Stochastic Calculus (Alan Bain)

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
2. Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
3. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5. Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6. Total Variation and the Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . 11
7. The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8. The Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9. Semimartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10. Relations to Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11. Itˆo’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
12. L´evy Characterisation of Brownian Motion . . . . . . . . . . . 46
13. Time Change of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . 48
14. Girsanov’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
15. Brownian Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . 53
16. Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 56
17. Relations to Second Order PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . 61
18. Stochastic Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
19. Gronwall’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
20. Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
21. Discontinuous Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . 92
22. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95