真是够难的

这道题如果B1=B2=常数而且利益集团1先行动，利益集团2在观察利益集团1的行动后再行动，那么在子博弈精炼纳什均衡结果中，利益集团1将不购买任何选票，花的钱是0。 因为不管利益集团1如何分配B1给K个成员它都会输。唯一的例外是 K=1，这样双方都花完钱然后有同样的几率获胜。这道题是完全信息动态博弈，没有重复。解这道题的逻辑可以用最简单K=3（成员1，成员2，成员3）的例子来说明, 设集团1的策略是(c1,c2,c3), 集团2 的策略是(d1,d2,d3), ci 和 di 分别是集团1 和集团2 给成员 i 的献金， 如果集团1想获胜，那它必须保证至少两个成员(设为成员1和成员2)投票给他，那么他就需要给这两个成员尽可能多的钱，即把钱全花在成员1和成员2身上，c1+c2=B1.  在这个情况下，集团2观察到集团1的行动，可以轻易地不花掉所有钱赢得选票，集团2可以给成员3一个无限小的正数u, d3=u>0, 然后再根据观察到的c1和c2，比集团1多给其中少的那个一个无限小的正数，假设c1<=c2, 那么 d1=c1+u>c1, 然后d2=0, 这样集团2 就可以保证两张选票(成员1和成员3)。类似的逻辑，无论k为什么大于1的奇数，集团1不管怎么分配都会输，那么它最好的做法就是不购买任何选票，不浪费一分钱。而集团2可以利用它的后行优势，花最少的钱搞定0.5+K/2个成员并取得胜利。
正式的解法我认为可以是这样的，证明集团2有必赢策略。 假设集团1给K个立法成员的献金为 (c1,c2,...,ck), 不失普遍性，我们可以假设 c1<=c2<=c3<=...<=ck，而且c1+c2+...+ck<=B1。集团2在观察到(c1,c2,...,ck)后决定自己的策略(d1,d2,...,dk), 假设u为最小单位的献金，u可以理解为一分钱，令n=0.5+k/2, 集团2的必赢策略是 :(d1=c1+u，d2=c2+u,...,dn=cn+u, d(n+1)=0,d(n+2)=0,...,dk=0). 预见到集团2会使用必赢策略, 集团1会采用的策略就是把损失降到最低，即(c1=0,c2=0,...,ck=0).

ffhherherhrehr

赞！

楼主，求兑现赏金。正式的解法我认为可以是这样的，证明集团2有必赢策略。 假设集团1给K个立法成员的献金为 (c1,c2,...,ck), 不失普遍性，我们可以假设 c1<=c2<=c3<=...<=ck，而且c1+c2+...+ck<=B1。集团2在观察到(c1,c2,...,ck)后决定自己的策略(d1,d2,...,dk), 假设u为最小单位的献金，u可以理解为一分钱，令n=0.5+k/2, 集团2的必赢策略是 :(d1=c1+u，d2=c2+u,...,dn=cn+u, d(n+1)=0,d(n+2)=0,...,dk=0). 预见到集团2会使用必赢策略, 集团1会采用的策略就是把损失降到最低，即(c1=0,c2=0,...,ck=0).