发表于 2017-6-4 05:40
本主题年利率为贴中，为简便，以年利率100%为例展开讨论。
“b-b. 的100%说明了赚到的利息就是一年的原本利 ...

大大，

原来的本金是1, 一年后本利和成为 1*（1+100%）就是连续复利的结果。

本金是1, 年利率为100%, 一年后本利和成为 1*（1+100%）=2, 这个是复利？

所以，在给出年利率100%时，按单利法定半年期的利率为50%的方法就是不对的，实际上，各方都在按复利、“利生利”的思维考虑问题。

第一个半年后=1+(1*年利率100%*6个月/12个月)=1+100%/2”。生活中有这种应用吗？

本金是1, 年利率为100%, 半年复利。6个月后，1*年利率100%*6个月/12个月=0.5来复利（已赚的利息上再计利息）。

再过6个月后，1*年利率100%*6个月/12个月=0.5. 另一个0.5来复利，那再计利息的利息总数=1 (0.5+0.5)

这样不好？

还是这样。。。

b. 按复利方法折算，一年的利率为100%, 得半年的期利率为 (1+100%)^(1/2) -1=41.421%。

本金是1, 年利率为100%, 半年复利。6个月后，1*半年的期利率41.421%=0.41421来复利。

再过6个月后，1*半年的期利率41.421%=0.41421. 另一个0.41421来复利。那再计利息的利息总数才有0.41421*2=0.82842, 不足利息总数1.

还是。。。

再过6个月后，1*半年的期利率58.579%（即100%-41.421%）=0.58579来复利。那再计利息的利息总数才有1。

这样好不好？

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luoxinquan

2017-6-5 08:31:04

hebdzhg 发表于 2017-6-4 15:10
1 所谓连续复利就是根据 A(t)= A。(1+r）^t （1）
每期结算m次，得mt期本利和Am为
...

明确告诉你，（2）式是错的。

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hebdzhg

2017-6-5 08:31:12

所谓连续复利就是根据  A(t)= A。(1+r）^t 每年结算m次，得 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)
再令m→∞。得          A(t)=A。e^（rt）
1. 根据 A(t)= A。(1+r）^t  ，在数学上，得 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt) ，想明白了没有，没有想明白，不是盲信吗？
2. 根据 A(t)= A。(1+r）^t  ，得 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt) 有实际工作中的例子吗？如果找不到这样的实际例子，再应用据此推出的连续复利公式 A(t)=A。e^（rt），不是盲用吗？（注：根据解方程
（ dA(t)/dt）/ A(t)=r，再代入初始条件A(0)=A。得 A(t)=A。e^（rt），这与连续复利无关）
3.不怀疑将这样的连续复利公式 A(t)=A。e^（rt）用于其它公式和期权定价模型中的正确性，不就是盲从吗？

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hebdzhg

2017-6-5 08:43:21

luoxinquan 发表于 2017-6-5 08:31
明确告诉你，（2）式是错的。

根据 A(t)= A。(1+r）^t （1）
每年结算m次，得 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt) (2)
"（2）式是错的" , 对这种错误的、有具体含义式子（2）取极限，的再令m→∞。得连续计算公式 A(t)=A。e^（rt）。能是对的吗？
解方程（ dA(t)/dt）/ A(t)=r，再代入初始条件A(0)=A。得 A(t)=A。e^（rt），这在纯数学上是对的，用在自然科学、社会科学各领域都是对的，但这与错误的连续复利算法无关。

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luoxinquan

2017-6-5 09:07:51

hebdzhg 发表于 2017-5-25 17:20
连续复利法就是在给定年利率的前提下，通过不断缩短计息期，实现连续计息的一种所谓方法。而多年来许多教材 ...

如果利率是随时间变化的函数，那么（1）和（2）都不能用。这种推导是不严谨的。

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