这是我的理解，不知道对不对。

n个球放入n个盒子中，第一个球有n种放法，第二个球有(n-1)种放法，第三个球有(n-2)种放法...，第n个球有1种放法，因此总共有：n*(n-1)*(n-2)..*2*1..=n! 种放法。
至少有一个球的编号与盒子的编号相同的概率=（全部放法 — 每个球的编号都与盒子的编号不同的放法）/全部放法

每个球的编号都与盒子的编号不同，即1号球不能放入1号盒子中，即有n-1种放法，2号球不能放入2号盒子同时还不能放入1号已经占据的盒子，即有n-2种放法...，则第n-1个球只有1种放法，第n个球也只有1种放法，因此总共有：(n-1)*(n-2)...*2*1*1=(n-1)!种放法。

则：
至少有一个球的编号与盒子的编号相同的概率=（全部放法 — 每个球的编号都与盒子的编号不同的放法）/全部放法
=[n!-(n-1)!]/n!=(n-1)/n=1-1/n

不过我感觉我理解的好像过于简单了。。。

7# alone1985 答案不对

7# alone1985

第一个球放在哪儿对后面的球有影响。比如，第一个球放在第二个盒子中，则第二个球有 n-1种方法，而如果第一个球放在第三个盒中时，此时第二个球只有 n-2中方法。         以此类推， 所以，前一个球放在哪儿对后面的球的放法会有很大的影响，分子上不是  (n-1)!

n个球放进n个盒子 是一个排列问题 分母上为总的排列个数是A n n[第一个n为上标，第二个为下标]即n!。分子上这样考虑，至少一个球与盒子的编号相同，也就是有1个，2个，3个。。。。。一直到n个这么多种情况。先假设从n个盒子中任取一个假设为第m个盒子 从n个球中取出第m个球，这样就满足了至少有一个球与盒子编号相同，把剩下的全排列，即为(C 1 n)[1为上标,n为下标]×(A n-1 n-1)[第一个n-1为上标，第二个为下标]。这样的话剩下的n-1个球全排列加上前面我们取出的第m个，其中有2球与盒子的编号相同的情况就会重复计算。要把它减去，用(C 1 n) ×(A n-1 n-1)-(C 2 n)×(A n-2 n-2)  把剩下的n-2个全排列就会多减了3个球与盒子号码相同的情况，在把它加回来，按上面的算法为(C 1 n) ×(A n-1 n-1)-(C 2 n)×(A n-2 n-2)+(C 3 n)×(A n-3 n-3)  加上后就会多加了4个球与盒子相同的情况，还要再减上，减去后会多减掉有5个相同的情况依次类推，最后分子上的式子为(C 1 n) ×(A n-1 n-1)-(C 2 n)×(A n-2 n-2)+(C 3 n)×(A n-3 n-3)-.........(-1)^(n-1)[这个式子为负一的n-1次方]×C( n n)。 即至少有一个球与盒子编号相同的情况就有这么多种。用这个式子比上分母所有盒子或者所有球的全排列(A n n)经过化简应该就是上面我说的那个式子～！！！ 注： A表示排列  C表示组合 第一个都为上标  第二个为下标。

挺楼上！用1-减去个全都不相同的就可以了。

这个问题是“有限个事件的和”概率公式的运用！
对于任意n个事件A1,A2……An，其中至少有一个发生的概率（即n个事件的并集的概率）：
P(A1∪A2∪…∪An)=∑P(Ai)-∑P(AiAj)+∑P(AiAjAk)+……（-1）n+1P(A1A2……An)

则此问题利用此公式可分解为：
把任意一个放对的概率：P(Ai)=1/n ，即公式第一项为：∑P(Ai)=n×1/n=1
把任意两个放对的概率，即公式第二项为：∑P(AiAj)=Cn2 (n和2分别为下标，上标)×1/n（n-1）=1/2!
同理把任意k个放对的概率，即公式第k项为：∑P(Ai…Aj)=Cnk  ×1/n(n-1)…(n-k+1)=1/k!
……
所以本题答案为：P=1-1/2!+1/3!-.........(-1)上标（n+1）/n!

大哥，这是我第一次答题！！打字打了我一个钟……可不要少了我的幸苦费啊！！

补充：P(A1∪A2∪…∪An)=∑P(Ai)-∑P(AiAj)+∑P(AiAjAk)+……（-1）n+1（上标）P(A1A2……An)

中的（n+1）为上标。

P(A)=1-1/2n

这个问题可以这样考虑，由于题目隐含了球和盒子都是有编号的，依据题意，那么我们只要求出所有排列，然后再减去没有一个重合的排列，就得到答案，所有排列直接得到，而没有一个重合的排列的求法，给你个例题：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球 要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列，特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44
2个、3个、4个元素的错位排列容易计算 关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：
①5个元素的全排列为： ；
②剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的) 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的) 种、恰好有1对球盒同号(4个错位的) 种
∴ 120-1- - - ＝44
用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、……元素的错位排列问题

12# 追梦dream 每一项前面的负号是如何得到的？

好久不学习了，这样的题没思路了，
#12 做的应该很好

这个公式并不是每一项前的都是负号，准确的说是奇数项前为正号，偶数项前为正号。这个式子的严格的数学证明有点麻烦，在这儿可说不清。我简单的给你解释一下在n等于3时，这个式子的含义，可能有助你理解。
n=3时，假设第一个盒子放对的事件为A1，第二个盒子放对的事件为A2，第三个放对的事件为A3，
则式子第一项为：P1=P(A1)+P(A2)+P(A3),但得到的这个概率中，将P2=P(A1A2)+P(A1A3)+(A2A3)重复加了两次，将P3=P(A1A2A3)重复加了三次。
所以，答案的P=P1—P2+P3,你画一个三个事件相互相交的“韦恩图”就一目了然啦！！
不知你是否明白啦！？

考虑相反事件：每个盒子里放的都不是自己的编号，那么共有(n-1)!种方法，事件总体是n的n次方，两者一除就是每个盒子都放的不是自己的编号的概率，用1一减就行了