(二)波动的集聚性
  　　金融时间序列往往在较大幅度波动后面伴随着较大幅度的波动,在较小波动幅度后面紧接着较小幅度的波动,这种性质称为波动集聚性。对于波动集聚性出现的原因,一种解释是该现象源于外部冲击对股价波动的持续性影响,在市场有效的情况下,高频数据表现的ARCH效应就是信息以集聚方式到达的反映。另一观点是Stock提出的时间扭曲观(time deformation),他认为波动聚集性的产生是因为经济事件的发生时间与日历时问不一致。
  　　Engle(1982)提出的ARCH模型,被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。ARCH模型解释了收益率序列中比较明显的变化是否具有规律性,并且说明了这种变化前后依存的内在传导是来自某一特定类型的非线性结构,较好地刻画了外部冲击形成的波动集聚性。Bollerslev(1986)修正了ARCH模型,在ARCH模型中加入了条件异方差的移动平均项,提出了GARCH模型。实证研究表明,GARCH模型更好地刻画了收益率序列残差项的异方差性,国外学者利用GARCH模型进行了大量的研究,并对该模型进行了扩展和改进。Engle,Lilien＆Robbins(1987)将条件标准方差引入均值方程,进一步提出了GARCH—M模型,使期望收益率与风险紧密联系在一起。
  　　Nelson(1991)提出指数GARCH(exponential GARCH.EGARCH。)模型,避免了对参数的非负性假设。Pagan ＆Schwert(1990)发现相对于非参数模型而言,E—GARCH模型的预测效果是最好的。Harvey.Ruiz＆ Sentana(1992)提出了结构性ARCH(structural ARCH.STARCH),这个模型要求用卡尔曼滤波进行估计。
  　　cai(1994),Hamilton＆Susmel(1994)提出的转换ARCH(switching ARCH,SWARCH)模型,假设了数种不同的ARCH模型,并通过马尔柯夫链在其间转换,该模型同样要求用卡尔曼滤波估计。Hentschel (1995)定义了一个十分广义的模型,包括了几乎所有的ARCH.模型。Francq＆Zakoian(2000)在Drost＆ Nijman(1993,1996)的弱GARCH模型的基础上,提出了一套弱GARCH模型的估计检验方法。Daccorog et al.(1996,1998)提出了HGARCH(heterngeneous GARCH)模型,在GARCH模型的条件异方差项引入时间刻度变换(time deformation)处理技术。在目前所有的波动率模型中,ARCH族模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。
  　　(三)波动的长期记忆性
  　　金融资产收益率波动的长期记忆性是指,收益率序列的绝对值或幂的自相关呈现十分缓慢的衰减,相距较远的时间间隔仍然具有显著的自相关性,表现为历史事件的影响会长期影响着未来。Fama＆ French(1988),Poterba＆Summers(1988)发现股市收益存在短期正相关而长期负相关的关系。Ding.Granger＆Engle(1993)发现,在1928-1991年间,S＆P500指数的日收益率平方第一个负自相关发生在第2598阶时滞。Mill(1996)利用伦敦FT30从1935至1994的日收益率也得出类似结果,Taylor.(1986),Dacarogna(1993)等利用其他金融时间序列也得到了同样的特征。
  　　对长期记忆性的研究具有重要意义 1)如果收益率具有长期记忆性,则意味着收益是可预测的,套利行为将成为可能,这显然与“有效市场假定”(effi cient market hypothesis,EMH)相悖。(2)自回归模型(AR)、滑动平均模型(MA)、自回归滑动平均模型(ARMA)、自回归整合滑动平均模型(ARIMA)等描述金融经济时间序列的短期记忆模型将面临严重挑战,必须构建可充分考虑长期记忆性的新模型。(3)长期记忆反映出金融市场具有非线性结构,使得传统的线性模型将无法描述金融市场的本质。
  　　为此,Granger＆Joyeus(1980),Hosking(1981)将分数差分噪声(FI)N)和ARMA模型相结合提出的自回归分整移动平均模型(autoregressive fractionally in tegrated moving average,ARFIMA)描述长期记忆过程,该模型已成为检验长期记忆性最常用的工具。
  　　Geweke＆Porter-Hudak(1983)提出了针对长期记忆性的分数差分检验(fractional differencing test)。Engle ＆Bollerslev(1986)运用IGARCH(integrated GARCH.)模型来刻画波动的长期记忆性,模型的解是不存在无条件分布方差的非协方差平稳的严平稳过程。但是,IGARCH意味着条件方差所受的冲击无限持久,而且意味着投资主体将会频繁和彻底地改变其投资组合的组成部分,这与观察到的主体行为不符。同时,时间聚合问题(temporal aggregation)也给IGARCH模型的合理性带来了疑问。Engle＆Bollerslev(1993)提出通过一定的组合来消除或减小波动的持续性,即波动协同持续(common persistence in volatility)。Lo (1991)把这种现象归结于可能存在的长周期和长期收益中潜在的可预测部分,并利用改进R/S分析法对美国市场进行实证,发现美国市场不存在长期记忆性。
  　　Taqqu,Teverovsky＆Willinger(1994)用蒙特卡罗模拟法测试评价了9种长期记忆参数的估计量:累计方差、方差差分、累计序列的绝对值、Higuchi方法、残差回归、R/s统计量方法、周期图方法、修正的周期图法以及Whittle统计量等,其中后三种属于频域方法。他们的结论认为,前8种方法误差相近,Whittle统计量虽然具有最小的误差,但该方法需要频谱密度函数,难以广泛应用。
  　　Baillie,Bollerslev＆Mikkelsen(1996)提出的FI GARCH(fractionally integrated GARCH)模型以及Bollerslev＆Mikkelsen(1996)提出的FIEGARCH模型解释了序列变动异方差的特性和长期记忆变动特征,并证明FIGARcH过程的存在可以解释研究者在高频数据中发现的IGARCH类行为。Zumbach (2002)将权值引入真实波动,提出了LM一ARCH模型。在此之前,几乎所有的波动分整模型在波动生成过程中都包含一个非零的漂移项,在实际应用中对分整模型的检验需要有限尾部的任意截断,因此均值是有偏的。而LM-ARCH模型能够有效地避免这个问题。Beidt et al.(1998)提出长记忆随机波动(LM—sV)模型描述波动的长期记忆性。Hwang＆ Satchell(1998)利用长期记忆模型预测期权的Black—Scholes隐性波动。Ray＆Tsay(2,000)利用多维SV模型对S＆P500中100支股票进行了分析,研究了收益波动协同持续的共同因素。Andersen et al.(2002)利用真实波动构建了分布拖尾的向量自回归模型(VAR-.RV)。Martens,Martens＆.Jason(2002),Li (2002)利用期权的隐含波动对长期记忆性的预测进行了比较。
  　　对长期记忆性产生的原因有不同的解释:一种是由投资者的偏好和市场情绪引起的,这种反应与有效市场假说不同,不能立即反映在股票价格上,产生的偏差会长期持续,偏差的长期积累导致了市场的长期记忆性;另一种则是波动产生过程中不同持续水平的基本信息聚合所造成的结构性变化

(四)波动的溢出效应
　　一个金融市场的波动不仅受到历史波动程度的影响,还可受到其他市场的波动程度的制约。这种市场之间的波动传导性,即收益率条件二阶矩的Granger因果关系,称为波动的溢出效应。考察不同市场间价格的波动性是否相互影响是金融市场研究的一个重要方面。
　　对溢出效应这一现象的描述,Ross(1989)指出波动变化是由市场间的信息流动所引起的,可以从波动的变化中推断出相关的信息。King＆Wadhwani (1990)认为即使信息仅是对某个特定市场实用,市场间的信息流动也会使其他市场对该市场的事件过度反映。Engle,Ito＆Lin(1990)将世界市场划分为四个主要的区域:日本区、太平洋区、纽约区和欧洲区,证实各区域之间存在波动传导性。King,Sentana＆ Wadhwani(1994)发现市场间的协方差仅有一小部分能够为利率汇率等基本经济因素所解释,不应该将经济因素的一致变动作为市场间收益率波动相关性的惟一解释因素。Jeong(1999),Brooks＆Henry (2000)考虑了波动的非对称性问题,分别对美国、英国、加拿大三国及美国、日本、澳大利亚三国的股市进行了分析,同样证实了波动的传导性。利用多维ARCH—M模型,Hamao,Masulis＆Ng(1990)研究了国际股票市场问的波动影响,检验发现在从纽约市场到东京市场,以及伦敦市场到东京市场的方向上存在着波动性的“溢出效应”。Chart,Chan＆Karoyi (1990)也使用多维ARCH模型证实了期货市场的交易将会加剧现货市场的波动,同时发现现货市场对期货市场也存在波动传导。
　　Hung＆Cheung(1995)发现,东南亚5个新兴市场(中国香港、韩国、马来西亚、中国台湾和新加坡)相互之间以美元计价的股票指数存在显著的Granger因果关系和协整效应,因此未达到区域内的市场有效性。Roca＆Shepherd(1998)在对东南亚国家证券市场的分析中发现:菲律宾与中国台湾的证券市场间存在双向Granger因果关系,而与新加坡证券市场则表现为单向Granger因果关系。Leong＆ Felmingham(2003)也证实,亚洲金融危机后日本与韩国、新加坡与韩国、中国香港与中国台湾以及新加坡与中国香港之间的股票指数均存在不同程度的双向Granger因果关系。
　　总的来说,对溢出效应的研究多以发达国家市场为对象。检验发达市场与发展中市场间的波动溢出效应的实证文献并不多。近年来,发展中国家金融市场取得了迅猛发展,市场规模不断扩展,资金流量不断增大,信息传导的有效性不断增强。同时随着国际金融一体化的不断深入,逐步解除了贸易壁垒的枷锁,与发达国家市场的联系也日趋紧密,检验发达市场于发展中市场之间的波动溢出效应也成为摆在金融研究者面前的重大课题。
　　(五)波动的非对称性
　　Black(1976)发现当前收益与未来波动之间存在着负相关,波动会因负面消息(实际报酬率低于预期报酬率)的出现而增加,并随正面消息(实际报酬率高于预期报酬率)的出现而减小,即杠杆效应。
　　Christie(1982)给出的解释是:负面消息使得企业产生了负的超额报酬,企业价值降低,提高资产负债比(debt—to一equity ratio),因此提高了公司的风险,投资者的持有风险增大,导致未来波动的增大。相反。
　　正面消息所带来的正的超额报酬使企业价值增加、财务杠杆比率降低,投资风险降低,股价收益率的波动性也随之减小。French,Schwert＆stambaugh (1987),Campbell＆Henstschel(1992)认为在股市上当前波动与未来收益是正相关的,提出了波动的反馈效应(volatility feed～back effect)。
　　为检验杠杆效应,Nelson(1991)采用非对称性的EGARCH模型来分析不同的消息对股票波动性的影响,模型利用分段线性产生了非对称的条件异方差,从而可以描述所谓“负债”的影响,验证了杠杆效应的存在。Cao＆Tsay(1992)发现EGARCH对市值较小的股票能给出最好的波动预测。Zakoian(1994)最先提出了TARCH(threshold ARCH)模型,该模型假设新生量服从t分布,在条件方差中加入了名义变量,以区分正向信息和负向信息对波动的影响。
　　Glosten,Jagannathan＆Runkle(1993)在GARCH—M模型中加入季节项(seasonal pattems)来区分正、负冲击对股价波动的不同影响(称之为GJR—GARCH模型),并验证比较了不同的GARCH模型,证明该模型对杠杆效应的刻画具有良好效果,GJR—GARCH模型允许波动率对信息的反映为二次函数,但对好消息和坏消息有不同的系数,这个模型保留了当消息不存在时,波动率将会很小的论断。Engle＆Ng (1993)利用日经指数1980—1988年的日交易数据,对其使用不同的GARcH模型,并设计了3个诊断非对称现象的统计量:偏误检验(sign bias test)、负符号偏误检验(negative sign bias test)以及正符号偏误检验(positive sign bias test)来检验波动是否具有不对称性。他们的实证结果表明,GJR—GARCH模型对杠杆效应的刻画效果是最优的。
　　Ding,Granger和Engle(1993)提出了一个不对称的GARCH模型,即APARCH模型(asymmetric power ARCH),APARCH模型具有一般GARCH模型的特点,但多了两个参数,其中一个参数就是用来捕捉股市中所存在的杠杆效应,因此,APARCH模型比GARCH模型具有更大的灵活性。Fornari＆Mele (1997)系统地研究了杠杆效应,发现由于前期冲击大小的不同,杠杆效应会有不同的特征,即当前期冲击较大时,负冲击对未来波动的影响大于正冲击对未来波动的影响;而当前期冲击较小时,正冲击对未来波动的影响大于负冲击对未来波动的影响,是为非对称性反转效应(reversions in the asymmet ric behavior of the volatility)。他们还采用6个国家的股票市场数据使用不同的模型进行实证分析,结果显示其提出的VS—GARcH模型可以刻画不对称反转效应,并且要优于GJR—GARcH模型。
　　其他模型还包括Engle(1990)提出的非对称ARCH(asymmetric ARCH,AARCH)模型,Sentana (1995)的二次ARCH(quadratic ARCH,QARCH)模型和Chiang＆Doong(2001)的TAR—GARCH模型等。
　　三、随机波动模型的研究进展
　　Taylor(1986)在解释金融收益序列波动的自回归行为时提出了随机波动(stochastic volatility)模型。
　　sV模型简明的特点使它与GARCH模型相比表现出很多优势,实践证明sV模型可以比较好地拟合金融数据,在金融分析、风险预测等方面有着广泛的用途。但是,在sV模型中波动变量是不可观测的隐变量(1atent variable),要得到精确的样本似然函数,是十分复杂和困难的,这使得在金融资产波动的建模中sV模型远没有GARCH模型普及。
　　近年来,在随机波动性的模型估计方面已经取得了极大的进展。总的来说,估计方法基本分为两大类。第一类方法是用近似的或者模拟的方法构造模型的似然函数和无条件矩。包括拟最大似然估计(QML)、广义矩估计(GMM)、仿真最大似然估计(sML)、模拟矩估计(SMM)等。Harvey et al.(1994)、Ruiz(1994)及Andersen＆Serensen(1997)提出了准最大似然估计(Quasi ML)。将sV模型转换为状态空间形式,以正态分布作为扰动项渐进分布,采用卡尔漫滤波(Kalman filter)估计模型。Melino＆Turnbull (1990)在汇率扩散模型中假设波动服从连续随机过程,运用广义矩估计(GMM)发现sV模型较好地拟合了实际数据。Andersen＆Serensen(1996,1997),Duffle＆Singleton(1993),Singleton(2001)对sV模型的广义矩估计也做了相应的研究。Danielsson＆ Richard(1993),Danielsson(1994)给出仿真极大似然方法(simulated ML),首先根据样本信息采用重要抽样模拟技术(importance sampling simulation)对隐含的波动随机过程进行仿真模拟,然后求出边际似然函数,其精度超过QML和GMM方法,但计算量很大。
　　Gallant＆Tauchen(1996,1998)提出有效矩估计方法(EMM)。Gallant＆Tanchen(1997)提出模拟矩估计(SMM)方法,该方法模拟耦合了一个辅助模型的似然方程。Danielsson(1994),Sandmann＆Koopman (1998),Pit＆Shephard(1997),Durbin＆Koopman (2000)提出Monte Carlo极大似然(MCML)方法,采用不同的抽样方法对实际似然函数都能得到精确的估计,而且在线性状态空间形式下,通过改进也可对扩展sV模型进行估计。
　　另一类估计方法是基于贝叶斯原理的参数后验分布分析。Jacquier et al.(1994)采用蒙特卡罗马尔可夫链(MCMC)中的Gibb抽样方法来估计模型,该方法采用Metmpolis算法从模型参数和波动变量的联合分布中进行循环抽样,每一步得出一个参数的后验分布,等参数的后验分布序列收敛后,在进行若干回合的有效抽样并以此对参数进行统计推断。大量模拟表明,MCMC在估计参数上优于QML方法和MM方法(Chen et al.2000,Kim et al.1998,Stroud et al.2001)。但McMc方法对计算能力的要求很高。
　　在基本sV模型中,误差过程被假定为正态分布,收益为零均值、无自相关平稳过程。这些假设在实践中很难取得理想效果。Hull＆White(1987)引入连续sv模型,采用几何布朗运动将Black—Scholes公式推广到时变波动。Harvey＆Shephard(1996)提出了非零相关sV模型。Kim et al.(1998)提出了用混合正态分布(mixture of normals)近似描述sV模型变换方程误差项的分布行为。Beltratti＆Morana (1998)提出的随机波动率模型具有类似弱GARCH模型解释时间聚集性的性质,同时对市场的信息分布也做了一种灵活的处理。Watanabe(1999)提出了一个含解释变量的sV模型,等等。这些成果都是对基本SV模型的扩展。
　　sv模型的多元推广、变结构问题以及有效估计的简化问题成为sV模型未来研究的重点。Harvey et al.(1994),Kim et al.(1998)分别研究了GARCH与sV的联系与区别,他们认为这两类描述波动过程的模型可以通过一个共同的随机微分方程来表示,又利用似然比(LR)和贝叶斯因子等理论工具比较了这两类非嵌套式模型的区别。正如Bollerslev(2001)所言,ARCH模型、sV模型和GMM估计是过去20年内金融计量学发展中最重大的创新。
　　四、结束语
　　除本文主要介绍的ARCH族模型和sV模型以外,理论界研究较多的波动率模型还包括:非参数估计模型(Pagan＆Sehwert 1990,West＆Cho 1995),小波变换模型(Alex et al.1998,Yoshinori et al.2000,Tacksoo et al.2000),基于人工神经网络的模型(Hu＆ Tsoukalas 1999,Zumbach,Pictet＆Masutti 2001,Engle ＆Russell 1998),以及Boudoukh et al.(1998)的HY—Bird模型,Engle＆Managaneli(1999)的CAViaR模型,Embrechtsetal(1997),Mcniel＆Frey(2000)的尾部极值理论估计模型,等等。在波动率模型未来的研究中,超高频数据的分析、多元模型的建模和估计、无条件分布的厚尾性以及波动的长期记忆性都将成为研究的重点。

写的很全面很精确！谢谢楼主！

好文 mark之

thank you very much for your sharing