认购期权与认沽期权的平价关系的解释及应用

                           于德浩

                          2021.4.14

认购期权与认沽期权的平价关系是，C+K≈S+P。就是说，你拥有1张看涨期权合约+现金备用与拥有一张看跌期权+同市值股票的投资组合效果是一样的。

举例，1张合约对应100万元股票市值，年波动率是20%，平值认购期权和认沽期权的售价都是10万元一张。

我现在有100万元用于投资。（C+K）的投资组合是，花10万元买入1张认购期权，剩余90万元现金。 显然，初态净资产就是10+90=100万元。 倘若股价末态上涨30%，合约价值变为130万元，那么认购期权的价值就是130-100=30万元。末态净资产就是30+90=120万元。而倘若末态下跌30%，那么认购期权价值清零，净资产就是0+90=90万元。假设涨跌概率各50%，那么末态净资产期望值就是0.5*120+0.5*90=105万元。

我们再看一下（S+P）的投资组合。买入1张10万元的认沽期权，买入90万元的股票市值。显然，初态净资产就是10+90=100万元。倘若股价末态上涨30%，合约价值变为130万元，那么认沽期权的价值就清零，末态净资产就是0+90*1.3=117万元。而倘若末态下跌30%，那么认沽期权价值是100-70=30，净资产就是30+90*0.7=93万元。假设涨跌概率各50%，那么末态净资产期望值就是0.5*117+0.5*93=105万元。

所以说，这两种投资组合的实际效果是一样的，初态100万元，末态期望值是105万元。

这个平价关系式，是这么得来的。当同时拥有一张看涨期权和看跌期权时，如果末态股价上涨使得ST>K，那么C-P=（ST-K）-0= ST-K；如果末态股价下跌，使得ST<K，那么C-P=0-（K-ST）= ST-K。所以，总会有C-P=ST-K成立。

由于e^(μ*T)*S=<ST>，而且在市场中性条件定价下，μ=0，所以，<ST>=S初态股价。末态随机价格ST≈<ST>=S，所以，C-P≈S-K。从而，C+K≈S+P，这就是平价关系式。

如果是100万元初态直接买股票，那么在涨跌各50%的概率下，末态期望值是0.5*130+0.5*70=100万元，要小于（C+K）或（P+S）投资组合的期望值105万元。这就是投资组合的一个重要应用。

不过，你只有预期末态股价会大涨或大跌时，对冲的投资组合才有优势。 如果股价不涨不跌，认购和认沽期权都会清零，那么投资组合也会亏损，从初态100变成末态0+90=90。这个期权价格10万元就是对冲成本费用，大约占比年10%。显然，你不能时时刻刻都对冲，因为股价收益率才年化约+8%，还抵不过对冲的保险费。

防止下跌的对冲保护，都是短暂的。只有当你觉得，短期股价可能会大跌，你才能去买认沽期权做保护。对冲的另外一个作用，就是使得投资客户的心理更好受些，易于再融资。比方说，某几天，股价突然大跌10%，如果对冲基金经理持有认沽期权，那么与股票指数大盘相比，对冲基金反而不跌，甚至还上涨。

其实，这都是些小把戏。 股神巴菲特就从来不用短期对冲保护，一直是简单的长期持有。因为，客户投资者光看到了某一次，对冲保护了下跌；但他不知道10次中的另外8次，都是白交对冲保险费。所以说，对冲基金，听上去好像，无论股价涨跌都能赚钱，但实际上，能跑赢大盘平均收益率的，也不多。很明显，对冲费用就是一大支出。