经济学常常需要数学模型来说明问题。现实的问题往往非常复杂,模型化处理其实就是一种简化,就是去粗取精究其本质,但是,不适当地、过度的简化却往往使得模型偏离实际太远,从而失去了意义。另一方面,有人喜欢卖弄,故意把模型搞得非常复杂,这同样不利于我们认识问题的本质,容易被一些次要的因素所迷惑。
游牧民族何时转场这个问题其实也可以说是一个纯粹的最优策略问题,放在高数当中讲解“最值”和“极值”这种最优问题非常合适,和经济学的关系并不大,但是经常为经济学人所讨论,尤其是用于课堂教学。关于这个话题,张五常先生也参与讨论,并撰有一短文如下。
【人类早期历史中,游牧觅食是一项主要的经济活动。人类的游牧民族和部落以渔猎或采摘蔬果的方式从周围环境获得食物。现代的一些活动逻辑上是类似于游牧觅食的。例如,沿街叫卖的商贩可以说是在寻觅顾客。
所有游牧觅食者都面临一个重要的选择,就是如何分配时间去寻找食物与寻找其它有用资源。想象一下一个在沙漠中游荡的游牧民族,沙漠中一无所有,只是偶尔有几块小绿洲。任何一个绿洲中的食物都会逐渐消耗殆尽,因此这个游牧民族最终还是要继续前行。他们的经济问题只是什么时候再次上路。
设所有绿洲都一样,而且彼此的距离相等。如果这个游牧民族每季有固定数量的时间用于游牧觅食,它要最大化所有绿洲的平均产量y/t,其中t是路上时间和在每块绿洲的停留时间之和。
平均量达到最大时,边际量等于平均量。因此最优的停留时间具有以下特征:在某个绿洲上多留一天的边际产量等于所有绿洲的平均产量(停留时间和路上时间都包含在内)。其经济含义是:当整季里平均每天获得的食物数量已经达到最大值时,则如果某个绿洲的边际产量低于该游牧民族总体上能获得的平均产量,就不值得再在这个绿洲上呆下去。
朋友不明白的是:游牧民族的目标应该是尽可能地从绿洲中获得最大总产量,那为什么不是求边际量为0(这时边际量是不等于平均量的),为什么这个例子的答案会变成是求平均量最大(这时边际量等于平均量)
解答如下:
我仔细看了一下那个例子,其实它要求的不是单个绿洲的产量y最大化(注意这里不能用书里所说的平均产量来描述这个值,因为书里是用t平均,不是用绿洲的数量平均;而这个y也不是你所以为的所有绿洲的总产量),而是所有绿洲的总产量最大化。这不是同一件事,因为在时间固定的约束之下,绿洲的数量也是有限、需要选择的变量,在一块绿洲上花太多时间使该块绿洲的产量达到最大化,可能会使能在固定时间之内到达的绿洲数量太少,导致所有绿洲的总产量是较少的。
我用一个简单的数学来模型来重新描述一下这个例子,你就会比较容易理解。
这里其实有如下几个值:绿洲的总产量Y与每块绿洲的产量y,总时间T和花在每块绿洲上的时间t,绿洲的数量n。
因为例子里假设了绿洲都是一样的,因此有:Y=ny, T=nt,而且T是固定的常数。以上是反映约束条件的方程,最大化目标是Max Y,即Max ny。整理后就是Max (T/t)y,t和y都是变量,T是常数。根据极值原理,即是求此目标函数的全导数为0。因为T是常数,可以消去,即最大化的目标函数是Max y/t,就是求平均量最大化。】
看到文章最后不禁令人迷糊,张五常教授在这里沿用了他自己一贯的卖弄作风,把一个小学数学问题弄得异常复杂。但最终我们也不知道游牧民族何时转场,张五常先生似乎仅仅是为了解释如何合理地确定目标函数而已。
如果小学算术老师问学生:一年有360天,一个月有30天,那么一年当中有几个月份?答不上来的学生肯定是差生。
如果医生叮嘱一个须常年吃药的病人说,两周一个疗程,吃一个疗程停药3天(吃药相当于放牧,停药期相当于转场的路途时间),那么病人一年需要买几个疗程的药?回答不出来的大概患的是脑子方面的疾病。
其实,在给出了T=nt之后,何时转场的问题已经非常明确了,因为既然T和n都是确定的常数,那么做一个简单的除法就行了,t=T/n。这里和产量(y、Y)没有任何关系,更没有什么最大值问题了,再搞“深入挖掘”就是画蛇添足多此一举了。就像上面病人的疗程数和每次吃几片药没有关系一样。
动机决定行为,这是行为心理学的一般逻辑。游牧民族为何要转场,这个目标的确立最终决定了“转场”这个行为。所以,我们在分析这个问题的时候要首先考虑的是“游牧民族为何要转场”,而不是跳过动机分析(即默认目标函数已经确定)直接去分析行为(这只是解方程)。
说这个问题和经济学关系不大,其理由之一是,经济学问题的定价机制涉及到“竞争性”问题,深入来说就是有一个私有制问题存在其中。而这里说的游牧民族是一个“整体”,不是若干个游牧民族,不存在对资源的竞争以及私有制问题。
顺便多嘴一点,游牧民族经常是在草原上游荡,而少有张五常先生说的是在一无所有的沙漠里游荡。这就涉及到经济学经常讨论的话题,即资源的稀缺性问题。如果草原辽阔,游牧民族又只有这么一个,或者说每个草场的草料量都足以维持他们生存,转场就没有必要了。之所以转场,是因为在一个草场呆下去不足以维持牛羊食料,是不得已而为之。这在生物学家那里,应该是叫做生物环境的生物承载量问题吧。
(续下)