数学统计期望值与标准差的现实意义

                          于德浩

                         2018.7.5

统计期望值及标准差在数学定义上是明确的，但是现实应用中，人们往往犯糊涂。比方说，股票的平均年收益率是10%，标准差是30%，怎么具体应用在投资实践中呢？

我们知道，银行的定期存款利率现在大约是年2%，这个可以视为无风险利率。从投资收益期望值来看，股票的年10%明显大于2%，人们应该大部分投向股市才对。可是，人们惧怕股票的波动性，也就是那个30%的标准差，所以当今的大部分中国老百姓宁愿把10万块钱存银行，而不愿意买上证50或沪深300指数基金。

理性的讲，如果这10万块钱，在几年之内没有什么明显的用途，买成股票基金要比存三五年定期存款收益高得多。实际上，从数学上讲，这个一般老百姓的10万块钱的投资期限是“无限长”。

可是，人们往往总是想买一年的股票基金先看看，结果当然是有赔有赚。也就是说，人们仅拿着1次试验结果，去预估未来的期望值，显然这是不科学的。你要真想检验股票收益的期望值，你得至少拿住10年的股票。因为，股票的标准差是30%，所以就按照1个标准差的宽度，你可能明年亏损20%，也可能盈利40%。

期望值是大量事例观测值的平均值，这个“大量”得多大呢？对股票投资收益来说，得是10年。也就是说，你现在买50ETF基金，十年后资产翻2倍以上，这绝对没问题。但是如果说，一年后你大约会收益+10%，这个就非常不靠谱，滥用历史数据及数学统计概念。

我举一个简单的猜硬币正反面的例子。如果你猜对，你就赚1块钱；猜错就赔1块钱。显然这个可能的量子态集合就是{+1，-1}。期望值是0，标准差是1。

如果，你的总资产是10元，每次押注只押1元。如果，我们限定事例的出现范围是正负3个标准差，那么你的总资产长期平均来看就是10元不变，最小是7元，最大是13元。这就一个在博弈案例中，保持不败的策略。

每次押注1元，这是什么意思呢？就是说，当你的资产从10元变为9元时，你的下次押注从1/10上升到了1/9；当你的资产从10元增加为11元时，你的下次押注从1/10减少为1/11。

赌徒为什么总会血本无归？他总是每次都全押上。所以，即使他前面3次都猜赢了，从10元变为20再变为40元。可是第4次，他猜错输了，于是他的资产就从40元直接清零。

一般的“押一半”策略结果总是输。比方说，总共有10元，押一半5元。第一次，输了，还剩5元；第二次再押2.5元，即使赢了，总资产也是7.5元。显然，这在资产缩水。这个策略是“输了押的少，赢了押的多”，与每次押注1元的不败策略是刚好相反的。

对于高风险资产的配置（要么盈利100%，要么亏损100%），一般不应该超过初始资产的20%。就是说，我们要防止“连输5次”的小概率事件。

一个古老的哲学智慧，就是“把赢的钱，先拿出来，别再继续加注了。”就是说，当n次后，资产从10元变为最大的13元时，我们把赚的3元利润拿走，这样就还剩下10元的本金，继续下面的资本循环。如果，我们认为前面n次，与后面的事例独立不相干，我们就相当于每一个猜n次的周期，赚取了30%的利润。这就是在赚“标准差”的钱，或者说，赚股价波动的钱。

另外一种长线持股策略，是在赚取期望值的钱。也就是说，我猜10年后，股价翻倍，有99%的胜率。时间越短，预测股价涨跌的胜率就越小，或者说，越接近50%。就是说，一个专业的证券投资顾问，他猜对明天股价涨跌的概率是51%，比随机的猴子略高一点。

所以，如果是短线操作，一定要清楚，自己猜对的概率大约也就是60%-70%。那30-40%的风险主要是系统外风险，与你的投资模型具体计算无关。因此，当有可能出现“清零”这个量子态时，不论其概率是多么小，都不能全押上。

一般的资本配置1:1是非常好的投资策略，可以不败。比方说，100元买股票，100元现金。当股价翻倍时，变成150:150；当股价又跌回原价时，总资产还是增加为150/2+150=225元。当股价减半时，变成75:75；股价有涨回原价时，总资产是75*2+75=225元。这就是，我不能预测股价变化，但只要股价波动，我的总资产就会盈利。

在现实中，由于人性弱点，赚股价波动的钱实际很难，感性总会比占理性的上峰。比方说，这个月预估股价会上涨，于是做多；结果这个月股票下跌，亏损了，这就属于猜错了。我们预计下个月股价应该会上涨，这是第二次猜测。理性的讲，我们应该适当增加资本投入，不败策略的“从1/10增加为1/9”。比方说，上次失败是10万，那么我们这次应该投入15万。

人性的弱点，怯懦。“上次猜错了，这次别也错了。”就投5万吧，错了可以少赔点。

人性的弱点，贪婪。“上次猜错了，这次应该对了。”这次投50万，要多赚点。

所以，大智若愚的投资大师巴菲特们，他们不做短线。他们有自知之明，在市场信息混乱，大涨大跌的氛围下，很容易陷入当局者迷，总会犯一些不理智的低级错误。

平均每月的涨跌幅大约不会超过正负5%。如果这个月的前5天，就大跌6%。理智的讲，我们应该买入或加仓。但是感性的判断却是“跌势汹汹，赶紧卖出逃跑。或者最多不动，加仓、补仓太危险。”