中 心 化 子 与 正 规 化 子的比较

文/更远大侠

       一个群的中心是指能够与这个群的所有元素进行交换的元素的全体，即：

      C（G）={x|xg=gx，任给g∈G}。

       可以证明一个群的中心是一个群。但一个群可能除了单位元｛1｝之外没有可交换元素，从而没有中心，此时称群为非中心的（centerless）。但我们为一个群的一个元素x找到一个能够与之交换的“环境”，这即是x在群G中的中心化子，其定义为：

CG(x)＝{g∈G|gx=xg，x给定}

      而群G的一个子集S的中心化子定义为S中每个元素的中心化子的交集：

            CG(S)＝{g∈G|gx=xg，x∈S}

       一个群的正 规 子 群H是指其左右陪集相同的子群，或者说任何一个G中元素g与子群H的乘法都符合交换律。并非一个群的任何子群都是正 规 子 群。但对于一个群G的子群H，我们却可以找到一个环境，可能说找到G的一个子群N满足H◁NG(H)＜G，即H虽然不是G的正 规 子 群，但H是G中子群N的正 规 子群，这个N称为H在G中的正 规 化 子。其正式定义如下：

NG(H)＝{g∈G|gHg-1=H}＝{g∈G|gH=Hg}

NG(H)是让H的左倍集等于右陪集的元素的集合。

        群G的一个子群H的中心化子与正_规_化_子有关系，显然，H在G中的中心化子也必然是正 规 化 子，但正_ 规_化子不一定是中心化子，即有CG(S)＜NG(H)。

理想化子是与中心化子和正-规-化子类似的概念，只是对于环而不是群而言。简单地讲，一个环R的子环T不一定是环的理想。设环R的子环S是满足以下条件的最大子环，

        T◁S≤R

      即S是R的子环，且T是S的理想，则对于任何满足T◁S’＜R的子环S’有S’≤S，则称S为T在R中的理想化子。一个子环T虽然不是环R的理想，但可以在R中找到一个环境即T的理想化子，使得子环T是子环S中的理想。

理想化子的正式定义如下

       IR(T)={s∈R|sTíT，TsíT}

      由此可见，中心化子、正-规-化-子、理想化子这些概念的提出，是在一个子群H并非原大群G这个大环境的中心、正-规-子群、理想的条件下，寻求一个比G小的子群（环）给H提供一个较小的环境，使得H是这个较小的环境的中心、正-规-子群和理想。