第一题，随便取sigma-代数中的一列集，作它们的并，若等于全集则说明全集在sigma-代数中，进而由补集在sigma-代数中知全集的补集即空集在sigma-代数中。若这列集合的并不等于全集，则将这个并的补集与原来的集列组成一个新的集列，此时该集列的并等于全集，所以全集在sigma-代数中，进而空集也在sigma-代数中。

第二题，假设空集的测度大于0，记为e，由于空集的交仍是空集，于是两个空集的并的测度等于两个空集测度之和，即mu(空集U空集)=mu(空集)+mu(空集)=2e，而两个空集的并仍为空集所以等式变为e=2e，与e大于0矛盾，所以空集的测度只能为0。

第三题，1,集合A在集合B之中，所以B=AU(B\A)，由于A与(B\A)不相交，所以mu(B)=mu(AU(B\A))=mu(A)+mu(B\A)，由测度性质知mu(B\A)非负，所以mu(B)大于等于mu(A)；2, 令Bi=Ai\(A1到Ai-1的并)，所以Bi两两不相交即mu(UBi)=所有mu(Bi)的和，而且所有Bi的并等于所有Ai的并即mu(UAi)=mu(UBi)，并且Bi均在Ai内，所以mu(Bi)[小于等于]mu(Ai) 对所有的i成立。结合起来即mu(UAi)=mu(UBi)=所有mu(Bi)的和[小于等于]所有mu(Ai)的和，所以mu(UAi)[小于等于]所有mu(Ai)的和

let A1,A2....An be a partition of S, which means A1UA2U....An=S, if A1,A2....An belong to sigma algebra, then A1UA2U...UAn=S belong to; then if S belong to sigma, then S的补也属于，S的补是空集，所以空集也属于

第二题是定理1.2.4，let Ai be a partition of S, A1UA2...UAi=S P(UAi)=sum(PAi)=P(S)=1,空集是S的补集，根据定理1.2.8 P(A)=1-P(A的补)，所以P(空集)=1-P(S)=1-1=0

第三题是定理1.2.9，P(BnA补)=P(B)-P(BnA)>=0, since A belong to B, so P(AnB)=P(A), P(BnA补)=P(B)-P(A)>=0 得证

不知道能不能传照片，那样会清晰一些。谢谢给点金币，我想下载一本书。

另一位朋友的答案更加完善，所以奖金给他了，不过仍然非常感谢答题，你要下哪本书？需要多少金币？链接告诉我，我给你下载，然后发给你