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An Introduction to Computational Finance Without Agonizing Pain
Peter Forsyth 2013
December 6, 2013Contents
1 The First Option Trade 4
2 The Black-Scholes Equation 4
2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 A Simple Example: The Two State Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 A hedging strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Geometric Brownian motion with drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.1 Ito's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6.2 Some uses of Ito's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6.3 Some more uses of Ito's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6.4 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 The Black-Scholes Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Hedging in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9 The option price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 American early exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 The Risk Neutral World 20
4 Monte Carlo Methods 22
4.1 Monte Carlo Error Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Random Numbers and Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 The Box-Muller Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3.1 An improved Box Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Speeding up Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5 Estimating the mean and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Low Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.7 Correlated Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.8 Integration of Stochastic Di
erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.8.1 The Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.8.2 Strong and Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.9 Matlab and Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 The Binomial Model: Overview 41
5.1 A Binomial Model Based on the Risk Neutral Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 A No-arbitrage Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 A Drifting Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.1 Numerical Comparison: No-arbitrage Lattice and Drifting Lattice . . . . . . . . . . . 47
5.4 Smoothing the Payo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.1 Richardson extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 Matlab Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6 Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 More on Ito's Lemma 56
7 Derivative Contracts on non-traded Assets and Real Options 59
7.1 Derivative Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2 A Forward Contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2.1 Convenience Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.2 Volatility of Forward Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8 Discrete Hedging 65
8.1 Delta Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2 Gamma Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3 Vega Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.4 A Stop-Loss Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.4.1 Pro t and Loss: probability density, VAR and CVAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9 Jump Di
usion 73
9.1 The Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2 The Jump Di
usion Pricing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.3 An Alternate Derivation of the Pricing Equation for Jump Di
usion . . . . . . . . . . . . . . 77
9.4 Simulating Jump Di
usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.4.1 Compensated Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.4.2 Contingent Claims Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.5 Matlab Code: Jump Di
usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10 Regime Switching 84
11 Mean Variance Portfolio Optimization 85
11.1 Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.2 The Portfolio Allocation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.3 Adding a Risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
11.4 Criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.5 Individual Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12 Some Investing Facts 96
12.1 Stocks for the Long Run? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.2 Volatility Pumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12.2.1 Constant Proportions Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.2.2 Leveraged Two Times Bull/Bear ETFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.3 More on Volatility Pumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12.3.1 Constant Proportion Portfolio Insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12.3.2 Covered Call Writing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
12.3.3 Stop Loss, Start Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
13 Further Reading 107
13.1 General Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
13.2 More Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.3 More Technical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
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