著名数学家丘成桐先生发表了题为“几何：从黎曼、爱因斯坦到弦论”的演讲，追溯了为广义相对论发展奠定基础的的黎曼几何，回顾了影响广义相对论发展的物理学突破，并谈及量子力学和引力理论相结合、引力场量子化将成为这个世纪的重要问题，而弦理论是一个相当不错的起点。

丘成桐教授从事广义相对论研究已经四十多年，参与了整个广义相对论的发展。

（一）黎曼几何：改变人类的时空观

如果没有黎曼几何的发展，爱因斯坦将会需要更多的时间来创立伟大的广义相对论。值得一提的是，他的博士论文全部是通过他自己想象写出来的。

现代几何学的发展推动我们对于空间的认识。黎曼（Bernhard Riemann）和他的老师高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）毫无疑问是现代几何学的两位奠基人。高斯是现代几何学的先父，而真正的创始人可能是黎曼。

黎曼

黎曼的一生短暂，只在世40年，就英年早逝。他的学术生涯虽然只有短短16年，但是他发表的每一篇文章都开创了整个几何和数学不同方面的领域，尤其是现代几何。1854年，黎曼在《论关于作为几何学基础的假设》的讲师资格论文中开启了现代几何学的概念。黎曼几何这一漂亮的理论变革了人们对古希腊几何学家所引入的空间的认识。可以说如果没有黎曼几何的发展，爱因斯坦（Albert Einstein）将会需要更多的时间来创立伟大的广义相对论。值得一提的是，他的博士论文全部是通过他自己想象写出来的，除了高斯的一些工作以及赫尔巴特（Johann Friedrich Herbart）的哲学作品，黎曼可以借鉴的文献很少。

黎曼开创几何最重要的目的是解释物理现象，他认为：几何学定理无法从一般的量纲概念导出，而必须借助那些可以区分空间和其他实体的性质。这些性质只能通过实验发现····· 我们只能研究他们的可能性，判断是否可以将其延拓到可观察范围之外，不可测量的巨大或微小······或者空间所依存的物理现实是一个离散的多样体，或者它的度量关系的基础需要追溯到它的元素的结合力的外部来源······

我们现代的几何学是包括了几何、分析与数学物理的一门综合的科学。这正是黎曼160年前研究几何学时采用的观点。与黎曼同时代的数学家中，最重要的一个人是柯西（Cauchy）。柯西和黎曼都是复分析的奠基人，但黎曼与柯西不同的是，他从几何和微分方程的观点来研究复分析，引进了“黎曼面”的基本概念。这个概念是19世纪和20世纪最重要的概念之一，影响到高能物理的发展。

黎曼还是第一位引入独立于欧氏几何的空间概念的学者。（第一个提出非欧几何的是罗巴切夫斯基，即罗氏几何）他用坐标来测量长度，面积和曲率等几何量。他希望这些值与坐标的选取无关，这叫做等效原理，是爱因斯坦后来用作推导他的场方程的一个基本假设。爱因斯坦受到黎曼工作的深刻影响。

黎曼还引入了黎曼曲面的抽象概念。他设想所有自然存在的光滑二维曲面都可以描述为黎曼曲面。这个发现很重要，黎曼面被应用到不同的物理范畴中。在过去30年中，物理学家对一种称为超弦的理论极度着迷，根据这一理论，粒子是时空中振动的微小的弦。振动中的弦扫出一张二维曲面。黎曼观察到二维曲面存在一种全纯函数赋予的结构，也即共形几何。这启发了共形场论的诞生。现代粒子物理学家的工作依赖于对这些共形结构的深刻理解。黎曼面在日常生活中也有应用，比如计算机图形学和地图绘制。

黎曼曲面

共形映射

黎曼以后，庞加莱（Jules Henri Poincaré）推进了几何发展。庞加莱在19世纪后期证明推广了黎曼的单值化定理。这是一个很重要的定理，影响到今天多维空间的发展。

黎曼几何的主要奠基人是三位意大利学者：列维·齐维塔（Levi-Civita,）、克里斯托费尔（Elwin Bruno Christoffel）和路易吉·比安基（Luigi Bianchi）。由于身体不佳，黎曼临终前几年都在意大利过冬疗养，他在意大利的四年影响了一批学者。其中前述三位学者成功发展了黎曼流形的微积分。

列维·齐维塔（左）、克里斯托费尔（中）、路易吉·比安基（右）

（二）数学的美与爱因斯坦方程

当爱因斯坦最后成功解释天体现象的时候，有人问爱因斯坦，假如你观测到的天象和你的理论有不同的时候，你会怎么讲？爱因斯坦讲，“我会替造物者惋惜，居然不懂得用到这样漂亮的理论。”

1905年，当爱因斯坦在洛伦兹和庞加莱的帮助下发现狭义相对论时，人们认识到三维空间与时间是不可分割的。时空的数学定义由爱因斯坦的老师闵可夫斯基（Hermann Minkowski）给出。他引入一个与黎曼度量类似的新度量，找到一个以罗伦兹群为等距变换群的黎曼空间，用来描述狭义相对论的几何基础。

洛伦兹（左）、闵可夫斯基（右）

闵可夫斯基的发现对于希望统一狭义相对论和牛顿力学的爱因斯坦来说是一个很大的启发。当时，这两个理论是不兼容的。所有的信息不能超光速传递，这是狭义相对论的要求。可是牛顿力学是要求超距作用的，太阳重力场影响地球的转动，是同一个时间，根本不用光速，它就传达到地球来了。前者要求信息低于光速传播，而后者要求超距作用。爱因斯坦对这两个理论矛盾的研究引入了等效原理，提出运动方程由等效原理决定：引力定律不受观测方式或坐标选择的影响。通过思想实验他意识到，描述重力的位势依赖于方向。

爱因斯坦在思索这应该是何种类型的量时，他的数学家朋友马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossman）告诉他，他所需要的数学概念应该是黎曼几何中的某个张量，类似于牛顿力学，重力场运动方程包含位势的二阶导数，这个量也应该与坐标选择无关。

张量的概念产生于19世纪末，由克里斯托费尔(Christoffel Elwin Bruno）提出。随后，爱因斯坦邀请数学家格罗斯曼帮忙。格罗斯曼在全世界最好的图书馆——哥廷根图书馆，发现由19世纪的意大利几何学家里奇（Ricci）引入的里奇张量恰好符合这些特性。里奇张量是黎曼曲率张量的二次缩并得出來的张量。这个发现发表在爱因斯坦和格罗斯曼于1912年和1913年合写的两篇论文中。他们用里奇张量定义空间中物质分布的物质张量。

格罗斯曼（右）、里奇（左）

不过，因为物质张量满足守恒律，而里奇张量本身并不满足守恒律，所以这个方程组不兼容。同时，他们写下的方程组在解释物理现象时，并不成功。虽然方程很漂亮，也满足了很多事情，可是爱因斯坦仍然无法解释水星近日点进动和牛顿方程预言的偏差问题，所以他知道这个方程还是没有成功。

有一到两年的时间，爱因斯坦几乎想放弃等效原理这样基本的看法，企图采取特殊的坐标来解决和观察不和谐的问题。作为一代大师的数学家希尔伯特却不愿意这样做。因为从数学的观点来讲，不能找特殊的坐标系统来解决这个问题。希尔伯特答应他，用数学的美来解决这个问题。

当广义相论论最后成功解释天体现象的时候，有人问爱因斯坦，假如你观测到的现象和你的理论有不同的时候，你会怎么想？爱因斯坦说，“我会替造物者惋惜，居然不懂得用到这样漂亮的理论。”为什么漂亮呢？因为用了等效原理，同时能够解释天体的问题。爱因斯坦后来多次讲到，数学的美是很重要的，甚至比实践还要重要。

爱因斯坦方程的成功，起源于对称应用在物理学上的巨大威力。等效原理可以说是用对称学来找到物理方程的重要的方法。推导爱因斯坦的场方程的时候，最重要的就是等效原理，等效原理其实就是对称群的利用。

对称群的应用起源于十九世纪数学家伽罗华（évariste Galois）和索菲斯·李（Marius Sophus Lie），以及二十世纪的女数学家埃米·诺特（Emmy Noether）。艾米·诺特是有史以来最伟大的女数学家。1915年，诺特正在哥廷根，和希尔伯特是同事。她有没有直接影响爱因斯坦的想法不得而知，但是诺特用对称群来研究物理方程的理论影响至今。艾米·诺特可以说是有史以来最伟大的女数学家。

艾米·诺特

所以我们知道，爱因斯坦完成广义相对论的时候，主要想法是对时空有一个哲学的思想，就是尽量满足等效原理，同时要跟牛顿力学是能够推导，能够平行的。通过思想的实验，也通过数学的思维，他能够得出这样的结论。所以他坚持物理最基础的部分必须要通过这个过程：要有思想实验般的思考，同时要有哲学的思想，还有数学的思维。

广义相对论的这个方程，通过一百年的观察，基本上都是正确的。爱因斯坦跟希尔伯特互相竞争，也互相帮忙。1915年，二人相遇。他们之间的讨论激发了两人的灵感并促成了广义相对论中爱因斯坦运动方程的诞生（希尔伯特发现了希尔伯特作用量，可以用来简洁地推导爱因斯坦方程，而爱因斯坦直接创建了这个方程）。数学家希尔伯特甚至比爱因斯坦更早地推导出了这个方程。

爱因斯坦发觉他的方程可以用来解释时空和物质的分布是互相影响的，不像牛顿力学里面认为的时空是固定的，时间和空间是没有关系的。他发觉时空不停在改变。发现这些方程可以用来解释光线偏折。在此过程中，爱因斯坦做出了一个基础性的概念突破：不仅仅物质的存在产生重力从而弯曲时空纤维，而且重力直接来源于时空的曲率。过了不到两年，天文观察证实了这个发现。1918年，爱因斯坦因此一举成名。这是一个划时代的观念上的大突破。

曲率产生重力