（2）考虑第一层自变量系数的随机效应

• R语言代码及结果
  
  

model5 <- lme(fixed = geread~gevocab+senroll, random = ~gevocab|school, data = data0)
summary(model5)

Linear mixed-effects model fit by REML
Data: data0
       AIC      BIC    logLik
  43022.08 43072.77 -21504.04
Random effects:
Formula: ~gevocab | school
Structure: General positive-definite, Log-Cholesky parametrization
            StdDev   Corr  
(Intercept) 0.532288 (Intr)
gevocab     0.138951 -0.857
Residual    1.914660      
Fixed effects: geread ~ gevocab + senroll
                Value  Std.Error    DF  t-value p-value
(Intercept) 1.9955373 0.11824650 10159 16.87608  0.0000
gevocab     0.5203485 0.01442894 10159 36.06284  0.0000
senroll     0.0000202 0.00019597   158  0.10298  0.9181
Correlation:
        (Intr) gevocb
gevocab -0.483      
senroll -0.856  0.041
Standardized Within-Group Residuals:
       Min         Q1        Med         Q3        Max
-3.7101558 -0.5671411 -0.2069899  0.3176373  4.6764282
Number of Observations: 10320
Number of Groups: 160

• HLM操作过程及结果
  
  

Final estimation of fixed effects
(with robust standard errors)
----------------------------------------------------------------------------
                                       Standard             Approx.
    Fixed Effect         Coefficient   Error      T-ratio   d.f.     P-value
----------------------------------------------------------------------------
For       INTRCPT1, B0
   INTRCPT2, G00            1.995620   0.102811    19.411       158    0.000
    SENROLL, G01            0.000020   0.000178     0.113       158    0.911
For  GEVOCAB slope, B1
   INTRCPT2, G10            0.520344   0.014306    36.373       159    0.000
----------------------------------------------------------------------------


Final estimation of variance components:
-----------------------------------------------------------------------------
Random Effect           Standard      Variance     df    Chi-square  P-value
                         Deviation     Component
-----------------------------------------------------------------------------
INTRCPT1,       U0         0.53298       0.28407   158     312.89252    0.000
GEVOCAB slope, U1         0.13897       0.01931   159     449.57347    0.000
level-1,       R          1.91464       3.66586
-----------------------------------------------------------------------------

（3）第一层自变量与第二层自变量的交互作用

• R语言代码及结果
  
  

model6 <- lme(fixed = geread~gevocab+senroll+gevocab*senroll, random = ~gevocab|school, data = data0)
summary(model6)

Linear mixed-effects model fit by REML
Data: data0
       AIC      BIC    logLik
  43040.59 43098.52 -21512.29
Random effects:
Formula: ~gevocab | school
Structure: General positive-definite, Log-Cholesky parametrization
            StdDev    Corr  
(Intercept) 0.5327945 (Intr)
gevocab     0.1391362 -0.857
Residual    1.9146996      
Fixed effects: geread ~ gevocab + senroll + gevocab * senroll
                     Value  Std.Error    DF   t-value p-value
(Intercept)      1.9103629 0.20955353 10158  9.116348  0.0000
gevocab          0.5430546 0.04833711 10158 11.234734  0.0000
senroll          0.0001886 0.00039427   158  0.478456  0.6330
gevocab:senroll -0.0000452 0.00009191 10158 -0.492225  0.6226
Correlation:
                (Intr) gevocb senrll
gevocab         -0.869              
senroll         -0.956  0.834      
gevocab:senroll  0.825 -0.954 -0.868
Standardized Within-Group Residuals:
       Min         Q1        Med         Q3        Max
-3.7062482 -0.5678540 -0.2080792  0.3184771  4.6822679
Number of Observations: 10320
Number of Groups: 160

• HLM6.08操作步骤及结果
  
  

Final estimation of fixed effects
(with robust standard errors)
----------------------------------------------------------------------------
                                       Standard             Approx.
    Fixed Effect         Coefficient   Error      T-ratio   d.f.     P-value
----------------------------------------------------------------------------
For       INTRCPT1, B0
   INTRCPT2, G00            1.910416   0.215980     8.845       158    0.000
    SENROLL, G01            0.000188   0.000427     0.441       158    0.659
For  GEVOCAB slope, B1
   INTRCPT2, G10            0.543052   0.053060    10.235       158    0.000
    SENROLL, G11           -0.000045   0.000103    -0.437       158    0.662
----------------------------------------------------------------------------

Final estimation of variance components:
-----------------------------------------------------------------------------
Random Effect           Standard      Variance     df    Chi-square  P-value
                         Deviation     Component
-----------------------------------------------------------------------------
INTRCPT1,       U0         0.53334       0.28445   158     311.68917    0.000
GEVOCAB slope, U1         0.13919       0.01937   158     445.56073    0.000
level-1,       R          1.91470       3.66606
-----------------------------------------------------------------------------

1.2.4 第一层添加自变量（中心化）的两层模型
在HLM6.08中，变量中心化的方式有两种：group centered 和 grand centered。对于一列可分组数据，grand centered是指每个数据减去该列数据均值后产生的新数据；group centered是指每个数据减去所在组均值后产生的新数据。在软件窗口中容易发现，未中心化的变量名称不加粗，grand centered的变量名称斜体加粗，group centered的变量名称加粗
（1）grand centered

• R语言代码及结果
  
  

grandc_gevocab <- data0$gevocab-mean(data0$gevocab)
model7 <- lme(fixed = geread~grandc_gevocab, random = ~1|school, data = data0)
summary(model7)

Linear mixed-effects model fit by REML
Data: data0
      AIC      BIC   logLik
  43145.2 43174.17 -21568.6
Random effects:
Formula: ~1 | school
        (Intercept) Residual
StdDev:   0.3158785  1.94074
Fixed effects: geread ~ grandc_gevocab
                  Value  Std.Error    DF  t-value p-value
(Intercept)    4.328238 0.03214212 10159 134.6594       0
grandc_gevocab 0.512898 0.00837268 10159  61.2585       0
Correlation:
               (Intr)
grandc_gevocab 0.007
Standardized Within-Group Residuals:
       Min         Q1        Med         Q3        Max
-3.0822506 -0.5734728 -0.2103488  0.3206692  4.4334337
Number of Observations: 10320
Number of Groups: 160

• HLM6.08操作步骤及结果
  
  

Final estimation of fixed effects
(with robust standard errors)
----------------------------------------------------------------------------
                                       Standard             Approx.
    Fixed Effect         Coefficient   Error      T-ratio   d.f.     P-value
----------------------------------------------------------------------------
For       INTRCPT1, B0
   INTRCPT2, G00            4.328238   0.032185   134.480       159    0.000
For  GEVOCAB slope, B1
   INTRCPT2, G10            0.512897   0.015608    32.861     10318    0.000
----------------------------------------------------------------------------

Final estimation of variance components:
-----------------------------------------------------------------------------
Random Effect           Standard      Variance     df    Chi-square  P-value
                         Deviation     Component
-----------------------------------------------------------------------------
INTRCPT1,       U0         0.31589       0.09978   159     434.42829    0.000
level-1,       R          1.94074       3.76647
-----------------------------------------------------------------------------

（2）group centered

• R语言代码及结果
  
  

groupc <- aggregate(data0$gevocab, list(data0$school), mean)
data1 <- merge(data0, groupc, by.x = "school", by.y = "Group.1")
groupc_gevocab <- data1$gevocab-data1$x
model8 <- lme(fixed = geread~groupc_gevocab, random = ~1|school, data = data1)
summary(model8)

Linear mixed-effects model fit by REML
Data: data1
       AIC      BIC    logLik
  43313.61 43342.58 -21652.81
Random effects:
Formula: ~1 | school
        (Intercept) Residual
StdDev:   0.6430152 1.940787
Fixed effects: geread ~ groupc_gevocab
                  Value  Std.Error    DF  t-value p-value
(Intercept)    4.305162 0.05494456 10159 78.35465       0
groupc_gevocab 0.502820 0.00856086 10159 58.73469       0
Correlation:
               (Intr)
groupc_gevocab 0     
Standardized Within-Group Residuals:
       Min         Q1        Med         Q3        Max
-3.0737302 -0.5738781 -0.2084442  0.3247135  4.4634255
Number of Observations: 10320
Number of Groups: 160

• HLM6.08操作步骤及结果
  
  

Final estimation of fixed effects
(with robust standard errors)
----------------------------------------------------------------------------
                                       Standard             Approx.
    Fixed Effect         Coefficient   Error      T-ratio   d.f.     P-value
----------------------------------------------------------------------------
For       INTRCPT1, B0
   INTRCPT2, G00            4.305162   0.054772    78.602       159    0.000
For  GEVOCAB slope, B1
   INTRCPT2, G10            0.502820   0.016033    31.362     10318    0.000
----------------------------------------------------------------------------

Final estimation of variance components:
-----------------------------------------------------------------------------
Random Effect           Standard      Variance     df    Chi-square  P-value
                         Deviation     Component
-----------------------------------------------------------------------------
INTRCPT1,       U0         0.64300       0.41345   159    1292.05483    0.000
level-1,       R          1.94079       3.76665
-----------------------------------------------------------------------------