连续概率取值范围的指代概率估算

                         于德浩

                       2021.4.16

连续概率取值范围，是指一个实际观测值的可能状态。 比如均匀分布，从x=（0，1）连续取值，实际观测值可能是x=0.3，也可能是x=0.2，也可能是x=0.8或0.9等等。我们一般用x=0.5去指代所有的可能连续取值。

在已知x的概率密度分布函数时，我们应用积分中值定理去精确求解指代概率。举例，标准正态分布N（0,1）在（0，1）积分区间的指代概率。整体概率是N(1)-N(0)=0.8413-0.5=0.3413，积分中值就是f(ξ)=0.3413/（1-0）2=0.3413，于是f(ξ)=0.3413，即1/(2π)^0.5*e^(-1/2*ξ^2)=0.3413，从而解得ξ=0.5634，就是说，我们可以ξ=0.56去指代x=（0,1）。

如果是正态分布（0,2），那么指代概率是多少呢？还是上面一样的方法，N(2)-N(0)=0.9772-0.5=0.48，积分中值是f(ξ)=0.48/（2-0）=0.24，解得ξ=1.0，恰巧等于（2-0）/2=1，也恰巧是最低取值0+1=1，去指代x=（0,2）的连续取值。

对于正态分布取值（0，5），求指代概率。 N(5)-N(0)=1-0.5=0.5，积分中值是f(ξ)=0.5/（5-0）=0.1，解得ξ=1.6651，去指代x=（0，5）的连续取值。由于在5倍标准差外的概率密度几乎为0，所以，ξ=1.67也能指代x=（0，+∞）的连续取值。

如果我们已知指代概率，那么我们就可以反推出随机数x的观测值的限定范围。比如，正态分布的取值范围是（-∞，+∞），累积概率p=1。我们很容易看出ξ=0，就是指代概率，因为这正好是对称轴，并且是最大概然值。这里的积分中值f(0)= 1/(2π)^0.5*e^(-1/2*0^2)=0.4，从而积分范围应该是d=1/f（ξ）=2.5，即x=（-1.25，+1.25）。由于N（1.25）=0.8944，就相当于我们只关注中间的约80%，舍弃了两边各10%的小概率事件。

对于估计观测值的限定范围，我们一般认为5%的小概率事件实际不发生，一般随机分布，根据切比雪夫大数定律，我们限定正负5σ取值范围，因为1/5^2=0.04<5%。对于正态分布事例，我们限定正负2σ，因为N(2)=0.9772；两边的小概率事件是2*0.023=0.046<5%。

在物理上，我们也会用“半高宽”去估计实际观测值的限定范围。比如，正态分布的最大概然值是f(0)=0.4，“半高宽”就是f(ξ)=0.4/2=0.2，解得ξ=1.1774。即x=（-1.2，+1.2）。

当然在物理上，更常用更简单的是误差限定范围，也就是用正负1个标准差去限定x的范围，即x=（-1，+1）。

再说一下半衰期的概念，就是“半高宽”的意思。At=A0*e^(-α*t)，当剩余物衰减为原来的一半，所需要花费的时间，就是半衰期。即e^(-α*t)=0.5，从而t=ln2/α≈0.7/α。高能粒子的衰变系数很大，半衰期很短，也就是寿命很短很短；所以说，高能粒子辐射危害很小。而核物质的半衰期很长，就会有持续不断的辐射危害。

简单平值期权定价公式。推广公式是C/S=x=p*(ξ-d2)* σ*T^0.5。应用原理，初态=末态的期望值，即行权概率*行权收益。其中，d2=(K-S)/(S*σ*T^0.5)，p=1-N(d2)。  应用积分中值f（ξ）=p/2，计算出ξ，这里末态股价ST的限定范围取为2，是一个合理给定，更符合实际市场数据。

倘若对于深度实值期权，行权概率p≈1，给定指代概率ξ≈0，从而C=S*p*(ξ-d2)* σ*T^0.5=S*1*（0-(K-S)/(S*σ*T^0.5)）*σ*T^0.5=S-K；这就与实际市场数据一致了。

倘若对于深度虚值期权，行权概率p=1-N(d2)，这是一个修正的正态分布，要满足行权价每增加+0.5σ，行权概率就减半，即（1-N（d2+0.5））=1/2*（1-N（d2））；给定ξ≈1+d2，指代概率总在行权价右边+1个σ处，即成功行权的收益不变。这样就能有C（n+1）=0.5*Cn的价格等比数列，与实际市场数据完全一致。对于过度虚值期权，由于p≈0，所以x=0，C=0，这与实际当然是一致的。

在简单平值期权定价公式中的d2定义为（K-S）/S/σ，相当于BS期权定价公式中的-d2。在BS期权定价公式中， 定义d2=（ln(S/K)+r*T-1/2*σ^2*T）/σ*T^0.5。简单比较，我们取r=0，T=1；利用ln(1+x)≈lnx的近似条件，-d2=（ln(K/S)+1/2*σ^2）/σ≈（K-S）/S/σ+1/2*σ≈（K-S）/S/σ。 比如，行权价（K-S）/S=3%时，σ=6%时，-d2=0.5+0.03=0.53。我这里定义为正号，主要是物理意义更清晰，成功行权收益=指代价格-行权价格。