同济大学2019年数学分析真题

解：（1）
\[\because \left | |x|^\alpha \sin \frac{1}{x} \right |\leq |x|^\alpha.\\ \therefore  当 \alpha > 0 时,f(x)连续.\]
        (2)
\[\because \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|^\alpha \sin \frac{1}{x}-0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}|x|^{\alpha-1} \sin \frac{1}{x}.\\由于\sin \frac{1}{x}有界，\therefore 当\alpha > 1时，f(x)在x=0处可导.在x\neq 0处，\alpha 为任意值，f(x)均可导.\]
        (3)
\[当\alpha > 1时，由（2）显然有：f'(0)=0.而当x\neq 0，f'(x)=\alpha |x|^{\alpha -1}\sin\frac{1}{x}-|x|^{\alpha}\cdot \frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x},\\显然，当\alpha > 2时，\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)=0,即在x=0处，f'(x)连续.\\而在x\neq 0处，f'(x)为初等函数，连续.\]

第三题题证明导函数极限定理。

导数极限定理：如果f(x)在x_0的某领域内连续，在x_0的去心邻域内可导，且导函数在x_0处的极限存在（等于a），则f(x)在x_0处的导数也存在并且等于a。

       这个定理的重要之处在于，不事先要求f在x0处可导，而根据导函数的极限存在就能推出在该点可导，也就是说，导函数如果在某点极限存在，那么在该点导函数一定是连续的，而这正是一般函数所不具备的性质。导数极限定理是个充分条件，但非必要条件。
       很奇怪，我找了一下同济七版高等数学，书中似乎并未讲到这个定理。


      这个定理可以用拉格朗日中值定理来证明。

令$$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k,S=\sum_{n=1}^{\infty }a_n.$$
则有$$r_n=\sum_{k=n}^{\infty }a_n=S-S_{n-1}.$$
因此有$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{r_n^p}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{(S-S_{n-1})^p}\leq \frac{S}{S^p}=S^{1-p}.$$
所以收敛。


下面是在一个微信号上看到的解答：（Xionger的数学小屋）

由已知，$\forall \varepsilon > 0,\exists N\in \mathbb{N},$当$n> N$时，s.t.$$|x_n+\alpha x_n+1-A|< \varepsilon .$$
即$$\Rightarrow -\varepsilon < |x_n+\frac{1-A}{1+\alpha }|< \varepsilon .$$
不等式左边有$$-\varepsilon < |x_n-\frac{A}{1+\alpha }|<  |x_n+\frac{1-A}{1+\alpha }|.$$
不等式右边有$$|x_n-\frac{A}{1+\alpha }|< |\varepsilon-\frac{1}{1+\alpha }|<\varepsilon .$$
综合上面两式，有$$-\varepsilon < |x_n-\frac{A}{1+\alpha }|< \varepsilon .$$
即：$$\lim_{n\rightarrow \infty }x_n=\frac{A}{1+\alpha }.$$

此题比较经典，好多书上有相似题目，现引录“ 《数学分析经典习题解析》(孙涛编著)，2004”上解答：

$\Leftarrow $
如果$f(0)=0$,因为$f(x)\in C[0,1]$，所以有$$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=0.$$
因此，$\frac{x}{x^2+t^2}f(t)$在$x=0$处连续，从而在$[0,1]$上一致连续。由此，$g(x)$取极限时，极限与积分可交换，即有：$$\lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}\int_{0}^{1}\frac{x}{x^2+t^2}f(t)dt=\int_{0}^{1}\lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2+t^2}f(t)dt=0=g(0).$$
$$\therefore g(x)\in C[0,1].$$
$\Rightarrow $
如果$g(x)\in C[0,1]$,$g(x)$在$[0,1]$上一致连续。即有：$$|g(x)-g(0)|=|\int_{0}^{1}\frac{x}{x^2+t^2}f(t)dt-0|< \varepsilon .(\varepsilon > 0)$$
$$\because |\int_{0}^{1}\frac{x}{x^2+t^2}f(t)dt|=|\int_{0}^{1}\frac{x^2}{x^2+t^2}\frac{f(t)}{x}dt|\geq |\int_{0}^{1}\frac{f(t)}{x}dt|\geq 0.$$ $$\therefore \int_{0}^{1}\frac{f(t)}{x}dt=0.$$
因为$x=0$为积分奇点，若$f(t)\neq o(x)$,则积分发散，与条件矛盾。所以有$$f(0)=0.$$

$\Rightarrow$
用反证法。设$f'(x)=A=+\infty .$由拉格朗日中值定理$$|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)(x_1-x_2)|,\xi \in [x_1,x_2]$$
由一致连续性条件可知，$$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta >0,0<|x_1-x_2|< \delta ,s.t.|f(x_1)-f(x_2)|< \varepsilon .$$
因为$\delta$ 为定值，所以$$|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)(x_1-x_2)|=A\delta=+\infty.$$
与一致连续性条件矛盾。故$f'(x)=A \leq +\infty .$
$\Leftarrow $
如果$f'(x)=A\leq +\infty .$则对于$\forall \varepsilon > 0,$可取$\delta =\frac{\varepsilon }{A}.$
由拉格朗日中值定理$$|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)(x_1-x_2)|< \varepsilon .$$

这题目好几条是错的的命题啊 是考生回忆版？

第八题是应该是一致连续吧 第二题应该吧闭区间改成开区间吧不然题目没意义啊 同济不是试题不对外公布的吗 还有就是同济会把数分题出的那么简单吗？ 感觉不像真题

是网上资源，应该是真的。

可以把第七题写一遍吗 看不到

不用了 看到了 不好意思啊

第七题的证明题有问题啊 好像没有证明积分的一致收敛 就直接交换极限次序了

感谢楼主慷慨分享！