什么是【主成分分析（PCA, Principal Component Analysis）】？01 概念

• 主成分分析（PCA）是一种强大的探索性模型，可以降低数据的维度。它非常适用于有大量变量（列）的情况，也适用于分析那种列多于行的表；
• 通过 PCA，你可以实现：可视化你的数据，以便进行探索性分析（exploratory analyses）。你可以选择任意两个主成分使用分数图绘制数据行，或使用载荷图绘制数据列，从而寻找数据的感兴趣的特征；减少用于后续分析（如主成分回归，PCR）的预测因子数量。
• 关键词：降维；特征选择与提取；数据投射较低维度中
  

02 模型局限性
PCA 通过提取数据中的线性关系来工作。实践中，使用这些线性关系就足够了，且不可否认，它之所以如此流行的一部分原因是线性假设极大地简化了计算。然而，PCA 主要的一个限制在于它是忽视非线性关系的。例如有 3 列数据：X1、X2 和 X3。如果 X1 = X2*X3（非线性关系），那么 PCA 就不能准确的提取出该关系。相比之下，PCA 能够提取出变量之间复杂的线性关系。



如何进行主成分分析？ —— 以 Prism 9 为例
01 一般步骤

• 在 Prism 9 的「欢迎（Welcome）或新建图表（New Table）」对话框中，创建一个多变量数据表。只有多变量数据表可以用于执行 PCA 的图表类型。选择将数据输入到一个新表中，或者从主成分分析的示例数据集开始；
• 输入数据。每一列代表一个不同的变量，而每一行代表一个不同的观察或重复测量值。PCA 只能分析连续变量。数据表中包含的分类变量可用于定制 PCA 生成的图形；
• 开始主成分分析。从数据表中，单击工具栏上的【Analyze 按钮】。在分析数据对话框的多变量分析部分中选择主成分分析。或者，在数据表界面，点击【工具栏】-【分析区域】-【PCA】按钮即可开始进行分析；
  

02 参数选择（关于 PCA 的 4 个选项卡的设置）
Prism 9 在执行主成分分析前，设置了四个主要参数需要预设，以确保最终得到预想结果。



设计（Design）
选择要包含在 PCA 中的变量，下方还有一个选项，可以选择用于运行主成分回归的结果变量。

• 在 [Design] 选项卡中，你可以指定用于 PCA 的测量变量值（有时称为预测变量或只是称为 X 变量）。PCA 分析是完全基于测量变量，这让你可以确定变量的底层结构、识别变量的类型或行，并可视化你的数据；
• 至少选择两个连续变量来包含到主成分分析中；
• 如果你希望对减少维度的主成分分数运行主成分回归（PCR），请选中此选项并选择因变量（结果）；
  

选项（Options）
选择如何标准化列以及如何确定要保留的主成分的数量。

• 在 [Options] 选项卡中，需要你做两个重要的决定，它们会严重影响之后 PCA 的结果和结论。一般建议对标准化数据执行 PCA，并通过「并行分析（Parallel Analysis）」来选择成分数量。如果你想选择其它方法，需要先明确为什么再操作；
• [Method]：这里需要决定是对标准化数据还是中心化数据执行 PCA。Standardized data - 推荐，也称为相关矩阵上的主成分分析，适用于变量单位不相同的情况；Centered data - 对中心化数据执行主成分分析，是适用于单位相同的变量的情况，又称为协方差矩阵主成分分析（PCA on the covariance matrix）。但是这较少使用；
• [Method for selecting principal components]：选择主成分的过程就是确定降维数据集在执行 PCA 后中将具有多少个「维度」的过程；
  

注：Prism 9 提供了方法帮助选择：平行分析（Parallel analysis）- 推荐；根据特征值选择主成分；根据总解释方差的百分比选择主成分；选择所有主成分；



输出（Output）
自定义报告的输出。还可以选择包括其它用于绘制图形的变量（如，用于符号颜色、大小、标签等）

• 在 [Output] 选项卡中，你可以自定义 PCA 的输出，并定义附加变量以包含在结果表中。这些额外的变量可以用于绘图和后续分析；
• [Additionally report]：选择是否报告可选结果表；
• [Additional variables for graphing (PC scores table)]：选择可选变量来优化图形；
  

图表（Graphs）
选择需要 Prism 绘制的图表。PCA 生成的图表包括：

Score Plot 得分图
Loadings Plot 载荷图
Biplot 双标图
Scree Plot 陡坡图

Proportion of Variance Plot 方差比例图

03 主成分回归分析（PCR, Principal Component Regression）
PCR 是多元线性回归和主成分分析的结合。主要用于解决自变量之间存在高度相关的情况。英文注释参考：如何解读主成分分析结果？ - 以Prism 9 为例
PCA 会生成许多不同的分析结果选项卡。其四个主要选项卡是每个分析都有的，其提供了分析的主要结果。另外六个选项卡是可选的结果，在参数对话框的选项卡中选择。如果选择执行主成分回归（PCR），这些结果会显示在各自的【results 选项卡】上。



01 主要结果（Primary Results）

• 表格形式结果（Tabular Results）：表格形式结果提供了分析的一个快照，包括特征值，解释方差比例，和选择的成分的数量。所有的主成分都包含在这个表中，即使只选择了一些成分。
  
• 特征值（Eigenvalues）：A 列列出了特征值，它量化了每个主成分解释的方差量。B 列尽当在 [Method for selecting principal components] 中选择平行分析时才显示。
  
• 载荷（Loadings）：根据数据是标准化还是中心化的，载荷分别是数据列和特征向量之间的相关系数或协方差。
  
  
• 主成分得分（Principal Component Scores）：主成分得分是由 PCA 得出的，用于绘制数据行，并用于运行进一步的分析，如多重线性或逻辑回归。它们是通过将标准化或中心化数据乘以特征向量计算得出的。分数只有在该选项时才显示。
  
  
  

02 可选结果（Optional Results）

• 标准化或中心化数据（Standardized or Centered Data）：在 PCA 对话框的 options 选项卡中，你选择在标准化（居中和缩放）或中心化数据上运行 PCA。这个可选选项卡显示了这些值，它们是 PCA 计算的输入值。
  
  
• 特征向量（Eigenvectors）：特征向量是主成分分析 (以及许多其他多元分析方法) 的支柱，因为它们定义了解释输入数据中最大方差的向量。下表中的每一列值代表一个特征向量。特征向量只在选择了对应的方法时才显示。
  
• 变量贡献矩阵（Comtribution matrix of variables）：变量的贡献矩阵表示哪些变量对主成分的计算做出了「贡献」。每一行代表一个变量，每一列代表一个主成分。
  
  
  
• 变量与主成分之间的相关矩阵（Correlation matrix between variables and Principal Components）：如果你对标准化(居中和缩放)数据运行 PCA，那么这个矩阵与载荷矩阵相同。但是，如果你对中心化数据运行 PCA，那么载荷矩阵就是变量与特征向量的协方差。在这种情况下，你可能希望查看相关矩阵，以便更容易地解释载荷的大小。
  
  
  
• 实例贡献矩阵（Contribution matrix of cases）：与变量的贡献矩阵类似，实例的贡献矩阵表示相对于其他行，哪些行对主成分有贡献。每一行代表一种实例(原始数据表中的行)，每一列代表一个主成分。注意，只有在对应的方法勾选后，该矩阵才会在表中显示。
  
  
  
• 变量之间的相关 or 协方差矩阵（Correlation/Covariance matrix between variables）：变量之间的相关(或协方差)矩阵，就是数据输入列的相关(或协方差)矩阵。如果数据已做了标准化(居中和缩放)，那它与相关矩阵是相同的。
  
• 主成分回归的结果（PCR results）：主成分回归是 PCA 和多元线性回归（MLR）的结合。通常，通过 PCA 降低维数的目标是 PCR，Prism 提供了在 PCA 中执行 PCR 的能力。