从数理经济学到数理金融学的百年回顾

sunmoon2010

2057

收藏 2010-06-07

1874年1月，在瑞士洛桑大学拥有教席的法国经济学家瓦尔拉斯发表了他的论文《交换的数学理论原理》，首次公开他的一般经济均衡理论的主要观点。虽然人们通常认为数理经济学的创始人是法国数学家、经济学家和哲学家古诺(A.A.Cournot，1801—1877)，他在1838年出版了《财富理论的数学原理研究》一书，但是对今日的数理经济学影响最大的是瓦尔拉斯的一般经济均衡理论。尤其是，直到现在为止，一般经济均衡理论仍然是唯一对经济整体提出的理论。

一般经济均衡理论和数学公理化

所谓一般经济均衡理论大致可以这样来简述：在一个经济体中有许多经济活动者，其中一部分是消费者，一部分是生产者。消费者追求消费的最大效用，生产者追求生产的最大利润，他们的经济活动分别形成市场上对商品的需求和供给。市场的价格体系会对需求和供给进行调节，最终使市场达到一个理想的一般均衡价格体系。在这个体系下，需求与供给达到均衡，而每个消费者和每个生产者也都达到了他们的最大化要求。
瓦尔拉斯把上述思想表达为这样的数学问题：假定市场上一共有l种商品，每一种商品的供给和需求都是这l种商品的价格的函数。于是这l种商品的供需均衡就得到l个方程。但是价格需要有一个计量单位，或者说实际上只有各种商品之间的比价才有意义，因而这l种商品的价格之间只有l－1种商品的价格是独立的。为此，瓦尔拉斯又加入了一个财务均衡关系，即所有商品供给的总价值应该等于所有商品需求的总价值。这一关系现在就称为“瓦尔拉斯法则”，它被用来消去一个方程。这样，瓦尔拉斯最终就认为，他得到了求l－1种商品价格的l－1个方程所组成的方程组。按照当时已为人们熟知的线性方程组理论，这个方程组有解，其解就是一般均衡价格体系。
瓦尔拉斯当过工程师，也专门向人求教过数学，这使他能把他的一般经济均衡的思想表达成数学形式。但是他的数学修养十分有限。事实上，他提出的上述“数学论证”在数学上是站不住脚的。这是因为，如果方程组不是线性的，那么方程组中的方程个数与方程是否有解就没有什么直接关系。于是从数学的角度来看，长期以来瓦尔拉斯的一般经济均衡体系始终没有坚实的基础。
这个问题经过数学家和经济学家80年的努力，才得以解决。其中包括大数学家冯·诺依曼(J.von Neumann，1903—1957)，他曾在1930年代投身到一般经济均衡的研究中去，并因此提出他的著名的经济增长模型；还包括1973年诺贝尔经济学奖获得者列昂节夫(W.Leontiev，1906—1999)，他在1930年代末开始他的投入产出方法的研究，这种方法实质上是一个一般经济均衡的线性模型。
分马科维茨的学生夏普(W.Sharpe，1934— )和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以这种效用函数来决策，从而导出全市场的证券组合收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model，简称CAPM)。夏普因此与马科维茨一起荣获1990年诺贝尔经济学奖。另一位1981年诺贝尔经济学奖获得者托宾(J.Tobin，1918— )在对于允许卖空的证券组合选择问题的研究中，导出每一种有效证券组合都是一种无风险资产与一种特殊的风险资产的组合(它称为二基金分离定理)，从而得出一些宏观经济方面的结论。
为解决这一问题，布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，也是证券价值的计量基准，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻画，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为几何布朗运动。然后，利用每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”。出人意料的是,这一方程居然还有显式解。于

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sunmoon2010

2010-6-7 19:25:53

一般经济均衡理论和数学公理化

所谓一般经济均衡理论大致可以这样来简述：在一个经济体中有许多经济活动者，其中一部分是消费者，一部分是生产者。消费者追求消费的最大效用，生产者追求生产的最大利润，他们的经济活动分别形成市场上对商品的需求和供给。市场的价格体系会对需求和供给进行调节，最终使市场达到一个理想的一般均衡价格体系。在这个体系下，需求与供给达到均衡，而每个消费者和每个生产者也都达到了他们的最大化要求。

瓦尔拉斯把上述思想表达为这样的数学问题：假定市场上一共有l种商品，每一种商品的供给和需求都是这l种商品的价格的函数。于是这l种商品的供需均衡就得到l个方程。但是价格需要有一个计量单位，或者说实际上只有各种商品之间的比价才有意义，因而这l种商品的价格之间只有l－1种商品的价格是独立的。为此，瓦尔拉斯又加入了一个财务均衡关系，即所有商品供给的总价值应该等于所有商品需求的总价值。这一关系现在就称为“瓦尔拉斯法则”，它被用来消去一个方程。这样，瓦尔拉斯最终就认为，他得到了求l－1种商品价格的l－1个方程所组成的方程组。按照当时已为人们熟知的线性方程组理论，这个方程组有解，其解就是一般均衡价格体系。

瓦尔拉斯当过工程师，也专门向人求教过数学，这使他能把他的一般经济均衡的思想表达成数学形式。但是他的数学修养十分有限。事实上，他提出的上述“数学论证”在数学上是站不住脚的。这是因为，如果方程组不是线性的，那么方程组中的方程个数与方程是否有解就没有什么直接关系。于是从数学的角度来看，长期以来瓦尔拉斯的一般经济均衡体系始终没有坚实的基础。