我是这样理解这个问题的，首先，要从数学上证明长期平均成本曲线与短期平均成本曲线必相切，也就是说，无论一个变量（可以看作是资本）是否一定，目标函数对于这个变量的变化率都是相等的。这可以将求解直接目标函数（短期平均成本函数），在资本一定的约束条件下的极小化，转化为间接目标函数，间接目标函数以资本为自变量，通过一阶条件就可以得出两个目标函数对于资本的导数相等，这就保证了长期平均成本曲线与短期平均成本曲线必有切点（坐标系以资本为横轴，目标函数值为纵轴）。在这个坐标系中，除了切点以外，短期成本函数的其余点都位于长期目标函数的上方（非最优）。其次，长期平均成本有唯一最小值（边际报酬递减规律），那么，反映在长期平均成本曲线图上就是只有唯一一个最低点，那么也就只有一条短期平均成本曲线与其相切于最低点，其余的短期平均成本曲线则与长期平均成本曲线切于非最低点。

文字表述就是以上这些了，但要透彻理解这个问题，最好是熟悉其数学表达，可参考有关数理经济学方面的参考书。说的不对的地方欢迎大家批评指正！：）

只需要了解长期成本c(w,y)<=短期总成本sc(w,w',y;x'),而根据Envelope Theorem，c(w,y）是sc(w,w',y;x')的下包络，那么经过适当的数学变形就可以得到lac is the lower envelope of sac

看看高微就一目了然了