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《forecasting with exponential smoothing---the state space approach》

1 Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Time Series Patterns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 ForecastingMethods andModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 History of Exponential Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 State SpaceModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Time SeriesDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Classification of Exponential Smoothing Methods . . . . . . . . . . . 11
2.3 Point Forecasts for the Best-KnownMethods . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Point Forecasts forAllMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 State SpaceModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Initialization and Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Assessing Forecast Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Linear Innovations State Space Models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 The General Linear Innovations State SpaceModel . . . . . . . . . . 33
3.2 Innovations and One-Step-Ahead Forecasts . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Model Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Basic Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Variations on the Common Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Nonlinear and Heteroscedastic Innovations State
Space Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1 Innovations Form of the General State SpaceModel . . . . . . . . . 53
4.2 Basic Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Nonlinear SeasonalModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Variations on the Common Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Estimation of Innovations State Space Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1 Maximum Likelihood Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 AHeuristic Approach to Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Prediction Distributions and Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1 Simulated PredictionDistributions and Intervals . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Class 1: Linear Homoscedastic State Space Models . . . . . . . . . . 80
6.3 Class 2: LinearHeteroscedastic State SpaceModels . . . . . . . . . . 83
6.4 Class 3: SomeNonlinear Seasonal State SpaceModels . . . . . . . 83
6.5 Prediction Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.6 Lead-Time Demand Forecasts for Linear Homoscedastic
Models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7 Selection ofModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1 Information Criteria forModel Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Choosing aModel Selection Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Implications forModel Selection Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8 Normalizing Seasonal Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1 Normalizing Additive Seasonal Components . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2 NormalizingMultiplicative Seasonal Components. . . . . . . . . . . 128
8.3 Application: CanadianGas Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9 Models with Regressor Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.1 The Linear Innovations Model with Regressors . . . . . . . . . . . . . . 138
9.2 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.3 Diagnostics for Regression Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10 Some Properties of Linear Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.1 Minimal Dimensionality for LinearModels . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Stability and the Parameter Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11 Reduced Forms and Relationships with ARIMAModels . . . . . . . . 163
11.1 ARIMAModels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.2 Reduced Forms for Two Simple Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.3 Reduced Form for the General Linear Innovations Model . . . . 170
11.4 Stationarity and Invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.5 ARIMA Models in Innovations State Space Form . . . . . . . . . . . . 173
11.6 CyclicalModels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
12 Linear Innovations State Space Models with Random
Seed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.1 Innovations State SpaceModels with a Random
SeedVector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.3 Information Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.4 Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
12.5 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
12.6 Smoothing Time Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.7 Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
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