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高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数,再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra.
现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).用外校的课本在基础课里面是不常见的.这本书可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了.但是你要说它有什么地方讲的特别好,恐怕说不出来.
值得注意的是95-96学年度,北大现在的校党委组织部长王杰老师(段学复先生的弟子)给北大数学科学学院95级1班开课时曾经写过一本补充材料,把空间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到的话翻印出来是件很好的事情(我的那本舒五昌老师给96开课的时候送给他了,估计是找不到了).
从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的.而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的.
蒋尔雄,吴景琨等"线性代数"这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.
屠伯埙等"高等代数"这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的.当然这不是很容易的:据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我."有此可见一斑.
如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的.屠伯埙等"线性代数-方法导引"这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到甘特玛赫尔"矩阵论"我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者是柯召先生.在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看"矩阵论".这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
许以超"线性代数和矩阵论"虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
华罗庚"高等数学引论"华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数.这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如贾柯勃逊(N.Jacobson)Lectures on Abstract Algebra ,IIinear Algebra GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31("抽象代数学"第二卷:线性代数)这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
Greub Linear Algebra(GTM23)这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.
还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
丘维声"高等代数"(上,下)北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作经常至夜里二,三点.
李炯生,查建国"线性代数"这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
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从常微分方程开始,数学课就变成没底的东西,每一个标题做下去都是数学研究里面庞大的一块.对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断.这里我打算还是从现行课本讲起.
常微分方程这门课,金福临先生和李迅经先生在六十年代 写过一本课本,后来在八十年代由控制那一块的老师们修订了一下,变成第二版,就是现在常用的课本.上海科技出版社出版.应该说,金先生他们的第一版在今天看来还是很好的一本课本(这本书估计受了下面的一本参考书的不小的影响)但是第二版有那么点不敢恭维.不知为什么,似乎这本书对具体方程的求解特别感兴趣,对于一些比较"现代"的观点,比如定性的讨论等等相当地不重视.最有那么点好笑的是在某个例子中(好象是介绍Green函数方法的),在解完了之后话锋一转,说"这个题其实按下面的办法解更简单..."而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
下面开始说参考书,毫无疑问,我们还是得从我们强大的北方邻国说起.彼得罗夫斯基"常微分方程讲义"在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术官僚作风,讲法不是非常活泼.
下面转到欧美方面,Coddington & Levinson"Theory of Ordinary Differnetial Equations"这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看着办吧.
比较"现代"的表述有Hirsh & Smale"Differential Equations ,Linear Algebra and Dynamical Systems"(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")这两位重量级人物写的书其实一点都不难念, 非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他为在中国领土上工作的最重要的数学家应该没有什么疑问.图书馆里有中译本.
Arnol'd"常微分方程"必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生们都是这么说的.这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."的,程度要深得多.
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.丁同仁,李承治"常微分方程教程"这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看卡姆克(Kamke)常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,理图里有.
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对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的"完备性",象Courant-Hilbert"数学物理方法"第一卷可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数一个方法学起来更容易一些.
而且,王竹溪,郭敦仁"特殊函数概论"的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架上,...经常在里面寻找我需要的结论..."连他老先生都如此,何况我们?有一本.

单复变函数论从它诞生之日(1811年的某天Gauss给Bessel写了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数一样的地位...")就成为数学的核心,上个世纪的大师们基本上都在这一领域里留下了一些东西,因此数学的这个分支在本世纪初的时候已经基本上成形了.到那时为止的成果基本上都是学数学的学生必修的东西.
复旦现在这门课是张锦豪老师教.张老师是做多复变的.毫无疑问,多复变在二十世纪的数学里也占有相当重要的地位,不仅它自身的内容非常丰富,在其它分支中的应用也是相当多的--举个例子就是Penrose的Spinor理论,基本上就是一个复分析的问题.这就扯远了,就此打住.
张老师用的是他自己的讲义,那书要到今年夏天才能印出来.所以还是这两年上过这门课的ddmm来谈谈感受比较好.
1现在具体的情况我不是很清楚,复旦以前有一本范莉莉,何成奇"复变函数论"这是上海科技出版的那套书里面的复变.今天回过头来看,这本书讲的东西也不是很难,包括那些数量很不少的习题.但是做为第一次学的课本,应当说还不是很容易的.总的说来,从书的序言里面列的参考书目就可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本的. 不知道数学系的学生还发这本书吗?
如果要列参考书的话,单复变的课本真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
2普里瓦洛夫"复变函数(论)引论"这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本.内容翔实,具有传统的苏联标准课本的一切特征.听说过这么一个小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还是从学生的角度来说),有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝般地问了一句"sin z有界无界?"此人稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上被开回去了,实在是不幸之至.
3马库雪维奇"解析函数论(教程?)"这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.它比上面这本要深不少.张老师说过,以前学复变的学生用2.做课本,学完后再看3.,然后就可以开始做研究了.这本书的一个毛病是它喜欢用自己的一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert吧!
再说点西方的:
4.L.Alfors(阿尔福斯)"Complex Analysis(复分析)"这应该是用英语写的最经典的复分析教材.Alfors是本世纪最重要的数学家之一(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.他的这本课本从六十年代出第一版开始就好评如潮,
这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理可以说是相当好的.
5.H.Cartan(亨利.嘉当)"解析函数论引论"这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物在二十世纪复分析的发展史上也占有很重要的地位.他在多复变领域的很多工作是开创性的.这本课本内容不是很深,从处理方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
6.J.B.Conway"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)(GTM=Graduate Mathematics Texts,是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西要到第二卷里面才能看到.
7.K.Kodaira(小平邦彦)"An Introduction to Complex Analysis"这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的基本上都有了"的那种类型.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"我就找不出什么错.
偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合写的。应该是不错的， 习题较多。科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的"数学分析中的问题和定理"第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以独立做出来的.
10."解析函数论习题集"实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字忘了,这本书里面的题目相当多.
其它的书我认为可以翻翻的包括
张南岳,陈怀惠"复变函数论选讲"这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.从内容上来看,第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"(这部分内容在6.里面也有),然后去看.这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
12.J.-P. Serre(塞尔)"A course of Arithmetics"(数论教程)第二部分的十来页东西就可以理解下述Dirichlet定理的证明了:"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
庄圻泰,何育瓒等"复变函数论(专题?)选讲"差不多的题目应该有两本,一本肯定理图里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一本记忆中就觉得太专门了点.
除此之外,讲单复变的还有两本书,不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
14.W.Rudin"Real and Complex Analysis"必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候再谈吧!
15.L.Hormander"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些奇异积分.
16.Titchmarch"函数论"这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
17.戈鲁辛"复变函数几何理论"这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
最后讲一本书,不知道复旦有没有:
18. R.Remmert"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的来龙去脉交代的异常清楚.
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的作者J.-P. Serre成为第五位既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
这门课没读过,不过如果现在的课本还是
1.I.Tomescu"组合学引论"的话,倒还是想说两句的.首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,就该知道这些结果不是那么平凡的了)作为补充,可以考虑
2.I.Tomescu"Problem in graph theory and combinatorics(???)"这本书有比较详细的提示和解答,里面的题目也非常好,高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).不过复旦是不是有我不是最清楚.
Lovasz"Problems in Combinatorics(?)"这是本相当好的习题集,作者Lovasz是唯一一个得过wolf奖的组合学家.唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大了点,不过千万不要被吓倒!
(这里应当声明,已经快五年没好好看过组合书了,所以脑子里面的印象难免有所偏差,还望大家原谅)
有一些书是讲图论的,其中比较好的书大概可以算
Bondy,Murty"Graph Theory and Applications(?)"(中译本:图论及其应用,科学出版社,理图里有)这本书内容翔实,写得很容易读,而且有许多难度适当的习题,注意这些习题不仅在书后(好象)有简短的提示,而且在图书馆里面还有一本
5."图论及其应用"习题解答做得还算不错吧.翻译成中文的书里面,还有上海科技出版的Harary(哈拉里)"Graph Theory"(图论)这本书里面的习题基本上都是从人家的论文里面直接找来的,所以有相当难度,虽说那里给出了非常详细的文献来源,但是有些还是很不好找的.这本书其实已经有点专著的味道了.
讲到图论,还有象7.B. Bollobas"Graph Theory"(GTM 63)这本书世界图书刚刚重印,市面上应该还能见到不少.Bollobas现在是在剑桥吧,国际数学家大会上也是做过
45分钟报告的.(作为参照,改革开放以来,从大陆出去做过45分钟报告的好象才两个人--在国外工作的加上去也不到十个吧)
8.G.Chartrand,L. Lesniak"Graph and Digraphs"是本好书,浅显易懂.
此外还有9.C. Berger"Graph and Hypergraph"是这里的框架性著作
还有一些不讲或不专讲图论的组合书,
中文的有
李乔"组合数学基础"我们的这位校友(华宣积老师的同学)文革期间在中科大吃过很多苦头,现在在上海交大.他这本书写得很不错,不过一个小小的遗憾,就是这书的书脊上印的是"组合数学础基".
11.I. Anderson"Combinatorics of Finite Sets"
Bollobas"Combinatorics"这两本书国内影印过
理图里面还能找到一本薄得要死的名著Ryser(赖瑟)"组合数学"这里面记得有一些讲组合设计的章节还是很简单明了的.
至于象魏万迪"组合论"这书感觉好象篇幅太大了点,而且你很快就会发现其实这书很不好看.
着重算法的书很多就是计算机类的了,比如
朱洪等"算法设计和分析"
卢开澄"组合数学--算法与分析"印象中该书第一版是上下两册,第二版就只剩下一半篇幅了,没有很仔细得比较过前后两版,所以也说不出究竟变了点什么.
组合数学有不少书是可以看着玩的,比如外国教材中心里面有一本书好象叫"Graph theory from Euler to Konig"(等于就是说讲现代图论的史前史),等等.
如果要求不是很高,那么下面的书可能可以算篇幅不大,内容不深,但多少也讲了些东西的:
17.I. Anderson"A First Course in COmbinatorial Mathematics"
18.C.Berger"组合学原理"(上海科技)
19.C.L.Liu(刘炯朗,现新竹清华大学校长)"组合学引论"这书是魏万迪翻的,就是印刷质量差了点.其它都还好,在北美的评价也不错.
此外,最近刚刚看到出了一本20.Lovasz,et al.(ed.)"Handbook of Combinatorics"厚厚的两大本,里面有很多人的文章,算得上是包罗万象了.
组合里面还有一个非常有名的东西--四色定理,关于它就是是不是被证明了争论了很多年,当真是仁者见仁,智者见智.当年的两位主角Appel 和Haken写过本书,就叫
21.Appel ,Haken"Every Planar Map is Four Colorable"如果你觉得这书块头太大,可以先翻翻他们在
22.Steen(ed.)"mathematics today"(中译本:今日数学,上海科技)里面的一篇通俗的文章,写得非常的好.
最后补充canetti指出的23.Reinhard Diestel"Graph Theory"(GTM173)这本书里面讲到了概率方法,这个感觉是一个很有希望的方向,有很多人在做,包括98年得Fields奖的T.Gower(这位是靠Banach空间理论得奖的,但是他的组合功夫本来就很深,现在好象干脆就转向组合了)

抽象代数有的地方管这叫"近世代数",反正近不近各人自己看着办吧!
从历史上说,可以认为严肃的讨论是从伽罗华开始的,他在决斗前夜写下的那封著名的信件(里面有"你可以公开向Jacobi或者Gauss提出请求,不是就这些结果的正确性,而是重要性,给出意见....",现藏法国国家图书馆).在后来的发展过程中,代数结构话的语言逐步渗透到数学的各个角落.到今天这已经是一门无处不在的分支了.
不止一个老师教导过我们:在复旦,你们受到的分析训练将是很多的(充不充分要看各人的要求了),但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.现行教材是我的本家写的,总的说来作为初学还很可以一读,原因将在下面说明.
1.北大的课本是丁石孙,聂灵沼"代数学引论"这本书的特点和北大的那本高等代数一样,就是没什么自己的特色,原因是这本书从体例到习题在很大程度上参考了
2.N.Jacobson"Basic Algebra I,II"这书在总书库里面有不少,理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.Jacobson在代数领域也属于权威,是华先生同时代的人.这本书从观点上说是相当现代化的,比同作者的那本
3.N. Jacobson"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)要改进不少.
有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去比较一下.
从习题的角度上说,可以看徐诚浩"抽象代数--方法导引"这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
可以罗列的参考书还有很多,综合性的课本有名气很大的
5.S.Lang"Algebra"Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过AMS发的Steel优秀图书奖.
莫宗坚"代数学(上,下)"北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书推崇倍至,认为比1.写得好.
熊全淹"近世代数"这本书的好坏不敢评论,不过这本书有个很大的特点,就是作者收集了很多小文章,比如许多American Mathematical Monthly上的短文.依他开列的参考文献到系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
其它的就是比较专门的东西了.比如群论就有影响过无数学者的
库洛什"群论"注意这本书第二版和第三版中译本的封面一模一样.
或者段学复先生的导师Robinson写的Robinson "A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,不过我是一窍不通的了.还望这里的高手多多指点.
对于Galois理论,有一本
8.E.Artin"伽罗华理论"非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
还有
Edwards"Galois Theory"(GTM 101)这本书很有趣,它是循着Galois的原始想法写的,因此和一般通行的教本里面的讲法不是很一样.

实分析
实分析课的第一人毫无疑问是陈建功先生(1893-1971).李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
1."中国现代数学家传"(第二卷)里面做了一篇传记,不可不读.
陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
陈建功"实函数论"今天看来,这里面的内容是相当古典的,但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,龚升,李训经...
前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大图书馆的(见内页题字)
现在用的课本是夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌"实变函数论与泛函分析"第二版,上,下册
这是,在我看来,复旦为中国的数学事业贡献的最重要的课本.从1978年第一版出版开始,这就是中国最标准的实变与泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
夏先生是陈先生五十年代初的研究生.当年陈先生开实分析课的时候夏先生做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的要求差不多,不是吗?*_^)夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅在在苏联的两年间做出了相当好的工作,而且回国后在复旦建立了一个相当强的泛函研究小组.具体可以看
杨乐,李忠编"中国数学会六十年"里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年的学术地位!夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的是这三样.
我们一章一章来看:第一章"集和直线上的点集"这是很美妙的东西,数学系的学生从这里开始严肃地接受关于无限的教育.具体的问题是教师一般都要在这一章上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的东西学生以前根本没有接触过.我想今后可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章的内容,象实数理论和极限论,等价关系,直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书也能看到这些内容.
大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,在
5.E.Hewitt, K.Stromberg"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is needed most urgently".这是很有道理的.
这个方向上扩展出去可以看
那汤松"实变函数论"在下册里面还有关于超限归纳法的描述.这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.徐先生不幸于文革中自杀身亡.
另外,对于很多具体的点集的例子,有许多书可以参考,比如
汪林"实分析中的反例"这是本非常非常好的书,在以后的几章里面我们也都要引用这本书.作者是程民德先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是一本讲例子的书!
和一些习题集和解答,比如
8."实变函数论习题解答"这是那汤松的书的习题解答.质量一般,不过好歹是本习题解答吧.
9."实变函数论的定理与习题"记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.里面有详细的解答,质量相当高.
第二章"测度"这是这本书上册的核心.测度在这里的讲法,从环上的测度讲到测度的扩展,基本上属于
10.P.R.Halmos"Measure Theory"(GTM 18)(中译本:测度论)的框架里面.这本书实在不敢评论,自己看吧!这本书里面还有一些精选的习题,有胆子和时间的话值得一做.
集环的理论,一本相当有趣的书可以看看,就是
11.J.Oxtoby Measure and Category(GTM2)这里的"category"不是指代数里面的范畴,而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
现在可以来谈谈
12.周民强"实变函数"(第二版)这本书写得不错,总的说来最大的好处恐怕就是习题很多,而且都是能做的习题--复旦的课本里面的习题初学好象是难了点,特别是在没有答案的情况下
还有一本很好的书,可惜至今只打过几个照面,但是可以肯定的是绝对是好书:
程民德,邓东皋"实分析"我见过这书里面的一个测度的题目m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S的差别还是有用的.
第三章
这就是真正的实分析了.这里面应该说每一节都是重要的.在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑下面的:
14.I.E. Segal, R.A. Kunze"Integrals and Operators"
和
15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin"函数论与泛函分析初步"
这些作者应该说都是相当好的数学家了.
比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
最后问个小问题:"L^1&reg;是R上全体可积函数全体构成的空间"这句话对吗?
第四章从这里开始算泛函分析的课了.不过这一章是不是一定要以这样的篇幅在这里讲值得讨论.
其实很多度量空间的概念在数学分析课里面就可以解决掉,在这里应该只要强调有限维和无限维的差别就可以了.上面的许多参考书在这里一样可以用,还应该加上的是:
19.汪林"泛函分析中的反例"
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,整个泛函的体系都可以建立在上面,有一本
20.夏道行,杨亚立"拓扑线性空间"不过那书基本上是第二作者写的,所以建议有兴趣的化还是看下面几本
21.N.Bourbaki"Topological Vector Space"Chpt. 1-5布尔巴基写书是一章一章出的,这书能一次就包含五章,实属罕见.而且估计今后也不会有后续的内容了.
在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能先建立积分理论再导出测度的.比如下面将要讲到的
夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙"泛函分析第二教程"里面就有一些这方面的内容.
此外还有象夏道行,严绍宗"实变函数与泛函分析概要(?)"(上海科技出的那套教材里面的一本,理图里面有)好象就是按照先积分再测度的办法讲的.
另外用这一体系的书好象还有
F.Riesz,B.Sz.-Nagy"泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)这也是不错的书.
对测度感兴趣的话,还可以看一些动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
22.H.H.SchaeferTopological Vector Spaces(GTM3)
和
23.J.L. Kelley, I.. NamiokaLinear Topological Spaces(GTM36)
里面有一章也是讲这东西的.其它许多以"泛函分析"为标题的书也是以此为出发点的,比如S.K. Berberian"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
或者W. Rudin"Functional Analysis"
这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov"Functional Analysis"不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,中译本的质量也很不错.
此外还有27..J.B. Conway"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
第五章这一章讲述Banach空间上的有界线性算子理论.这一内容的框架性著作毫无疑问是Dunford,Schwarz"Linear Operators"I 注意有一些结论是可以把Banach空间减弱为Frechet空间的,不过好象据说实际应用中除了广义函数空间是个Frechet空间以外其它用得并不多.
前面列的各中标题是泛函分析的书这里都可以用.
汪林的书19.里面有许多有趣的例子.不自反的空间的例子在系资料室可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
再补充一下前面漏掉的一本书:
29.W.Rudin"Real and Complex Ananlysis"在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法在复变中的应用.这书现在已经有第三版了
第六章Hilbert空间由于其上存在一个内积,可以发展的性质比Banach空间要多得多.从空间本身来讲,线性代数学好点对本章前面几节有很大帮助,学的过程中密切注视维数无限导致的各种反例就是了.算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些有限维的性质是可以推广到无限维的对整个体系的理解很有用.本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,如果第四章能省下的点时间的话还是能够讲一些算子谱理论的.
这里可以做的习题非常多,特别是
30.P.R. Halmos A Hilbert Space Problem Book(GTM19)算得上一本杰作."The only way to learn mathematics is to do mathematics"就出自这里.
再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)在16.里面有一章讲些基本概念.这一块的文献也是浩如烟海,因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
31.G.K. Pedersen"C*-Algebras and their Automorphism Groups"这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理的联系,可以看
32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"AMS Notice,v.44(1997),No.7
33.A.Lesniewski"Noncommutative Geometry"AMS Notice,v.44(1997),No.7
还有
34.Irving SegalBook Review, Non commutative geometry by Alain ConnesAMS Bulletin,v.33(1996),No.4
因为
35.Alain Connes(Fields 82)"Noncommutative Geometry"可以说是这一块的里程碑式的著作,(33.中甚至说今后人们会用今天看Riemann的就职演说的眼光看这本书)所以对于这本书的评论很多也就把整个分支都评论进去了,不妨看看.Jones说这书是"A milestone for mathematics. Connes has created a theory that embraces most aspects of `classical' mathematics and sets us out on a long and exciting voyage into the world of noncommutative mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面有一些批评,也值得注意.
第七章 这一章一般不讲,在本科阶段不讲,在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?主要问题是,就事论事地讨论广义函数恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
在偏微分理论中的应用.现在的状态就是你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认复旦的偏微是很强的...\\sigh
在广义函数的标题下最有名的应该是
36.I.M.Gelfand等"广义函数"(Generalized Functions,I-V)大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是第二本最有意思.
另外还有两本好书,不光是这一块内容,从整体上讲也是很好的泛函课本
37.K.Yosida(吉田耕作)"Functional Analysis"他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版去年世界图书刚刚影印.
38.H.Brezis"Analyse Fonctionelle"Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.如果能念法语的话绝对值得一读.在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
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这是讲偏微分方程的课的名称.顾名思义,就是说这里的方程原则上最早都是从物理里面来的.这个分支里面的东西丰富之至(当然往反面说就是有时候会显得 结果比较零散).
现行课本是谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿"数学物理方程"(上海科技)这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
注意那些经典方程的推导里面多少有一些近似的过程,这其实从某种意义上反应了所对应的微分算子的某些性质的稳定性.比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,差不多二阶双曲方程里面只有波动方程有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程的推导里面是有近似的,这说明什么?
一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?),郑宋穆,???"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.特别指出这本书的原因是在复旦的课本中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"习题解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答对于做作业是很有帮助的.
比较容易找到的书里面,陈恕行,秦铁虎"数学物理方程--方法导引"是一本非常好的讲习题的书.里面的习题如果能够全部做一遍的话,应付考试是绰绰有余了.
还有
8.O.A. Ladyzhenskaya"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"和5.一样,都很经典.当然你要说它们陈旧我也没话可说.
既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,在这个方向上我以为
李大潜,秦铁虎"物理学与偏微分方程"(高教)还是很不错的,上册已经出版,下册也就要付印了.该书的起点并不高,所以应该比较容易看.据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.比如
10.L.Bers, F. John, M. Scheter,"Partial Differential Equations"Bers是个很有趣的人,可以看看
11.L.Steen, ed."今日数学"(Mathematics Today)里面的文章.附带说一句,这本书是最好的数学普及读物之一,绝对值得一看,中译本的质量也不错.
12.F. John"Partial Differential Equations"这本书系资料室肯定有.剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
13.J. Rauch"Partial Differential Equations"(GTM128)
14.M. Taylor"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))引G. Lebeau的一句话,这书比
15.L. Hormander"Linear Partial Differential Operators, I"要好念多了.(当然基本上人人都是这么认为的,只不过这位的来头比较大而已--法国科学院通讯院士,46岁)
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我拓扑学得很差(从总体上说),因此这里我也说不出太多东西.大概也就点集拓扑还算过得去,我以为这一方面我们的现行课本:
李元熹,张国(木梁)"拓扑学"的前两章还是不错的.至少该讲的东西都讲了,而且后面罗列(我想不出还有什么更好的形容词)了许多习题,做上一遍是很有趣的一项工作.
中文的参考书里面好象
熊金城"点集拓扑讲义"是比较好的.该书也有些名气.不过要好好学,可能还是看下面的两本比较经典的书:
3.J.L. Kelley"General Topology"(GTM 27)此书名头很响,55年出版的时候应该算得上是把这一领域里面的结果做了个很好的总结.该书是想写成课本的,因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...编号.只是....真要做起来未免有些困难.听说过这样一个故事,就是曾有一位华裔数学家回国讲学的时候于酒席间说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的书,而且要习题全做.结果大家都笑了,因为大家都明白这目标不是很现实.我个人的经验是,在那个学期陷入各类考试的重围中之前,还做了前面两三章的题目.是比较困难,但是做起来也非常有趣.
再补充一本中文的书,内容和1.差不多
尤承业"基础拓扑学"是北大的教材.
5.I.M.Singer, J.A.Thorp"Lecture notes on elementary topology and geometry (中译本基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)这是本极好的教材,应该可以用深入浅出来形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起证指标定理的那位,说是重量级人物当无疑义.
如果你只想查结果,我觉得可以去找
6.R.Engelking"General Topology"这书是七十年代末写的,内容翔实,至少对我来说是有包罗万象的感觉,当然对做这一块的人就不一定了.按照萧先生的速度,大概第二章还是能讲大半的.这里属于代数拓扑的起始部分,参考书一下子就比前面的多多了.
讲代数拓扑的书,可能
Greenberg"Lectures on Algebraic Topology"属于写得很通俗易懂,配置合理的那一类.
还有象GTM里面的
8.W.S.Massay"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)也是写得很好的书.
我能写的大概就这点了,还望大家多多补充.这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为当代数学理论的三大支柱。如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看《拓扑学奇趣》巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定数量的有启发性的题目。
M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
Spanier's "Algebraic Topology" can not be neglected. it is a classic in this field, though it is not easy to read.
Aleksandrov's " Combinatorial Topology " is very good for beginner. itis an authority in history.but it is too large, it contains 3 volumes.
Bredon's " Topology and Geometry"(GMT139) is praised as the successor of Spanier's great book.