本题试解如下:
(1)该垄断厂商的利润函数为:
π=P·x-0.5q2=(1-x)x·q-0.5q2
对于q和x分别求一阶偏导数,有:
∂π/∂x=(1-2x)·q=0;
∂π/∂q=(1-x)·x-q=0;
因此可得:x=0.5,q=0.25,P=0.125,此时垄断厂商的利润最大,为π=0.03125。
(2)当社会福利最大化时,有P=LMC
由C=0.5q2,可得,LMC=q·(dq/dx)
而p(x,q)=(1-x)q,于是,有q·(dq/dx)=(1-x)q;
可以计算得出:q=x-0.5x2 + M0,其中M0为待定常数。
由p(x,q)=(1-x)q,可知,当x=0时,q=P,于是可得M0=P。
那么可得,q=x-0.5x2 + P。
仍然由p(x,q)=(1-x)q,可得,P=(x-0.5x2 + P)(1-x)
于是,可以整理出P·x=(1-x)(x-0.5x2),从而进一步地,可得,q=1-0.5x。
此时,厂商的利润函数改变为:
π= P·x-0.5q2=(1-0.5x)(1-x)·x-0.5q2
=(1-x)(1-0.5x)·x-0.5(1-0.5x)2
=x-1.5x2 + 0.5x3 -0.5(1-0.5x)2
针对x求一阶偏导数,有:
∂π/∂x=3/2-13x/4 + 3 x2/2=0;即6-13x+6x2=0
从而解出:x=2/3;q=2/3;P=2/9。此时社会福利最大化。
(3)垄断厂商的质量选择要小于社会福利最大化的质量选择;这是由于垄断厂商可以通过产量来控制市场的价格,因此在追求利润最大化的过程中,采取MR=P的策略;而社会最大化的福利,则是考虑在LMC=P时进行的产量、质量选择。由以上计算可以看出,消费者选择的x的数量、质量都有所提高,当然价格也有所提高,但基于了对于质量的认可过程。