解析几何与矢量三角形加法

                       于德浩

                      2020.5.13

解决同一个问题，可以用解析几何的方法，也可以用矢量三角形加法。比方说，求解一个点在一条直线的投影问题。已知A点的坐标是（1,2），B点的坐标是（3,4）；直线外一点C（1,4）。求，C点在直线AB的投影P（垂足）点的坐标。

我们先用解析几何的方法。首先，两点确定一条直线，可以求出直线AB的方程，y=x+1。显然，其垂线的斜率就是-1，再结合C点，就可以求得直线CP的方程是y=5-x。两条直线的交点，可以求解这个两元一次方程组，得出P（x，y）=（2,3）。

我们再用矢量几何的方法。原点O（0,0），要求P点坐标，即是求矢量OP。

显然，根据矢量三角形加法，OP=OA+AP。

矢量AP，就是AC在直线AB的投影的长度与AB方向的单位矢量之积。

即， AP=((AC*AB)/mod（AB）)*(AB/mod（AB）)

带入具体的数值计算，先看一下AB方向的单位矢量，

AB/mod（AB）=（3-1,4-2）/((3-1)^2+(4-2)^2)^0.5=(2,2)/8^0.5=(1,1)/2^0.5。

再看一下投影AP的长度，

  AC*AB/mod（AB）=（1-1,4-2）*（3-1,4-2）/8^0.5=(0*2+2*2)/8^0.5=2/2^0.5。

所以，矢量AP=2*（1,1）/（2^0.5*2^0.5）=(1,1)。

最后，OP=OA+AP=(1,2)+(1,1)=(2,3), 所以P（x，y）=（2,3）。

矢量三角形法则，实际是物理学的等效路径概念。从O到P的位移；与从O先到A，再从A到P，两种不同路径的位移是相等的。所以，OP=OA+AP。

更复杂的路径也是相等的位移。比如，先从O到A，再从A到C，再从C到P。

即，OP=OA+AC+CP。 这就是矢量（向量）加法。