MA模型1. MA模型的定义

具有如下结构的模型称为q阶移动平均（moving average）模型，简记为MA（q）：

与AR模型类似，这里有两个限制条件：

• 条件一保证了模型的最高阶数为q；

• 条件二保证了随机干扰项序列{​}为零均值白噪声序列。
  

通常缺省默认式的限制条件，把模型简记为：

同样的，当​时，模型为中心化MA（q）模型，非中心化模型只需做一个简单的位移​就可以转化为中心化模型。

引入延迟算子，中心化MA（q）模型又可以简记为：

这里​，为q阶移动平均系数多项式。2. MA模型的统计性质2.1 常数均值当​时，MA（q）模型具有常数均值

特别地，如果该模型为中心化模型，则均值为零。

2.2 常数方差

这也是移动平均模型不需要平稳性判定的原因，因为它具有常数方差，低阶矩存在，则满足宽平稳，因此不需要平稳性判定。

2.3 自协方差函数只与滞后阶数相关，且q阶截尾

2.4 自相关系数q阶截尾

3. MA模型的可逆性

用R考察MA模型自相关图，程序如下：

e=rnorm(1000)
x1<-filter(e,filter=c(1,-2),method = "convolution",circular = T)
x2<-filter(e,filter=c(1,-0.5),method = "convolution",circular = T)
x3<-filter(e,filter=c(1,-4/5,-16/25),method = "convolution",circular = T)
x4<-filter(e,filter=c(1,-5/4,25/16),method = "convolution",circular = T)
par(mfrow=c(2,2))#将四个时序图放在同一副图中
acf(x1)
acf(x2)
acf(x3)
acf(x4)

考察某些MA模型会发现，有些模型不同，但却具有完全相同的样本自相关图，例如：

以及两个MA(2)模型

这是因为自相关系数和模型之间不是一一对应的关系。因为我们将根据样本自相关系数显示的特征选择合适的模型拟合序列的发展，这种自相关系数与模型的不唯一性就会导致拟合模型和随机序列之间不是一 一对应的关系。

为了保证一个给定的自相关系数能够唯一对应MA模型，就需要给模型增加约束条件，这个约束条件称为MA模型的可逆性条件。

3.1 可逆的定义

所谓的模型的可逆性是指，如果一个MA模型能够表示成收敛的AR模型的形式，那么该MA模型称为可逆模型。

可逆概念的重要性：一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。

对于两个MA（1）模型，如果他们具有以下结构则他们的自相关系数正好相等：

模型：模型：

自相关系数为：

将这两个MA（1）模型表示成两个自回归AR（1）模型形式：

模型：模型：

显然，如果​，模型1收敛，模型1可逆；如果​，则模型2收敛，模型2可逆。3.2 MA（q）模型的可逆性条件

分析MA模型的可逆性与分析AR模型的平稳性类似，引入延迟算子，MA（q）模型可以表示为：

式中，​，为移动平均系数多项式。假定​是 该系数多项式的q个根，则​可以分解为：

带入（13）式，得

上式收敛的充要条件是​，等价于MA（q）模型的系数多项式的根都在单位圆外​。这个条件也称为MA（q）模型的可逆性条件。

事实上，MA模型的可逆性与AR模型的平稳性概念是对偶的。

3.3 逆函数的递推公式

原理：

合并得：

展开后得：

由待定系数法容易得到逆函数的递推公式为：

，

式中，

4. MA模型偏自相关系数拖尾一个可逆的MA（q）模型可以等价的写成​模型的形式：

式中，

，

AR(p)模型偏自相关系数p阶截尾，所以可逆的MA（q）模型偏自相关系数​阶截尾，即具有偏自相关系数拖尾性。

一个可逆的MA（q）模型一定对应一个与它具有相同自相关系数和偏自相关系数的不可逆的MA（q）模型，这个不可逆MA（q）模型也同样具有偏自相关系数拖尾性。