Applications of Copula Theory in Financial Econometrics

Andrew John Patton
UNIVERSITY OF CALIFORNIA, SAN DIEGO
A dissertation
2002
230pages

TABLE OF CONTENTS
Signature Page . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Table of Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
List of Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Vita, Publications, and Fields of Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii



I Modelling Time-Varying Exchange Rate Dependence Using the Conditional
Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B. The theory of the conditional copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. The unconditional copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. The conditional copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Examples of some copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
C. Evaluation and comparison of time series density models . . . . . . . . . . 16
1. Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
D. An application of the conditional copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1. Description of the data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2. The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Results for the marginal distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4. Results for the copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Goodness-of-¯t tests and comparisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
E. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
F. Appendix: Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60




II Estimation of Copula Models for Time Series of Possibly Di®ering Lengths . . 66
A. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1. Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
B. An introduction to copula theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1. The copula and transformations of random variables . . . . . . . . . . 72

2. The theory of the conditional copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
C. Two-stage estimation of copula models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1. The estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2. Estimation of the covariance matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3. Cross-marginal distribution restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4. E±ciency of the estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
D. Small sample properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1. Simulation design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2. Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
E. A model of the euro and yen exchange rates . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
F. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
G. Appendix 1: Proofs for Section II.B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
H. Appendix 2: Assumptions for Section II.C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
I. Appendix 3: Proofs for Section II.C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
J. Appendix 4: Normal, Plackett and Clayton copulas . . . . . . . . . . . . . 119
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121



III Skewness, Asymmetric Dependence, and Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . 126
A. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1. Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B. A link between asymmetric dependence and skewness for portfolios . . . . 130
1. Sklar's theorem and copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2. Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3. Asymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4. A few examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
C. A portfolio of small cap and large cap stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1. The investor's optimisation problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2. Description of the data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3. Models for the asset allocation problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4. Performance of the di®erent models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
D. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
E. Appendix 1: Some results on the skewed t distribution. . . . . . . . . . . . 156
F. Appendix 2: Copula functional forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
G. Appendix 3: Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165


IV On the Out-of-Sample Importance of Skewness and Asymmetric Dependence
for Asset Allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B. Flexible multivariate distribution models using copulas . . . . . . . . . . . 175
C. A portfolio of small cap and large cap stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1. The investor's optimisation problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2. Description of the data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3. Analysis of the di®erent models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4. Performance of the di®erent strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
D. Conclusions and future work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213