高等代数专题研究选编(1992)

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一、矩阵在多项式理论中的应用        1
        1. 多项式整除的矩阵判定        1
        2. 最大公因式的矩阵求法        8
二、关于 Eisenstein 判别法的研究        15
        1. 施行变换仍有局限性        15
        2. Eisenstein 判别法的进一步推广        21
三、关于 Cramer 法则的研究        29
        1. 三种新证法        29
        2. Cramer 法则的推广        35
        3. 利用 Cramer 法则求n阶行列式的值        40
四、线性方程组的进一步讨论        51
        1. 初等变换是仅有的同解变换        51
        2. 利用矩阵列的初等变换解线性方程组        57
五、线性方程组解的结构定理及其应用        66
        1. 齐次线性方程组解的结构定理的应用        66
        2. 非齐次线性方程组解的结构定理        72
        3. 线性非齐次微分方程组解的结构定理        76
六、分块矩阵的几个应用        83
        1. 用分块矩阵证明矩阵秩的性质        83
        2. 用四分块矩阵求n阶行列式的值        89
        3. 用分块矩阵求合同        100
七、循环矩阵的性质及广义循环矩阵        111
        1. 循环矩阵的性质        111
        2. 广义循环矩阵        121
八、关于正定实对称矩阵几个不等式的证明        128
九、Bellman 不等式的讨论及其推广        142
        1. 关于矩阵追迹的一些不等式        142
        2. 关于 Bellman 不等式的注记        145
        3. Bellman 不等式的推广及 Bellman 的一个猜想        153
十、行初等变换定理及其应用        162
十一、关于 n 维线性空间的子空间        178
        1. 子空间交的基与维数的确定方法        178
        2. 余子空间的性质        185
十二、有关线性变换的两个问题        191
        1. 已知核求相应的线性变换        191
        2. 公式 dim Im(σ) +dim Ker(σ) = dim V 的应用        197
十三、若当标准形的几个问题        206
        1. 若当标准形问题的一个初等解法        206
        2. 避开求初等因子化矩阵为若当形        215
        3. 若当标准形一个老的证明        219
十四、欧氏空间中正交变换的两个问题        228
        1. 欧氏空间的变换是正交变换的条件        228
        2. 用正交变换化实二次型为标准形方法的改进        231
十五、矩阵的广义逆和正定矩阵的推广        239
        1. 广义逆矩阵        239
        2. 正定矩阵的推广        258
十六、短论集锦        266
        1. 整系数多项式的哥德巴赫定理        266
        2. 多元多项式互素的充要条件        267
        3. 计算结式的一种方法        271
        4. 代数学基本定理的一个初等证明        276
        5. 行列式性质的推广及其应用        282
        6. “杨辉三角”中的行列式        288
        7. 矩阵相乘的Falk图示法        295
        8. 矩阵初等变换后逆阵的求法        298
        9. 分块矩阵的准消法变换及其应用        302
        10. 线性方程组 AₘₙXₙ₁=bₘ₁ 的矩阵解法        312
        11. 线性空间替换定理的又一种证明        318
        12. 矩阵可对角化的一个充要条件        321
        13. 矩阵特征根与特征向量的同步求法        327
        14. 矩阵化为标准形的一个定理的应用        333
        15. Cayley-Hamilton 定理的推广        340
        16. 关于实二次型的秩与符号差的求法        343
        17. 求标准正交基的矩阵初等变换法        346
        18. 酉空间中酉变换的几个充要条件        351
附录1. 高等代数中的思想方法        356
附录2. 线性代数简史        371