An Introduction to Computational Finance

Without Agonizing Pain

Peter Forsyth 2006

July 10, 2006

Contents

1 The First Option Trade 3

2 The Black-Scholes Equation 3

2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 A Simple Example: The Two State Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 A hedging strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.6 Geometric Brownian motion with drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6.1 Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6.2 Some uses of Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6.3 Some more uses of Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 The Black-Scholes Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8 Hedging in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 The option price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.10 American early exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 The Risk Neutral World 17

4 Monte Carlo Methods 19

4.1 Monte Carlo Error Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Random Numbers and Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 The Box-Muller Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3.1 An improved Box Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4 Speeding up Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Estimating the mean and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6 Low Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.7 Correlated Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

4.8 Integration of Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.8.1 The Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.8.2 Strong and Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.9 Matlab and Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 The Binomial Model 37

5.1 A No-arbitrage Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 More on Ito’s Lemma 41

7 Derivative Contracts on non-traded Assets and Real Options 43

7.1 Derivative Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.2 A Forward Contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2.1 Convenience Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8 Discrete Hedging 48

8.1 Delta Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.2 Gamma Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8.3 Vega Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9 Jump Diffusion 53

9.1 The Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.2 The Jump Diffusion Pricing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.3 An Alternate Derivation of the Pricing Equation for Jump Diffusion . . . . . . . . . . . . . . 58

10 Mean Variance Portfolio Optimization 61

10.1 Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10.2 The Portfolio Allocation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

10.3 Adding a Risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.4 Criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.5 Individual Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

11 Stocks for the Long Run? 72

12 Further Reading 74

12.1 General Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

12.2 More Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

12.3 More Technical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74