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3. (18分) 已知$n$阶方阵$A$满足$A^2=I_n$,问: 秩$(I_n+A)+$秩$(I_n-A)=$?并证明你的答案.

4.  (20分) 设$A$是$n$阶实对称正定矩阵, $B$是$n$阶实对称半正定矩阵.

(1) 证明: $\det(A+B)\geq\det(A)+\det(B)$;

(2) 当$n\geq 2$时,问:在什么条件下有$\det(A+B)>\det(A)+\det(B)$,并证明之.

5. (18分) 设$n$阶复方阵$A$的全部特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$,求$A$的伴随矩阵$A^{\ast}$的全部特征值.

6. (18分) 已知实对称矩阵
\[A=\left( \begin{matrix}
         2&                2&                -2\\
         2&                5&                -4\\
         -2&                -4&                5\\
\end{matrix} \right).\]
(1) 求正交矩阵$Q$,使得$Q^{-1}AQ$为对角形矩阵.

(2) 求解矩阵方程$X^2=A$.

7. (18分)设$\lambda$是非零复数, $k$为正整数, $J_n(\lambda)$表示特征值为$\lambda$的$n$阶若当块.
(1) 求$(J_n(\lambda))^k$的若当标准形;

(2) 证明: $J_n(\lambda)$有$k$次方根,即存在$n$阶复方阵$B$使得$B^k=J_n(\lambda)$;

(3) 证明:任意$n$阶可逆复方阵$A$都有$k$次方根.

8. (20分) $n$阶实方阵$P$称为正交矩阵,如果$PP^t=I_n$; $n$阶实方阵$R$称为反射矩阵,如果$R$正交相似于对角矩阵$\mathrm{diag}(-1,1,\cdots,1)$.证明:每个二阶正交矩阵都能写成反射矩阵的乘积.

9. (20分) $R[x]_n$表示实数域$R$上所有次数小于$n\,(>1)$的多项式之集,它是实数域上$n$维线性空间.求导算子
    \[D:Df(x)=f'(x),\quad \forall f(x)\in R[x]_n\]
     是$R[x]_n$上的线性变换.
(1) 对于任意实数$a$,证明平移算子\[S_a:S_af(x)=f(x+a),\quad \forall f(x)\in R[x]_n\]
     是$R[x]_n$上的线性变换,并且存在一个多项式$g(x)\in R[x]_n$,使得$S_a=g(D)$.

(2) 分别求出$S_a,D$在基$1,x,x^2/2!,\cdots,x^{n-1}/(n-1)!$下的矩阵.