所谓连续复利公式的推导错在哪里？

2018-7-29 08:24:16

错误讲述连续复利法的书籍目录

[781]李继根大学文科数学华东理工大学出版社，2012年8月.
[782]劉冬燕　高等數學，同濟大學出版社。2012年8月.
[783]王德才,郭建萍经济应用数学高等教育出版社，2012年9月
[784]黄已立、高继文：经济应用数学.中国科技大学出版社， 2012年9月.
[785]谭春枝金融工程理论与实务（第二版）北京大学出版社 2012年9月
[786]王玲芝：经济应用数学.中国铁道出版社，2012年11月.
[787]夏思军技术经济学中国人民大学出版社2013年1月
[788]张淑娟,吴慧涵《经济数学基础教程——微积分》电子工业出版社，2013年2月
[789]白克志余惠霖经济应用数学基础及数学文化人民邮电出版社2013年2月
[790]万丙晟、黄建华高等应用数学清华大学出版社 2013年3月
[791]考研数学高等数学18讲北京理工大学出版社 2013年4月
[792]肖鹏技术经济学对外经济贸易大学出版社 2013年5月
[793]刘春风高等数学 .清华大学出版社 2013年6月
[794]西南财经高数教研室: 高等数学（经管类）.科学出版社. 2013年6月.
[795]:李军英，刘碧玉，韩旭里:高等数学: 科学出版社2013年6月.
[796]吴岚、黄海、河洋波：金融数学引论.北京大学出版社, 2013年7月
[797]王凤科技术经济学南京大学出版社2013年8月
[798]史悦：高等数学。北京邮电大学出版社有限公司，2013年8月.
[799]陈宇郑丽经济数学西安电子科技大学出版社 2013年8月
[800]黄秋灵郭磊应用微积分经济科学出版社 2013年8月

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2018-7-29 09:37:28

楼主没有搞清名义利率和有效利率的概念。

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2018-7-29 10:11:45

liulanghan 发表于 2018-7-29 09:37
楼主没有搞清名义利率和有效利率的概念。

所谓连续复利公式的推导是，根据同一个名义年利率的值r
               A= A。(1+r）^t
一年中结算m次，t期本利和Am为
                                                Am= A。（1+r/m）^(mt)
再令m→∞，得出 A= A。e^(rt）
这里用到了名义年利率r，但是 Am= A。（1+r/m）^(mt)公式中，名义年利率r不变，而m可取任意自然数，这种名义年利率r的应用在实际生活中不存在。
如，2017年秋季中国银行的一年期的年利率为0.0175，半年期的名义年利率为0.0155，一年中计息次数m增加，相对应的名义年利率r(m)一定减少。实际中可用的复利分期公式当是  Am= A。（1+r（m）/m）^(mt) .
就是说，公式Am= A。（1+r/m）^(mt)在复利分期计算中不存在，对此式取极限也就没有应用的意义了。

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2018-7-29 11:24:07

谁规定名义年利率不变，不同计息方式下名义年利率可以不同。

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2018-7-29 11:33:51

liulanghan 发表于 2018-7-29 11:24
谁规定名义年利率不变，不同计息方式下名义年利率可以不同。

在同一个问题中，计息期不变，相应的名义年利率就不应变。计息期变化，相应的名义年利率一定要变。

在根据 A= A。(1+r）^t
推导出 Am= A。（1+r/m）^(mt)
中，名义年利率的值r 是作为常量对待的，作为常量对待的含义就是数值不变。

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2018-7-29 11:41:10

公式推导的意思是名义利率为r,如果一年计息m次，有效利率为多少，如果m为无穷大，则有效利率又为多少，并没有说现实中无论m为多少，名义利率都是固定不变的。

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2018-7-29 11:43:23

比如银行可以规定两种存款利率，一种是一年计息一次，名义利率为3%，另一种是连续复利，名义利率为2.5%，自己计算选择。

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2018-7-29 11:52:47

liulanghan 发表于 2018-7-29 11:24
谁规定名义年利率不变，不同计息方式下名义年利率可以不同。

“不同计息方式下名义年利率可以不同。”
而推导连续复利过程中用到的Am= A。（1+r/m）^(mt)中的名义年利率r 却是被当做常量对待的，这正好说明公式Am= A。（1+r/m）^(mt)在实际金融活动中不存在。

数值r 不变，而一年中的计算次数m 可以任意变，在任何领域，任何人举不出Am= A。（1+r/m）^(mt）的应用实例。

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2018-7-29 13:01:51

liulanghan 发表于 2018-7-29 11:43
比如银行可以规定两种存款利率，一种是一年计息一次，名义利率为3%，另一种是连续复利，名义利率为2.5%，自 ...

“比如银行可以规定两种存款利率，一种是一年计息一次，名义利率为3%，另一种是连续复利，名义利率为2.5%，自己计算选择。”

这实际就是规定存 A。元，
如选择一年计算一次按  A。（1+3%）^t计算 ,也就是按
A。e^(tln（1+3%）)= A。e^(0.0295588 t)计算，其中t只取自然数。
另一种是连续复利，名义利率为2.5%，应该就是按A。e^(0.25t) 计算，这也就是按
A。（1+（e^0.025 - 1））^t  = A。（1+2.5315% ）^t计算。其中t只取连续实数。
这种规定是合理的，也是可行的。
储户选择一年期存款，限制了储户一年内随时可取款的权利，所以实际年利率就高一点  ;  储户选择连续复利，储户有了随时可取款的权利，所以按年利率折算，年利率就要低一点。
银行这么做，合理可行，但这与各种教材上讲的连续复利计算无关。

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2018-7-29 13:09:27

liulanghan 发表于 2018-7-29 11:41
公式推导的意思是名义利率为r,如果一年计息m次，有效利率为多少，如果m为无穷大，则有效利率又为多少，并没 ...

名义年利率为常数值 r ，一年中计算次数m 增加, 这就提高了有效年利率，这在实际生活中是不存在的。

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2018-7-31 10:58:18

楼主你好，我非常赞同你的观点。如果今年投入100元，第二年能拿到110元事实，那么如果理论中，采用e^rt这种连续复利进行计算，那么就会得到第二年的收益为100*e^r而不是100（1+r）=100（1+10%），这就与实际相违背。我觉得如果有人反对楼主提出来的观点的话，就解释一下这两个值为什么不相等。这个10%我指的是银行给出的一年计息一次的利率，不会存在名义年利率和有效年利率的差别。
另外我想问一下楼主老师，那我应该怎么看待有些理论采用了e^rt这种连续复利呢，是否可以理解与实际近似，所以使用的时候可以忽略误差，因为确实当r很小的时候，e^rt近似等于（1+r），而且实际中确实r会比较小。我知道虽然近似但是确实是不相等的，但是既然那么多理论用e^rt都被大部分人认可，那我当学习和接受这些理论时，是不是可以认为它们是近似去理解那些理论？

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2018-7-31 13:01:58

楼主你好，我还有个想法，连续复利应该只是一个假设的利率结构吧，实际生活中是不可能每时每刻都在复利的，那么用 t*ln(1+r) 作为连续复利的好处就在于于它能满足在每次每刻都在复利的情况下，满足初值条件。而 e^rt作为连续复利就不满足初值条件，不过两者都是为了假设一个世界可以算出每个时刻的利率。请问我这样理解可以么？

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2018-7-31 13:29:59

100330487 发表于 2018-7-31 10:58
楼主你好，我非常赞同你的观点。如果今年投入100元，第二年能拿到110元事实，那么如果理论中，采用e^rt这种 ...

1 首先说。是否需要连续计算，这是由事物本身决定的，不是由什么连续计算方法决定的。
例如，一棵树10米高，一年内增长10%，一年后就是11米。一根旗杆10米，一年内某一天给它加高10%，一年后这旗杆也是11米。这两者计算方法一样。
如果认为树是呈指数函数增长的，则可用10（1+10%）^t计算一年内任何时刻的树高，但不能用
10（1+10%）^t计算任意时刻旗杆的高度。这两者计算就不一样了。
用于利息、收益率问题计算也是这样，如果借出方和借入方同意一年为一次计息期，年利率为10%，则可用A。（1+10%）^t计算资金本利和，时间t 只取整数，不能进行所谓的连续计算。
如果一个商店经营年收益率为10% ，如果这家商店的经营水平保持不变，则可用A。（1+10%）^t计算这商店在任意时刻 t 的总值，即可以进行连续计算。

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2018-7-31 13:47:43

2 所谓连续复利的推导本身就不成立。
100*e^r与100（1+r）不是等式，在什么意义上这两个式子都不能互推。
。100*e^r=100（1+（e^r -1）），这是等式。
100（1+r）=100e^(ln(1+r )，这也是等式.
例如1+10%=e^0.953; e^0.1=1+10.517%

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2018-7-31 13:50:42

hebdzhg 发表于 2018-7-31 13:29
1 首先说。是否需要连续计算，这是由事物本身决定的，不是由什么连续计算方法决定的。
例如，一棵树10米 ...

那其实假设利息是符合连续计算的也是合理的吧，因为比如银行只有一年期的利率，那么其实存款存到半年的时候也是有价值的，那么这个时候用（1+r）^1/2去估计它的收益我认为是合理的，那任何时刻的收益用e^[t*ln(1+r)]去估计也是合理的把，因为是满足复利的思想的，这样无论卖方还是借方都应该会接受在任意时刻收益率用e^[t*ln(1+r)]计算。只是用e^t*r估计就会不太合理。可以这样理解么？

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2018-7-31 13:57:29

hebdzhg 发表于 2018-7-31 13:47
2 所谓连续复利的推导本身就不成立。
100*e^r与100（1+r）不是等式，在什么意义上这两个式子都不能互推。
...

我知道100*e^r与100（1+r）是不能互推的，那如果使用e^[t*ln(1+r)]作为连续复利不可以么？

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2018-7-31 14:19:06

3 关于近似计算和近似值
当没有准确计算方法时，人们要用逐渐逼近的方法进行近似计算，当没办法得到准确值的时候，人们就要把近似值当做准确值使用。
在生活中，人们可把100.02斤和99.9斤当做100斤。
在数学计算上，60+40 = 100.02则应不当做是近似值。
对于年增长率10% 的事物，A。（1+10%）^t既可用作连续增长，也可用作不连续计算，不必用近似式计算。
用不着改成近似式Ae e^（0.1t）也就是^A。（1+10.517%）^t计算。

4 关于实际工作对问题的描述中为什么常用Ae e^（0.1t）表达，可见我在社科网上的文章《连续复利与普通复利辨析》中的最后一部分，可百度到这篇文章。

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2018-7-31 14:24:22

100330487 发表于 2018-7-31 13:01
楼主你好，我还有个想法，连续复利应该只是一个假设的利率结构吧，实际生活中是不可能每时每刻都在复利的， ...

实际生活中资金的价值就是在随时间连续增值，这本身就是连续复利。双方同意按年利率10%结算，就是对资金在一年中资金不断连续增值的认可。

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2018-7-31 14:29:24

“使用e^[t*ln(1+r)]作为连续复利不可以么？”

可以，这就是公式A。（1+r）^t 啊。

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2018-7-31 14:50:15

银行同意一年期的年利率是r 时，不会再同意半年期的年利率为r/2 ,资金的增值规律应当是复利，这样折算是按单利计算。

银行同意一年期的年利率是r 时，这个时候可用（1+r）^1/2去估计它半年时的价值，但银行规定半年期的利率时，一定小于
（1+r）^1/2-1, 否则，人们都会采取半年期的储蓄方式，一年期的储蓄方式就实际不存在了。

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2018-7-31 15:05:19

楼主，我认为是这样的。一般来讲，书上那些使用 e^r*T 中的r指的是一年或者某个期限的名义利率，假设这个利率为10%，那么它不能保证你第二年得到的是10%的回报，第二年的回报还要取决于它计息的次数，如果计息的次数是连续的，那么第二年的回报是实际利率对应的e^10*T。所以你说的一年期的年利率是r和名义利率是r是不一样的，如果一年期的利率是r表达的意思是一年期的投资实际得到r%的回报，那么确实不能用e^r*t这个公式，应该是用e^t*ln(1+r)这个公式，也就是你说的（1+r）^t，但是这么做也是有它的方便之处的，可以设一个r1=ln(1+r)，那就可以吧（1+r）^t化为e^t*r1，我个人认为指数函数这种形式可以方便数学推导，可能数学推导涉及正态分布的时候会很方便。

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2018-7-31 15:25:36

借出方和借入方的利息计算，利率大小、计息期、计息方式都是双方认可的。用不到通常教材上讲的连续复利。
如考虑一家金融公司资金的增长，无论时间变量 t 取整数还是连续实数，公式A。（1+r）^t 都足够用。
计算利息的公式，写成以e为底的形式，还是不写成以e为底的形式，本质是一样的，都是一种规定或习惯。
问题的核心是，国内外许多教材中讲的连续复利的推导是错误的。

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2018-7-31 15:43:27

hebdzhg 发表于 2018-7-31 15:25
借出方和借入方的利息计算，利率大小、计息期、计息方式都是双方认可的。用不到通常教材上讲的连续复利。
...

但是一般的推导用的都是名义利率而不是有效利率，利率确实是双方认可的，但是我觉得名义利率不代表双方认可的有效利率。如果给的r是有效利率，那e^rt的推导确实是错的，就像你说的这是双方认可的，如果采用e^rt就会导致利率增大。但是比如罗斯的公司金融第九版上面明确表示了r是名义利率，而名义利率并不是指到期得到r%的利率这个r，与你的说法不冲突。

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2018-7-31 15:49:23

使用 e^r*T 表达，能保证第二年与第一年的年收益率是一样的，如果T取连续实数，还能保证0.3年到1.3年、0.8年到1.8年的年收益率都不变。
但年收益率不是 r ,而是e^r -1.

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2018-7-31 15:51:44

hebdzhg 发表于 2018-7-31 15:49
使用 e^r*T 表达，能保证第二年与第一年的年收益率是一样的，如果T取连续实数，还能保证0.3年到1.3年、0.8年 ...

但是年收益率不一定要是r呀，因为本身给出的r就是名义年利率而不是有效年利率，名义年利率并不能保证收益是r。

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2018-7-31 16:13:39

这里讲的是计算方法，要保证计算方法正确，公司实际的经营工作中的年收益率不会总不变。在银行储蓄中是可以保证年利率不变的，那是一种双方认可的规定
名义年利率是个说法，例如2017年银行半年期的名义年利率是0.0155，这实际是告诉储户半年期的有效利率是0.00775，无论谁用单利法，即用0.0155除以2就可得出0.00775。还是这个问题，如果银行说半年期的有效年利率是0.0156，让储户用用复利法去折算出半年期的期利率是0.00775，那是很难的、不可行的。这当就是使用名义年利率的意义。

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2018-8-1 09:29:55

看推导出所谓复利分期计算公式时存在的三个错误
推导所谓连续复利公式的过程中用到所谓复利分期计算公式 Am= A。（1+r/m）^(mt)。所谓连续复利的推导过程
是根据同一年利率的值r个名义
               A= A。(1+r）^t             （1）
一年中结算m次，每次利率取为r/m,j即得所谓复利分期计算公式
      Am= A。（1+r/m）^(mt)          （2）
再令m→∞，得出 A= A。e^(rt）          （3）
其实，由（1）式推（2）就已存在了三个错误。对于（1）式，我们把它看成是不连续的复利计算式，其中的时间变量t 只取自然数，在变量 t 取非自然数时无意义。在0.01年到0.99年内，在1.01年到1.99年内，函数没有定义，资金总额是不增长的，或说是没有考虑是怎么增长的；(1)中的r 是一年期的年利率。这是考虑问题的出发点，是研究问题的前提。
于是，得出（2）式就发生了三个错误。
第一个错误，在0.01年到0.99年内，（1）式是不连续的，资金函数在时间区间（0,1）内没有定义。得出（2）时你把它分成m次计算，m=10时，就是在0.1年、0.2年、0.3年……0.9年，它是有定义的了，当m=100000000时，就必须分分秒秒函数都必须有定义，这就把本来不连续的计算已经变成连续的了，这就改变了研究问题的前提。
第二个错误，在（1）中，资金总额在时间区间（0,1）内是怎么增长的不知道，而把一年分成m次的计算中，每次计算的利率取为r/m 的方法，就是把资金总额在时间区间（0,1）内是按单利增长的，是按“利息增长与时间成正比”的思维计算的，把（1）中没有认识清楚的资金增长规律改为按单利增长，这是第二个错误。
第三个错误，在（1）中，r 是年利率，需知，一年期的年利率与半年期的名义年利率的概念是不同的，半年期的名义年利率与三个月期的名义年利率也是不同的，所以，从（1）式到（2）式，已经改变了r 的含义。不知不觉中改变概念含义，这在自然科学和社会科学的研究中都是不合理的，是错误的。

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2018-8-8 10:54:17

谁给你规定一年期的年名义利率只能有一个，同一家银行针对不同的计息方式可以给不同的名义利率，现实中你没有见到并不能说理论上不行。连续复利的计算公式就是规定名义利率为r，在连续复利计息方式下的有效利率。

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