常有人提及因变量和自变量取对数后的弹性/半弹性解释的问题，大部头书上的推导较为复杂。
以下是简易推导，适合快速理解和复习：

1.      自然对数的泰勒级数展开为

设1+x为y，代入上式，可以得到Ln(y)的一阶展开为y-1。

Ln(y2)-Ln(y1)=Ln(y2/y1) 按照泰勒一阶展开 近似等于y2/y1-1,即（y2-y1）/y2，也就是y的相对变化

2． 因变量和自变量不同情况下取对数的解释

• 被解释变量y取对数，解释变量x不取对数，参数β解释为：
  

      控制其他变量的情况下，x变动1个单位，y平均变动100*β%

推导：

Ln(y1)= βx         1式

Ln(y2)= β(x+1)  2式

2式-1式=> Ln(y2)-Ln(y1)=β

            =>Ln(y2/y1)= β

根据泰勒一阶展开约等于(y2-y1)/y1=β；也就是y平均变动β*100%

• 被解释变量y不取对数，解释变量x取对数，参数β解释为：
  

       控制其他变量的情况下，x变动1%，y平均变动0.01*β个单位

推导：

y1=βLn(x)          1式

y2=βLn(x+Δx)  2式

2式-1式=> (y2-y1)=β[Ln(x+Δx)- Ln(x)]

            => (y2-y1)= βLn[(x+Δx)/x)]

根据泰勒一阶展开约等于(y2-y1)= β[(x+Δx)/x-1]

                                  =>(y2-y1)= β(Δx/x)

                                        当Δx为%1*x时，(y2-y1)=0.01*β；也就是y平均变动0.01*β个单位

• 被解释变量y取对数，解释变量也x取对数，参数β解释为：
  

       控制其他变量的情况下，x变动1%，y平均变动β%

推导：

Ln(y1)=βLn(x)          1式

Ln(y2)=βLn(x+Δx)   2式

2式-1式=>Ln(y1)-Ln(y2)=β[Ln(x+Δx)- Ln(x)]

           =>Ln(y1/y2)= βLn[(x+Δx)/x)]

根据泰勒一阶展开约等于(y1/y2-1)= β[(x+Δx)/x)-1]

                                  =>(y1-y2)/y2=β(Δx/x)

                                       当Δx为%1*x时，(y1-y2)/y2=0.01*β，也就是y平均变动

                                       0.01*β*100%个单位，即β%