所谓连续复利公式的推导错在哪里？

Henrylearning

2017-6-5 09:31:22

劲！
Thank you for sharing!

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luoxinquan

2017-6-5 09:35:17

hebdzhg 发表于 2017-5-25 17:20
连续复利法就是在给定年利率的前提下，通过不断缩短计息期，实现连续计息的一种所谓方法。而多年来许多教材 ...

还有，如果是复利计算，年增长率这种东西，只能在本年有效。

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hebdzhg

2017-6-5 09:52:46

luoxinquan 发表于 2017-6-5 09:07
如果利率是随时间变化的函数，那么（1）和（2）都不能用。这种推导是不严谨的。

公式（1） A(t)= A。(1+r）^t 是对的，在中小学学习中，就能利用到许多方面的计算，自然地，在中小学学习中，t只取整数，但这不否认在处理连续增长的问题时，t 取连续实数的正确性。
如果根据（1）式，每年结算m次，得（2） Am(t)= A。（1+r/m）^(mt) 就不对了。
按2017年春中国银行的储蓄标准，一年期的年利率是0.0175，本金10000元，按一年期的存款存两年，计算两年后的本利和就用（1）式，得10000（1+0.0175）^2=10353.06元。
半年期的（名义）年利率是0.0155，本金10000元，按半年期的存款存两年，计算两年后的本利和就可以说用到（*2*）式，得10000（1+0.0155/2）^(2*2)=10313.62元。
（*2*）式可以说是（2）的形式，它的实质思维等同（1），这里（*2*）中的名义年利率0.0155不等于（1）中的一年期的年利率0,0175，银行告诉半年期的名义年利率0.0155，实际是告诉半年期的期利率为0.0155/2=0.00775.
这里应用的（1）式和（*2*）的关系与根据（1）推导出的（2）式关系不同。也就是说，在实际问题的数字计算中，不是根据（1）推导出（*2*）或说（2），孤立地用（*2*）、（2）式，可以说（2）是有用的。

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hebdzhg

2017-6-5 10:20:00

h2h2 发表于 2017-6-5 05:10
大大，

原来的本金是1, 一年后本利和成为 1*（1+100%）就是连续复利的结果。

“本金是1, 年利率为100%, 一年后本利和成为 1*（1+100%）=2, 这个是复利？“
-------一般情况下（比如突然爆发战争情况除外）资金的价值是随时间呈指数函数连续增长的，实际中，出资方与用资方都要用复利思维，比如说，金融公司甲可以半年期的期利率50%无其它限制放款，甲乙双方在商定一年用款的年利率时，出资方就不会同意100%的年利率出借给对方。如果将年利率定为110%，用资方肯定是满意的。不管你是否意识到连续复利，双方在商定利率标准时，哪怕你什么也没考虑，就按社会上执行的利率标准 r 执行，社会上通行的利率标准 r 本身就体现了 1元本金随时间连续增值的规律。

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hebdzhg

2017-6-5 10:49:42

luoxinquan 发表于 2017-6-5 09:35
还有，如果是复利计算，年增长率这种东西，只能在本年有效。

年增长率 r 是以年为单位考虑的，例如t。=1.3，根据公式（1），经过一年有
(A（2.3）/A(1.3)=(A。（1+r）^2,3 )/(A。（1+r）^1,3
=(A。（1+r）^(1+1,3)/ (A。（1+r）^1,3 =（1+r），
r 为1元资金在任何一年的时间段[t。 t。+1 ]内的增加值。但这不妨碍我们计算这1元资金在时间
[t。 t。+1 ]内按指数函数(1+r）^(t- t。）增加在任意时刻 t的价值。

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hebdzhg

2017-6-5 12:18:10

h2h2 发表于 2017-6-5 05:10
大大，

原来的本金是1, 一年后本利和成为 1*（1+100%）就是连续复利的结果。

“
再过6个月后，1*年利率100%*6个月/12个月=0.5. 另一个0.5来复利，那再计利息的利息总数=1 (0.5+0.5)

这样不好？”
这还就是原来给出的年利率100%. 还按年算，当然可以。这样计算来计算去有什么意义？

再过6个月后，1*半年的期利率41.421%=0.41421. 另一个0.41421来复利。那再计利息的利息总数才有0.41421*2=0.82842, 不足利息总数1。”
将年利率100%计算成82.842%, 借用资金的一方说好，资金拥有者说不行。

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tian89

2017-6-5 15:07:04

连续复利公式是正确的

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h2h2

2017-6-5 16:31:13

hebdzhg 发表于 2017-6-5 10:20
“本金是1, 年利率为100%, 一年后本利和成为 1*（1+100%）=2, 这个是复利？“
-------一般情况下（比如突然爆发战争情况除外）资金的价值是随时间呈指数函数连续增长的，实际中，出资方与用资方都要用复利思维，比如说，金融公司甲可以半年期的期利率50%无其它限制放款，甲乙双方在商定一年用款的年利率时，出资方就不会同意100%的年利率出借给对方。如果将年利率定为110%，用资方肯定是满意的。不管你是否意识到连续复利，双方在商定利率标准时，哪怕你什么也没考虑，就按社会上执行的利率标准 r 执行，社会上通行的利率标准 r 本身就体现了 1元本金随时间连续增值的规律。

谢谢分享

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hebdzhg

2017-6-5 16:48:53

tian89 发表于 2017-6-5 15:07
连续复利公式是正确的

“连续复利公式是正确的”，只有结论不说明问题。
连续复利就是根据 A(t)= A。(1+r）^t 推出 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt) ，再推出 A(t)=A。e^（rt）。
1. 从数学上A(t)= A。(1+r）^t 推出 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)是错误的。
2. 从 A(t)= A。(1+r）^t 推出 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)，这种推法在任何领域没有正确应用。
A(t)= A。(1+r）^t 推出 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)，不对，再往下推，得出 A(t)=A。e^（rt）当然也不对。
3、在一定阶段，年利率r 不是到年末最后一天形成的，是经过一年时间增值形成的。许多自然和社会中的量都是呈指数函数规律增长的，资金的增值规律也是这样，初始资金A。的价值是按指数函数增长的，年利率r 就是一单位资金在一年内不断连续增值，到一年后的增加的值，是经过一年不断增长得到的结果。公式A(t)= A。(1+r）^t才能表达年利率r的增值规律。在给出年利率r 后，A(t)= A。(1+r）^t能用来计算一年末、两年末的本利和，也可用来计算初始资金到任意时刻 t 的价值。
从各方面讲，给出年利率r 后，用A(t)= A。(1+r）^t都是对的；
从各方面讲，给出年利率r 后，用 A(t)=A。e^（rt）都是不对的。
给定年利率r 后，用 A(t)=A。e^（rt）计算出的年利率成了e^r - 1，不感觉是笑话吗？在实际生活中，借用资金的一方会给你按年利率e^r - 1付息吗？

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hebdzhg

2017-6-5 16:52:32

h2h2 发表于 2017-6-5 16:31
谢谢分享

感谢你参与讨论，你的回帖促使我进行了进一步的思考。

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hdl0121

2017-6-5 18:38:05

应该是名义年利率和实际年利率的区别吧，一开始的100%就应该指明是名义年利率还是实际年利率

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sdlyzf

2017-6-5 20:18:01

懒得敲键盘。

附件列表

2017-06-05 201256.jpg

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请楼主看一下

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hebdzhg

2017-6-5 20:33:18

hdl0121 发表于 2017-6-5 18:38
应该是名义年利率和实际年利率的区别吧，一开始的100%就应该指明是名义年利率还是实际年利率

“一开始的100%就应该指明是名义年利率还是实际年利率”
一开始的100%，在A(t)= A。(1+r）^t中是名义年利率，也是实际年利率（有效年利率）；在
Am(t)= A。（1+r/m）^(mt) 中自然是名义年利率。
一年期的名义年利率与实际年利率（有效年利率）是相等的。在这个公式A(t)= A。(1+r）^t 中，r 是名义年利率，也是实际年利率。在推出的 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt) 公式中，r 是名义年利率。
问题是，区别清楚名义年利率和实际年利率，根据A(t)= A。(1+r）^t能推得Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)吗？
这样推导的式子有应用意义吗？
根据推理错误、没有应用的推导，再进一步推出的连续复利 A(t)=A。e^（rt）自然没有意义。

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hebdzhg

2017-6-5 21:20:26

sdlyzf 发表于 2017-6-5 20:18
懒得敲键盘。

72楼质疑楼主的结论，指明楼主出问题在72楼所列问题的（5）、（6）。现就问题作答。（5）
在（5）中，年利率是10%，按年计算，年利率自然是10%。
按季计算，10%变成名义年利率，实际年利率（有效年利率）成（1+10%/4）^4 - 1=10.38%.
问题是，这样的应用存在吗，实际生活中，按年计算的年利率是10%是，不会再有按季计算的公式（1+10%/4）^4 - 1=10.38%。
不用再看（6）式，72楼中讲的（5）正好说明根据 A(t)= A。(1+r）^t 推出 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt) 是不对的。
（6）中说，连续复利公式 A(t)=A。e^（rt）和一年计算一次的公式A(t)= A。(1+r）^t不可混用。

72楼中的（6）正是楼主想给的结论，对同一和值 r , A(t)=A。e^（rt）和A(t)= A。(1+r）^t不能混用，那不正是说，对给定的 r，根据 A(t)= A。(1+r）^t不能推得 A(t)=A。e^（rt）。
（7）的叙述是对的，但这与连续复利的推导无关，在51楼、59楼都已做过说明。

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sdlyzf

2017-6-5 21:45:45

hebdzhg 发表于 2017-6-5 20:33
“一开始的100%就应该指明是名义年利率还是实际年利率”
一开始的100%，在A(t)= A。(1+r）^t中是名义年利 ...

”问题是，区别清楚名义年利率和实际年利率，根据A(t)= A。(1+r）^t能推得Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)吗？
这样推导的式子有应用意义吗？“
先说上面你说的这段话。两个公式的r都是一样的，但是第二个r是名义利率，他的实际利率是（1+r/m）^m-1.要大于r，就像我在手写的草纸中所说的，名义利率是10%的按季计息的实际利率是10.38%一样。
上述两个式子不是推导的问题，更重要的要实际意义。比如银行喜欢按月计息，和按年计息差别就很大。

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lilybb01

2017-6-5 23:29:28

Good discussion

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h2h2

2017-6-5 23:30:19

hebdzhg 发表于 2017-6-5 16:52
感谢你参与讨论，你的回帖促使我进行了进一步的思考。

也感谢您的帖子，促进我对复利公式更进一步的思考。

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hebdzhg

2017-6-6 04:08:26

sdlyzf 发表于 2017-6-5 21:45
”问题是，区别清楚名义年利率和实际年利率，根据A(t)= A。(1+r）^t能推得Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)吗？ ...

hebdzhg 发表于 2017-6-5 20:33
“一开始的100%就应该指明是名义年利率还是实际年利率”
一开始的100%，在A(t)= A。(1+r）^t中是名义年利 ...
”问题是，区别清楚名义年利率和实际年利率，根据A(t)= A。(1+r）^t能推得Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)吗？
这样推导的式子有应用意义吗？“
先说上面你说的这段话。两个公式的r都是一样的，但是第二个r是名义利率，他的实际利率是（1+r/m）^m-1.要大于r，就像我在手写的草纸中所说的，名义利率是10%的按季计息的实际利率是10.38%一样。
上述两个式子不是推导的问题，更重要的要实际意义。比如银行喜欢按月计息，和按年计息差别就很大。

从你的回复中，又看到了一条揭示A(t)= A。(1+r）^t到Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)推导错误的理由。
1.在讲述连续复利的公式中，A(t)= A。(1+r）^t与Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)是推导关系，没有前者就没有后者，也就没有下一步的连续复利公式A(t)=A。e^（rt）。
2、根据A(t)= A。(1+r）^t推导Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)，又看到了两个错误，一是数量关系不对，后者计算的利率大于前者计算的利率；二是，前后两个公式中同一个字母 r 表达的概念不对。
Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)中的概念 r 是名义年利率，前面A(t)= A。(1+r）^t中的 r是实际（有效）年利率，在任何科学中的论证过程中改变概念含义都是不科学行为。
3、"上述两个式子不是推导的问题，更重要的要实际意义。"------这话是对的。

实际意义应是 A(t)= A。(1+r）^t与 Am(t)= A。（1+r（m））^(mt)的关系。在 Am(t)= A。（1+r（m））^(mt)中分期后的期利率r（m）不是根据 r 除以 m 计算来的。二是在年利率 r 的基础上，根据情况确定的数字，例如，2017年春中国银行一年期的年利率是0.0175，半年期的（名义）年利率是0.0155。0.0155不是0.0175/2.
这进一步说明，连续复利公式的推导是错误的。没有连续复利的背景，对纯数学式子
Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)可以求极限，得A(t)=A。e^（rt）。这与连续复利推导无关。

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hebdzhg

2017-6-6 09:49:04

sdlyzf 发表于 2017-6-5 21:45
”问题是，区别清楚名义年利率和实际年利率，根据A(t)= A。(1+r）^t能推得Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)吗？ ...

我们的结论一致。
A(t)= A。(1+r）^t与Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)不是推导关系；
A(t)= A。(1+r）^t  、 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)与A(t)=A。e^（rt）也不应是推导关系。
在不同场合，A(t)= A。(1+r）^t  、 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)与A(t)=A。e^（rt）各自可单独存在、各单独应用。

经济数学、金融工程学、工程经济学、衍生工具等教材中，对于同一个年利率r 的值，把A(t)= A。(1+r）^t  、 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)与A(t)=A。e^（rt）搞成推导关系，搞出个连续复利计算公式
A(t)=A。e^（rt），这当然就是错误的了。

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sqlai

2017-6-6 15:16:12

前面的回复都从技术层面上做了充分阐述，非常激荡思维。好奇的我也插一嘴。

两种方法，都有讨论的假设条件的。

单利的前提是，利息不参与再投资，也就是不会产生复利效应。这个前提下，计算利息和收益是非常简单的。

复利的前提是，利息也要投资，而且是按照现有投资回报率取得收益的。这是一个强烈的假设，未来各期的投资回报率是不变的。
乍一看，这个要求挺符合投资人最大化收益的要求，而且数学上处理也很简单，因为可以指数化。
但在实际中，这个要求通常并不满足，因为利率一直在变，今天3%很合理，一个月之后就未必了，还有市场流动性，交易对手等限制，当然，也可能变得更高。

因此，个人认为，连续复利展示了理论完美世界的最优结果，而单利展示了现实世界的最差收益结果。实际中的投资，只要不低于单利结果，就算是提高了投资效率。如果能战胜复利结果，那就是更优秀的投资能力证明了。

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2017-6-6 16:08:59

sqlai 发表于 2017-6-6 15:16
前面的回复都从技术层面上做了充分阐述，非常激荡思维。好奇的我也插一嘴。

两种方法，都有讨论的假设条件 ...

1、一般情况下（比如突然爆发战争情况除外）资金的价值同自然和社会中的量一样是随时间呈指数函数连续增长的，人们考虑问题的方法也是复利方法，复利方法就是指数函数方法。包括银行储蓄不同储蓄期的（名义）年利率的制定。
  例如，2017年春中国银行的储蓄标准，一年期的年利率是0.0175，半年期的（名义）年利率是0.0155，
这就保证一年内存两个半年（1+0.0155/2）^2 - 1=0.01556,  小于一年期的年利率是0.0175，半年期的储蓄方式为储户提供了到半年可提取款的权利，所以按半年期储蓄的实际年利率就要小于一年期储蓄的年利率。因为储户是按复利算账，银行制订利率标准是也必须按复利考虑。银行与储户都在计算复利。
2.银行储蓄计算利息银行给出半年期的名义年利率0.0155，本质上是在告诉储户半年期的期利率是0.0155/2=0.00775.。如果不是这样，而是告诉储户半年期的有效年利率0.01556,，让储户按复利考虑半年期的期利率，这在日常生活中是行不通的。在日常生活中用半年期的名义年利率除以2得半年期的期利率是一种表达形式，仅为日常储蓄方便。
3、在给定年利率 r 后，这个A(t)= A。(1+r）^t  就是连续复利，A(t)= A。(1+r）^t 就展示了理论完美世界的最优结果。没有比它再完美的。用A(t)=A。e^（rt）计算除了将年利率 r 扩大为e^r -1  形成差错外，A(t)=A。e^（rt）比A(t)=A。e^（rt）没有比A(t)= A。(1+r）^t 再多一点的完美。

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hebdzhg

2017-6-7 07:59:11

再看所谓连续复利公式的错误。
其实，不用分析连续复利公式推导过程中的错误，从其它函数的整体性质上也可看出连续复利公式是错误的。所谓的连续复利公式 A(t)= A。e^(rt)能迷惑人的解释是利息“立即产生，立即结算”。

在给定本金 A。和年利率 r 后，任何一个满足A(0）= A。、A(1）= A。（1+r）、的单调连续增加的函数
A(t）都可作为描述连续计算复利的函数，在任意时刻本息单调增加、就可看作是利息“立即产生、立即结算”的结果，这还保证了年利率还是 r 。存在问题是在任意不同时刻1单位资金产生利息的速度是否一致？一般函数当然不能满足这一要求。
在给定本金 A。和年利率 r 后，任何一个形如A（t）= A。a^(bt) 的指数函数都可作为描述连续计算复利的函数，这还保证了任意不同时刻1单位资金的增值速度都是( dA（t）/dt)/A(t)=blna ，存在问题是年利率是否还是 r ？一般形如的函数A（t）= A。a^(bt)、包括 A(t)= A。e^(rt)不能满足这一要求。
在给定本金 A。和年利率 r 后，只有A（t）= A。(1+r）^t、即A（t）= A。e^(lnt(1+r）) 才能成为描述这个连续计算复利的函数，在任意时刻都有( dA（t）/dt)/A(t)=ln(1+r), 且保证年利率还是r 。

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年华之嘉

2017-6-7 12:16:19

为说明复利分期计算公式存在的问题，我们先看一个例子。
设有有本金 A0元，年利率为100%。在给出年利率为100%的前提下，确定半年期的利率。
a. 按单利方法折算，一年的利率为100%,得半年的期利率为50%。
b. 按复利方法折算，一年的利率为100%,得半年的期利率为 (1+100%)^(1/2) -1=41.421%。
根据用这两种方法确定的半年期的利率，计算两个半年，即一年的利率，则可有下列四种方法。

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2017-6-7 14:13:54

极限的运算有错误

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hebdzhg

2017-6-7 16:16:37

hit881119 发表于 2017-6-7 14:13
极限的运算有错误

这是给的哪里极限计算的结论，还是对哪里极限计算的疑问？

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hebdzhg

2017-6-8 10:06:45

给出年利率r 后，根据A(t)= A。(1+r）^t 推出 Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)，再推出所谓的连续复利公式A(t)=A。e^（rt），我们用四种分论述析了这种连续复利公式是错误的。每一种论述都足以说明这种连续复利公式是错误的，因为这种连续复利公式影响太广，促使我们不得不从各个方面去分析其错误。
1.公式推导是错误的。
2.这种推导没有任何实际中的应用，就连对它的解释，有些教材都出现明显的差错。
3、社会上年利率的构成本身就符合呈指数函数连续复利的规律。再通过另外的所谓连续复利计算，再提高利率值就与事实就相悖了。
4.从函数整体结构上论述了、排除了所谓连续复利公式的正确性（见82楼论述)。

所以，应该确认，各种教材中讲的连续复利、连续复利公式是错误的。

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hebdzhg

2017-6-9 09:42:28

这几天对本帖投反对票的增加，欢迎各方面的意见发帖讨论。

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h2h2

2017-6-9 20:35:23

hebdzhg 发表于 2017-6-9 09:42
这几天对本帖投反对票的增加，欢迎各方面的意见发帖讨论。

大大不放弃的精神可嘉！

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hebdzhg

2017-6-10 04:55:03

之所以不放弃，是因为这种方法是错误的，这种方法搞乱了学生的思维。本帖  12、13、14、17、20、21、23楼仅举几例，实际上还有很多。有的是中学生都应能看清的错误。

例如，12楼所列教材中的讲述“设今年我国国民生产总值为A。，又设年平均增长率为10% ，求10年后的国民生产总值A.。
解由于国民生产总值不是到年底才增长，而是每日每时增长的，因此有A(t)=A。e^(rt)，
本例中，r=0.1,t=10，
所以       A=A。e ^（0.1x10）=A。e=2.7183A。
即10年后的国民生产总值为今年的2.7183倍，若按公式A=A。(1+r）^t，
计算，则A=2.593A。，这个结果不如上面的结果精确。”

1、在中小学我们就会计算这个题，答案是 A。(1+10%）^=2.593A。
2、计算这样的题，不必考虑    “国民生产总值不是到年底才增长，而是每日每时增长的".
3、连续复利公式推导中，从 Am= A。（1+r/m）^(mt)推A(t)= A。e^(rt)用到求极限。不是任何时候求极限就得精确值的。    用梯形代替曲边梯形的面积是一种近似，将曲边梯形分得越小，其总和面积与曲边梯形的面积越近似，求极限得曲边梯形面积的精确值。  上边的例题求极限的过程就是不断增大误差的过程，最后是把本来精确的值搞成错误的值。

教师编出这样的教材，让学生怎么学到正确的知识。  这种错误的产生根源在于连续复利公式的思维是错误的。

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jxll11234

2017-6-24 18:12:35

“设有有本金 A0元，年利率为100%”
世界上从来没有任何一个投资项目，年利率能达到100%。特别是银行的理财/存款。这个题目假设的莫名其妙。

人家原来的复利公式，利率都是已知的，让你求利息多少，或者给你利息本金数额让你求利率，根本就没错。露珠直接给人把公式改了..........所以你后面一系列的推倒别人错的，其实都是你错。

用了至少几十年，经过无数银行系统验证，要有错的话也不会到今天还没发现。别瞎忙活了。

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