做随机计算的无人不知Kiyosi Ito，伊藤积分的提出者。


书名：Diffusion Processes and their Sample Paths
格式：pdf
作者：Kiyosi Ito 和Henry P. McKean
Contents
pace
Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
Chapter 1. The standard BROwxian motion . . . . . . . . . . . . . S
1.1. The standard random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Passage times for the standard random walk . . . . . . . . . . 7
1.3. HINCIN'S proof Of the DE MOIVRE-LAPLACE limit theorem . . . . 10
1.4. The standard BROwxian motion . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. P. LEVY'S construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Strict MARKOV character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7. Passage times for the standard BROwNian motion . . . . . . . . 25
Note i : Homogeneous differential processes with increasing paths 31
1.8. KOLMOGOROV's test and the law of the iterated logarithm . . . . 33
1.9. P. LEvv's HOLDER condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10. Approximating the BROWNian motion by a random walk . . . . 38
Chapter 2. BROWNian local times . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1. The reflecting BROWNian motion . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2. P. Lsvy's local time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Elastic BROwNian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4. t+ and down-crossings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5. t+ as HAUSDORFF-BESICOVITCH 1/2-dimensional measure . . . . . SO
Note 1: Submartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Note 2: HAUSDORFF measure and dimension . . . . . . . . . . . 53
2.6. KAC's formula for BROWNian functionals . . . . . . . . . . . . 54
2.7. BESSEL processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8. Standard BROWNian local time . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9. BROWNian excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.10. Application of the BESSEL process to BROwxian excursions . . . 79
2.11. A time substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Chapter 3. The general 1-dimensional diffusion . . . . . . . . . . 83
3.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2. MARKOV times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3. Matching numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4. Singular points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5. Decomposing the general diffusion into simple pieces . . . . . . 92
3.6. GREEN operators and the space D . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7. Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.8. Generators continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.9. Stopped diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
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Contents XIII
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Chapter 4. Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1. A general view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2. (l as local differential operator: conservative non-singular case . . 1 i 1
4.3. G as local differential operator: general non-singular case . . . . 116
4.4. A second proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5. QS at an isolated singular point . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6. Solving Wu = a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.7. Q$ as global differential operator: non-singular case . . . . . . . 135
4.8. 05 on the shunts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t36
4.9. (J as global differential operator: singular case . . . . . . . . . . 142
4.10. Passage times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Note 1: Differential processes with increasing paths . . . . . . . 146
4.11. Eigen-differential expansions for GREEN functions and transition
densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.12. KOLMOGOROV'S test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Chapter 5. Time changes and killing . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.1. Construction of sample paths : a general view . . . . . . . . . . 164
5.2. Time changes: Q = RI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3. Time changes: Q = [0, + 00) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.4. Local times . . . 174
5.5. Subordination and chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.6. Killing times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.7. FELLER's BRowNian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.8. IKEDA's example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.9. Time substitutions must come from local time integrals . . . . . 190
5.1u. Shunts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.11. Shunts with killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.12. Creation of mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.13. A parabolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.14. Explosions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.15. A non-linear parabolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Chapter 6. Local and inverse local times . . . . . . . . . . . . . 212
6.1. Local and inverse local times . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.2. LEvY measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.3. t and the intervals of [0, + 00) - 3 . . . . . . . . . . . . . . 218
6.4. A counter example: t and the intervals of [0, + oo) -8 . . . . . 220
6.5 a t and downcrossings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.5b t as HAUSDORFF measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.5c t as diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.5d Excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.6. Dimension numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.7. Comparison tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Note 1: Dimension numbers and fractional dimensional capacities 227
6.8. An individual ergodic theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Chapter 7. BROwNian motion in several dimensions. . . . . . . . 232
7.1. Diffusion in several dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.2. The standard BROWNian motion in several dimensions . . . . . . 233
7.3. Wandering out to 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
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XIV Contents
page
7.4. GREENian domains and GREEN functions . . . . . . . . . . . . 237
7.5. Excessive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.6. Application to the spectrum of d/2 . . . . . . . . . . . . . . 245
7.7. Potentials and hitting probabilities . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.8. NEWTONian capacities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.9. Gauss's quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.10. WIENER'S test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.11. Applications of WIENER'S test . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.12. DIRICHLET problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.13. NEUMANN problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.14. Space-time BROwxian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.15. Spherical BRowxian motion and skew products . . . . . . . . . 269
7.16. Spinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.17. An individual ergodic theorem for the standard 2-dimensional
BaowNian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.18. Covering BRowNfan motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.19. Diffusions with BROwNian hitting probabilities . . . . . . . . . 283
7.20. Right-continuous paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.21. RIESZ potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Chapter 8. A general view of diffusion in several dimensions . . . 291
8.1. Similar diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.2. 0 as differential operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.3. Time substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.4. Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.5. Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.6. Elliptic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.7. FELLER's little boundary and tail algebras . . . . . . . . . . . 303
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
List of notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315