在R语言自带的datasets包中，有个数据集叫UCBAdmissions，这个数据集咋一看其貌不扬，再一看还是平平淡淡，其实，这个数据是揭示Simpson's Paradox的典型真实案例。本帖为了简化问题的说明，选取其中的一部分：数据大概是这样子的：

Admit	Gender	Dept	Freq
Admitted	Male	A	512
Rejected	Male	A	313
Admitted	Female	A	89
Rejected	Female	A	19
Admitted	Male	D	138
Rejected	Male	D	279
Admitted	Female	D	131
Rejected	Female	D	244

数据的内容是不同性别（Gender）的人申请不同的系（Dept），获得同意或拒绝（Admit）的次数（Freq）。
将数据汇总后，可以形成下面的图（制图比较简单，不赘述了）：

从图上可以看到，男性（Male）的录取（Admitted）率，比女性要高。对吧？没错吧？但是——如果我们将这两个系各种申请的男女通过率展现出来：

WTF？！每一个系都是女生的录取率高于男生的录取率，但是为什么数据合在一起，就出现截然相反的结论呢？
为了展示问题，我们换一种方法画图：

在这张图中，横坐标变成了被拒绝的频次（Freq），纵坐标变成了申请成功的频次，图上的点对应男（粉色）、女（青色）申请某个系，和汇总的情况，每个点到原点（0,0）的线段的斜率表示（申请成功/申请失败）的比率，代表了成功率的高低。
从上图可以看到，青色的两条实线都比红色的两条实线的斜率要大，但是，当数据汇总后，青色的虚线的斜率却要比红色虚线的要小！这就是Simpson's Paradox的具体展现。从图上，我们大致可以看出原因——左边第一条青色实线的长度太短了！这可能是导致问题发生的原因。
如果其他条件不变，但是左边第一条青色实线的长度增加到3倍，情况会怎么样呢？——

OK，确实如此，情况逆转了！我们可以用公式粗糙地验证一下：


这提醒了我们一个道理，当我们在进行比率相关的数据分析时，不仅要考虑总体和各子项目的比率情况，还要考虑另外一个维度——各子项目所占权重的情况，因此，对于类似的问题，我在最上面用到的“条形图”就不合适了，这种情况下应该用“马赛克图”用ggmosaic包：
从上面这张图上，Simpson's Paradox想要“骗”我们就没有那么容易了！

好了！我们已经知道了，比率很总要，权重也很重要。那么？问题又来了，如果在一个概率可知且稳定的投资过程中，策略A会稳定的输钱，策略B也会稳定地输钱（相当于比率已知）。如果将策略A、B随机组合或者间隔组合在一起（权重各50%），这个策略一定是稳定输钱吗？——答案还是不一定，有可能会稳定地赚钱！WTF？！是的，这就是Parrondo’s Paradox，有机会我再发帖说明。

另：对概率统计的经典问题感兴趣的坛友，可以看看我发过的另外一个帖子：用R语言实验验证经典概率问题：The Monty Hall problem