请教关于齐次函数的一个简单推导

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收藏 2010-12-24

关于齐次函数，有这样一个命题：
k次齐次函数的一阶偏导数是k-1次齐次函数

看了几种流行微观教材，推导过程有差异：
1、Nicholson《微观经济理论》、Mas-Colell《微观经济理论》、Jehle、Reny《高级微观经济理论》的推导大体是这样：
Nicholson的推导

再如Mas-Colell的推导

2、Silberberg《经济学的结构》、Varian《微观经济分析》的推导大体是这样：

关键就是在求偏导数的时候，等号左边分母位置应该是tx还是x？

按偏导数求导法则来看，我觉得应该第二种是对的。但Mas-Colell和Jehle都是权威教材，难道它们都是错的？
希望有大侠指点一下，到底哪种是对的？

图片不清楚，不好意思：P

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sungmoo

2010-12-24 12:20:30

mmdzz 发表于 2010-12-24 11:42 关键就是在求偏导数的时候，等号左边分母位置应该是tx还是x？按偏导数求导法则来看，我觉得应该第二种是对的。但Mas-Colell和Jehle都是权威教材，难道它们都是错的？

应该说，这几种推导的思路都一样，但表达式上可能存在歧义。

个人倾向于使用：∂f(tx)/∂xi=f'i(·)[d(txi)/dxi]=tf'i(·)

f'i(·)表示，函数f(·)关于其第i个（位置上的）自变量的偏导数。

（原回复帖有误，现更正）

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mmdzz

2010-12-24 12:24:11

非常感谢大侠神速回答!

如果两种推导一样，那么就成立下面这个等式，是吗？

∂f(tx)/∂xi=∂f(tx)/∂(txi)

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sungmoo

2010-12-24 12:26:32

mmdzz 发表于 2010-12-24 12:24 如果两种推导一样，那么就成立下面这个等式，是吗？
∂f(tx)/∂xi=∂f(tx)/∂(txi)

个人感觉，该等式是不恰当的。

个人倾向于：

∂f(tx)/∂xi表达多元函数g(x)=f(tx)关于变量xi的偏导数；

f'i(·)表示多元函数f关于第i个（位置上的）自变量的偏导数；

尽可能不采用∂f(tx)/∂(txi)或这样的写法。

WMG中的表达式确实欠妥。

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mmdzz

2010-12-24 12:45:06

非常感谢您的热情帮助和耐心指点！

看来您已经明白我想表达的意思了。用您提供的符号，我可以表述的再清楚一点：

对f(tx)求关于xi的偏导数，Mas-Colell和Jehle的教材都是这么推导的（Jehle的微观直接就像下面这样写的）

∂f(tx)/∂xi*∂(txi)/∂xi

但是根据复合函数求偏导数的法则，实际上应该是这样：

∂f(tx)/∂(txi)*∂(txi)/∂xi

可以看到，第一项的分母部分少了一个t。所以这个理论推导确实有点问题。

当然，具体题目里就没有问题了，因为都是具体函数，解的时候不会出这种错误。

再次感谢大侠的帮助！

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sungmoo

2010-12-24 13:01:24

mmdzz 发表于 2010-12-24 12:45 第一项的分母部分少了一个t。所以这个理论推导确实有点问题。

同意。

（这里的麻烦就在于，对复合函数的某种偏导数的表达式的约定，各人可能不同，于是引起混乱）

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mmdzz

2010-12-24 13:23:57

sungmoo 发表于 2010-12-24 13:01
mmdzz 发表于 2010-12-24 12:45 第一项的分母部分少了一个t。所以这个理论推导确实有点问题。
同意。

（这里的麻烦就在于，对复合函数的某种偏导数的表达式的约定，各人可能不同，于是引起混乱）

明白了。您这个说得透彻。

我觉得WMG、Jehle等书的问题在这里：对于f(tx)这个多元复合函数（两个层次），从数学角度看，∂f(tx)/∂xi这个式子一般来说有比较公认的含义（表示整体求导，或者说f(tx)对自变量xi求导），他们却用来表示中间层次的求导（即f(tx)对中间变量txi求导），所以就引起混乱了。

这里还仅仅是两层复合函数，就已经乱了。如果层次更多，用∂f(tx)/∂xi表示中间层次求导就完全不可行了。

另外补充一点，关于∂f(tx)/∂(txi)这个表达，我感觉好像可以，因为它是∂f(tx)/∂(txi)*∂(txi)/∂xi的一部分，含义明确，不会有混乱。

其实，这如果不是多元函数，而是一元复合函数，那df(tx)/d(tx)*d(tx)/dx这个表达式就没问题。

这里是多元的，求偏导时假设除xi之外的自变量不变，类比一元复合函数的表达式，我觉得∂f(tx)/∂(txi)*∂(txi)/∂xi是可以接受的。