线性变换的矩阵之间的关系

文/更远大侠

一、线性变换

　　线性空间之间的变换L：（V,k）→(W,k)若满足以下公理：

　　对任意x,y∈V，a、b∈k有L(ax+by)＝aL(x)＋bL(y)

　　则称为从V到W的线性变换。

二、线性变换的矩阵

　　设E＝{e1，e2，…，en}为V的基底，H＝｛h1，h2，…，hn｝是W的基底，则T(E)＝（T(e1)，T(e2)，…，T(en)）在W中基底H下的坐标称为线性变换（V，E）→（W，H）的矩阵，记为[H,E]。其中T（E）表示V中基底E在线性变换T下的像，E在变换T下的像是W中的n个向量，这n个W中的向量在W中基底H下有坐标A，这个坐标矩阵A称为变换T在V中基底E和W中基底H之间的矩阵。向量组E在线性变换T下的像在W中基底H下满足T(E)＝HA＝H[H,E]。

　　设一个向量v在V中基底E下的坐标为x，即v=Ex，则经过线性变换后的像T(v)在W中基底H的坐标设为y，则有T(v)=Hy。另一方面，T(v)=T(Ex)＝T(E)x＝HAx，因此有Hy=HAx，因此有y=Ax，此即线性变换中一个向量在原空间的坐标x与变换之后在像空间的坐标y之间的关系式。

　三、线性变换在不同基底下的矩阵之间的关系

　　若V与W都是线性空间，且V的两个基底E＝{e1，e2，…，en}与G＝｛g1，g2，…，gn｝之间的过渡矩阵为E=GM，即M是基底E在基底G中的坐标，记为M＝[G,E]。W的两个基底H＝｛h1，h2，…，hn｝，S＝｛s1，s2，…，sn｝之间的过渡矩阵为H＝SN，即基底H在基底S中的坐标为矩阵N＝[S,H]。

　　首先，E中向量是G中向量的线性组合，系数矩阵是M，E＝GM，因此按照线性变换的定义有T(E)=T(GM)=T(G)M。

　　线性变换T：V→W在不同基底下的矩阵表示如下表：

表1　线性变换的矩阵

序号	V的基底	W的基底	T：V→W的矩阵	符号	关系
（1）	E	H	T[H,E]	A	T(E)=HA
（2）	E	S	T[S,E]	B	T(E)=SB
（3）	G	H	T[H,G]	C	T(G)=HC
（4）	G	S	T[S,G]	D	T(G)=SD

　　可见，在V和W都有两个基底的情况之下，同一个线性变换的矩阵涉及到4个矩阵，分别对应不同的基底之间的组合。

同时我们说明一下，上面一共涉及到10个矩阵，其中E、G、H、S是由列向量构成的基向量组，其中E、G是n维空间V中的n维向量组，H、S是m维空间W中的m维向量组。而M、N、A、B、C、D则是以域k中元素构成矩阵。其中过渡矩阵M是n阶方阵，过渡矩阵N是m阶方阵，线性变换的矩阵A、B、C、D都是m×n维矩阵。

　　下面讨论两个过渡矩阵M、N和4个线性变换的矩阵A、B、C、D之间的关系。

　　1、由表1中（1）与（2）可知，T(E)＝HA＝SNA＝SB，可知B＝NA，即T[S,E]=[S,H]T[H,E]。

　　2、由表1中（1）与（3）可知，T(E)=HA=T(G)M=HCM，可知A＝CM，即T[H,E]=T[H,G][G,E]。

　　3、由表1中（1）与（4）可知，T(E)=HA=SNA=T(G)M=SDM，可知NA=DM，即[S,H]T[H,E]=T[S,G][G,E]。

　　4、由表1中（2）与（3）可知，T(E)=SB=T(G)M=HCM=SNCM，可知B＝NCM，即T[S,E]=[S,H]T[H,G][G,E]。

　　5、由表1中（2）与（4）可知，T(E)=SB=T(G)M=SDM，可知B＝DM，即T[S,E]=T[S,G][G,E]。

　　6、由表1中（3）与（4）可知，T(G)=HC=SNC=SD，可知D＝NC，即T[S,G]=[S,H]T[H,G]。

　　可见，两个过渡矩阵与线性变换的四个矩阵之间存在上述六个等式表达的关系式。这些关系式满足某种链式规则，比如D＝NC，即T[S,G]=[S,H]T[H,G]，其中C是从G到H的矩阵，N是从H到S的矩阵，因此D是从G到S的矩阵。它们的关系可以图示如下：

　

　　从E到S有五条路径，即直接路径B，路径EGS给出DM，路径EHS给出NA，路径EGHS给出NCM，路径EHGS给出D(C_)A，但当线性变换不是可逆时，C没有逆矩阵，因此路径EHGS不可行。在最理想的情况下有B＝DM＝NA＝NCM＝D(C_)A，其中C_表示C的逆矩阵，这样在网页上表示方便，下同。

　　从E到H的路径同样有四条，直接路径A，路径EGH给出CM，路径ESH给出(N_)B，路径EGSG给出(N_)DM，因此有A＝CM＝(N_)B＝(N_)DM。

　　从G到S的路径有四条，直接路径D，还有GES给出B(M_)，GHS给出NC，GEHS给出NA(M_)，即有D＝B(M_)＝NC＝NA(M_)。

　四、矩阵相似

　　在上述线性变换T：V→W中，如果让W＝V，且W＝V中的基底H＝E，S＝G，则过渡矩阵M＝N，此时T(E)=T(G)M，T(E)=EA,T(E)=GB,T(G)=EC,T(G)=GD。此时考虑E到S的路径，NA＝DM退化成MA＝DM，即有A＝(M_)DM，此时我们称A与D这两个矩阵相似，A是线性变换T在基底E上的矩阵，而D是线性变换在基底G上的矩阵。这即是矩阵相似的来源，线性空间到自身的可逆线性变换在不同的基底上的矩阵互为相似矩阵。

　　此时应当注意的是，矩阵A与B，B与C，A与C仍然不相似，只有A与D相似。在考虑矩阵相似时，一定是考虑同一个线性空间在同一个基底下向自身的可逆线性变换的矩阵，即此时线性变换的矩阵不同时涉及到基底变换。在从V到W的线性变换的四个矩阵中，相似只可能是A与D，其它组合不可能相似。这样我们就破除了矩阵相似的神秘性。