什么是分形？：  
我们学习过几何学研究的对象，都研究具有整数维的空间。比如，点是零维、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），该学说认为空间不一定用整数的维来描述，而也存在分数维数。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。这就是碎形分析的来源，也有将其与混沌一词放在一起的说法。但是，“混沌”与“分形”是不同概念。
分形几何的产生：
自然界中的事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。任何事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量它。例如：用米尺来测量万里长城，嫌太短；但是，用米尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了某个物体特征长度的概念。还有些事物没有特征尺度，例如：物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动。研究这类问题就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（标度）。我们称其为物体的“无标度性”的问题。研究同时涉及大量不同尺度上的运动状态时，就要借助“无标度性”来解决问题。如湍流中高漩涡区域就需要用到分形几何学。股市是多少年来，人们采用对自然界研究的思维、逻辑来普遍研究的对象。诸如：波动理论、潮水理论等等，分形几何也可以为我们提供一种分析市场问题的思路和逻辑。
在二十世纪七十年代，法国数学家芒德勃罗(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。这依赖于测量时所使用的尺度。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。
数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也再不断的增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。促使数学家和科学家深入研究。
法国数学家芒德勃罗这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形：形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支：分形几何学。“分形”(fractal)这个词正是芒德勃罗在1975年造出来的，词根是拉丁文的fractus，是“破碎”的意思。
分形几何的内容：
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。
当我们画一根直线，如果我们用零维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是零，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。
对于我们上面提到的Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成。显然，用小直线段测量，其得到的结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)。那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在不为整数的维—分维。经过计算“寇赫岛”曲线的豪斯多夫得到的维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...
分形几何学的应用
分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。例如：在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是2，大大高于它的拓扑维数1.
有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现云彩存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。
近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。
股票市场的研究：
我们在了解分形（碎形）一词的含义后，就可以利用分形几何的思维逻辑来处理和测量股票市场价格的波动问题。我们都知道在不同的周期（尺度）下，股票都存在波动，例如：分钟周期、小时、日、周、月、季、年等。每个周期都包含更小尺度的周期波动。例如：在日周期尺度下，小时周期就不是一个整数维。我们首先来讨论一下，具体的分形波动研究。以后再讨论其理论研究的内容。
具体的计算公式我已经在上一篇博客中给出。在此我们仅就其设计思路作初步的探讨。
我设计的分形结构（碎形—台湾这么叫）由连续11根顶点线条所组成，中间的高点一定最高（向下碎形则中间低点一定最低），中间线的左边有五根较低的高点，右边也有五根较低的高点（向下碎形则为左右各有五根较高的低点），你可以现在举起手，观察自己五根手指的结构，就是典型的向上碎形。分辨向上碎形时我们只在乎最高点的位置，观察向下碎形时则只在乎最低点的位置。当一个股价最高点不能突破前五个最高点时，就等待下一个高点的确认，如果连续五个周期都不能确认其中的最高点，就说明股价开始调头向下（或调头向上）。所谓分形，就是将两维空间分为11个从0到1的分数空间。股价一定在从0到1的区间和从0到-1的区间运动。当它达到1时是最高点，达到-1时是最低点。考虑一个小球在一个由11面体组成的封闭空间中弹跳。给每个面编号从-1到+1，例如：-1，-0.2，-0.3，0.7,0.8，...，1等等，该弹跳是没有规律的，但它经过几个周期的弹跳，总会有一次撞到标有1的面。然后，又经过多次弹跳，撞到标有-1的面。有常识的人都知道，弹性好的小球不会连续两次撞到同一个。也就是说在可以观察的周期里，股价的最高或低点是唯一的。只要可以确定小球的弹跳的最高和最低点，我们就有很多在分形空间中的问题可以研究。诸如：两个最高点（或最低点）之间的周期、股价的高度、成交量的大小等等。
其结果是这样的图形：


主图使用的是量价塔线加分形测量图。副图是根据分形测量结果的数据写出的乖离率指标。