大家觉得0.9的循环和1哪个大？

sungmoo

2009-10-19 10:44:25

mingqiong 发表于 2009-10-18 11:50 0.999999999无限循环9，它和你1哪个大？
……
当然如果在深究下去的话，是两者是否可以比较的问题，这就是哲学的问题了，可惜我是弄不明白。

你需要先向大家给出“等于”、“大于”、“小于”的定义。

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rightperson

2009-10-19 10:57:56

7# tttsssnnn
我喜欢这个解释，呵呵

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sungmoo

2009-10-19 11:03:22

mingqiong 发表于 2009-10-18 11:50 0.999999999999……=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+......
右边可以看做一个等比数列，公比为0.1，极限为：0.9/(1-0.1)=1，也就是说右边和得极限才是1，或者说右边是达不到1的，那么当然左边0.99999999999无限循环9，它是不会和1相等的。

注意：“级数”与“相加求和”并不能简单混淆。

上面式子中的"="，恰恰引出了许多问题。

“级数”的敛散性是通过“部分和”所形成的数列的性质判定的（而这里，“部分和”、“数列”都要有明确的定义）。

"某个级数收敛于a"，是不是等价于，"该级数等于a"，这完全取决于你对“级数收敛于”与“级数等于”的定义。

换句话说，能否认为某个级数“收敛于”或“等于”0.999……，这完全取决于你对“级数收敛于”与“级数等于”的定义。

“加法”是在有限项内完成的，不能任意推广至无穷项。

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sungmoo

2009-10-19 11:05:41

borain 发表于 2009-10-18 19:13
0.9+0.1=1
0.9+0.09=0.99
0.09<0.1
so: 0.99<1
......
0.9...+0.0...1=1
0.9...+0.0...9=0.9...
0.0...9<0.0...1
so:0.9...<1

将“有限”的性质，推广到“无限”，不是任意的。

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wlstc208

2009-10-19 11:06:18

0000000000000000000000000000000000000000

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uc_sjtu

2009-10-19 11:10:51

这还能证明，所有人都证明都是以结论证结论的；数学归纳法是n能推出n+1,就没看出来一个一个之间有递归，真是昏过去了。我小学时读过的证明（在一针对小学生的杂志上看到的）：10*0.9~ =9+0.9~,所以0.9~=1
这里认为跟自然数等价的无穷个减一基数还是不变。这就好比说有理数跟自然数是一一对应的，所以他们两个的数量一样多。你举出任何一个不同的有理数，都可以找到一个不重复的自然数与之相对应。这里的逻辑就是一一对应的两个无穷大数集里面的数是一样多的。
我也没想通的另外一个例子是Ross概率论上的类似题目：一个无限大的容器，里面本没有球，现在时间离十点差十分钟，你过五分钟向容器里放十个球，拿出一个球；再过2.5分钟重复操作；以后的时间间隔都是上一次的一半，问到十点容器里有几个球。答案是

没有。

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sungmoo

2009-10-19 11:16:26

tttsssnnn 发表于 2009-10-18 15:51
一样大
1/9=0.1111111........
1/9x9=1

现在的问题是：0.99999……为什么可以“等于”0.1111111……x9？

这里的“等于”，只是一种规定（或定义）吗？还是推论？

（这里，仍然是把“有限”的性质推广到“无限”了）

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lizheng027

2009-10-19 11:16:59

一样大，小学问题！
0.3的循环是1/3，0.9的循环就是1/3乘3，所以就等于1

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sungmoo

2009-10-19 11:38:50

lizheng027 发表于 2009-10-19 11:16 0.3的循环是1/3，0.9的循环就是1/3乘3，所以就等于1

0.3333……=1/3
0.1111……=1/9

这里的“=”，其实就是一种规定（或定义），这种规定（或定义），规定了十进制下“既约分数”（及其表达式）与“无限循环小数”（及其表达式）的对应，俗一些说，“分数”与“无限循环小数”（“有理数”的这两种表达形式）如何实现“互化”。

在这种规定下，0.9999……=1。

同时，1/3*3=1，这也是一种规定（或定义）——定义乘法及除法。

让人们费尽心机的其实是，所建立的这些林林总总的规定，如何不产生矛盾。