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最近在看高山晟的《数理经济学》，原书第77页讲到了阿罗-赫维茨-宇泽定理。今天偶然想出来的一个例子（本来是想验证库恩-塔克约束规格的，结果没想到可以作为AHU定理的反例）：max
f(x,y)=x+y，约束为:g(x,y)=x^2-y+1≥0, h(x,y)=y-2x≥0.本身很简单，在（1,2）取最大值3.
容易知道，g(x,y)、h(x,y)都是凸函数（线性函数和开口向上的抛物线都是凸的）。按照P77的阿罗-赫维茨-宇泽定理，显然两个约束都满足条件（i）凸函数的要求，那么由该定理，LM应该可以推出QSP，即在最大值点（1,2）,存在a、b，使得f1+a*g1+b*h1=0以及f2+a*g2+b*h2=0，就是拉格朗日乘法L(x,y) =f(x,y)+a*g(x,y)+b*h(x,y)在（1,2）处一阶偏导为0。
问题在于，你解上述一阶条件，前一个式子等价于a-b=0.5，后一个式子等价于a-b=1，这就出现矛盾！因此，此时QSP条件不再成立！
这个例子满足AHU定理条件（i），但是局部最大值点却不满足QSP特征，从而阿罗-赫维茨-宇泽定理不成立。
呵呵，之后我验证了很多，毕竟AHU定理有完整证明啊，可是我还是找不出这个反例错在哪或者没满足定理的那个假设条件。希望哪个高手指点下迷津！
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