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Maths workbook for MFE.
Developing basics maths skills
in the context of economics

Margaret Stevens
Department of Economics,
University of Oxford
MFE's Economists
Department of Economics,
University of Oxford

Contents
I Introductory maths including basic calculus 13
1 Review of Algebra 15
1.1 Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Evaluating Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Manipulating and Simplifying Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3 Factorising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.4 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.5 Factorising Quadratics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.6 Rational Numbers, Irrational Numbers, and Square Roots . . . . . . . . . 20
1.2 Indices and Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Rules for Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Solving Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Equations involving Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Changing the Subject of a Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.4 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5 Equations involving Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.6 Equations involving Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Simultaneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Inequalities and Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.1 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.2 Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.3 Quadratic Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Lines and Graphs 39
2.1 The Gradient of a Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Drawing Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Straight Line (Linear) Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Lines of the Form ax + by = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 Working out the Equation of a Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Quadratic Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Solving Equations and Inequalities using Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1 Solving Simultaneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.2 Solving Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.3 Representing Inequalities using Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.4 Using Graphs to Help Solve Quadratic Inequalities . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Economic Application: Budget Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.1 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.2 The General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Sequences, Series and Limits 53
3.1 Sequences and Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.2 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Arithmetic and Geometric Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Arithmetic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Arithmetic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.3 To Prove the Formula for an Arithmetic Series . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.4 Geometric Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.5 Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.6 To Prove the Formula for a Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Economic Application: Interest Rates, Savings and Loans . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1 Interval of Compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.2 Regular Savings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Paying Back a Loan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Present Value and Investment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.1 Annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5.1 The Limit of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5.2 Innite Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.3 Economic Application: Perpetuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 The Number e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6.1 Economic Application: Continuous Compounding . . . . . . . . . . . . . 69
3.6.2 Present Value with Continuous Compounding . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Functions 75
4.1 Function Notation, and Some Common Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2 The Function f(x) = xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.3 Increasing and Decreasing Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.4 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Composite Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Economic Application: Supply and Demand Functions . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.1 Demand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.2 Supply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.3 Market Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.4 Using Parameters to Specify Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.1 Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.2 Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.3 The Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5.4 Natural Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5.5 Where the Exponential Function Comes From . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 Economic Examples using Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . 86
4.7 Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.7.1 Drawing Functions of Two Variables: Isoquants . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7.2 Economic Application: Indierence curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8 Homogeneous Functions, and Returns to Scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

巨贵啊，走人买不起