相似的阶数与区别的层次
　　
　　　更远

一、基本类比
　　下面采取类比方法来说明泰勒级数的运用。
　　1.函数极值定理
　　对于函数f(x),设在xo处从k=1到k=n阶导数都等于0，且n+1阶导数fn+1(x0)不等于0。则有以下结论：
　　如果n为奇，那么函数在xo存在极值，且n+1阶导数大于0时，为极小值，n+1阶导数小于0时为极大值。
　　如果n为偶，那么函数在x0不是极值。（而是拐点）
　　那么在n为奇的情况下，n大小不同，有什么不同的几何意义呢。虽然都是极值，但是作为极值的稳定性程度不同。显然，如果只是一阶导数为0，二阶导数不为0，虽然是极值，但是运动点在这一点的稳定性不相同。n越大的极值，运动点经过时，稳定性越高。因此，不妨称为n阶极值。
　　2.函数拐点定理
　　与极值定理相对应：对于函数f(x),设在xo处从k=2到k=n阶导数都等于0，且n+1阶导数fn+1(x0)不等于0。则有以下结论：
　　如果n为偶，那么函数在xo点是拐点，且n+1阶导数大于0时，从左到右是从下凸变为上凸，因为在左边类似于二阶导数小于0，应为下凸。如果n+1阶导数小于0，从左到右从上凸变为下凸。
　　如果n为奇，那么函数在x0不是拐点。
　　3.微分几何中，如果两条空间曲线r1(t)与r2(t)在t0点的泰勒展开式，从0次项到n阶项都相等，只是n+1阶不相等，或者说r1(t)－r2(t)的第1项就是n+1阶导数这一项了。那么就称这两条曲线是n阶切触。显然，切触的阶数越高，那么两条曲线在t0点就越接近或靠近。如果只是0阶接触，即是相交，连0阶也不接触，则是连相交也没有了。在切触阶数n>1时，可能是既相切又相交。考察x^5与X^4在x=0的关系就是3阶切触，但是二者又相交。因此，可以从r1(t)－r2(t)的第一项不为0的点在t0左右两边的符号或向量方向，如果符号相同，表示只是相切，如果不同，则是既相切又相交。这就完全类似于上面的函数极值问题了。也就是说，如果r1(t)－r2(t)在t0点取得极值，那么两曲线就是相切，否则就是相交。这一点，在两条平面直线时，最为容易理解。
　　这样上面三个定理这样就完全统一起来了。
　　但是我们这里关心的，不是上面这三个定理本身，而是从两条曲线相靠近的程度来引申出一般道理。即说，两个事物之间的接近或相似程度有不同之分，那么象统计学上的聚类分析就是分析事物之间近似的程度，从而给事物分类的。但是聚类分析似乎还没有相似的阶数之分。而两条曲线或两个曲面或曲线曲面的切触阶用来表示两个几何图形在某一点相接近的程度的概念，可以对我们有启发意义。
　　在计量经济学中，单整阶数是度量时间序列平稳性程度大小的指标，而协整阶数则是度量两个变量之间相关程度大小的指标。显然，单整阶数越高，表示时间序列的平稳性越差。理论上讲，一个数据只要差分次数足够多，那么即使理论不平稳，但是近似地看成是平稳也是没有问题的。这样一来，我们可以说，无穷阶单整表示时间序列绝对不平稳。然后从无穷阶单整出发把阶数减少，设N阶数据的平稳性达到预先给定的要求，近似视为平稳性。然后，从N开始倒数自然，设从k=N、N－1、…、n+1、n阶差分都是平稳的，而n－1阶差分不平稳，那么定义这个时间序列为n阶平稳序列。
　　在上述单整阶数的模型中，可以与极值定理和切触阶做一个比较。极值定理与切触阶都是从小到大列举整数表示某种可欲性质，比如极值与曲线接近是一种有意义的性质，而数列不平稳通常视为一种其意义不如平稳的性质。而时间数列平稳性则是从无穷大或很大阶分具有平稳性往小里列举。从这一点上看，两者刚好相反。但这也算是某种相似性。
　　如果你非要把时间序列不平稳视作可欲性质，那么两者更为相似了。
　　这里都涉及一种相似与区别的层次或阶次的问题。
二、进一步推广
　　下面再对这个问题推广一下，在金融学上，有一个所谓资产的风险免疫问题。假设一个简单模型如下：
　　你有一项债务，可能有利率风险（如果是其它自变量引发的风险，分析方法类似），设你的债务对利率的函数为C（t)。为了对你的风险进行预防或免疫，你可以准备两项或多项资产，使得这些资产的到期日分别位于债务到期日前与后，设资产总收益对于利率的函数为R（t)。
　　显然，应该使你的资产收益曲线的位置始终高于债务曲线，但是过高也没有必要，反而可能增加新的成本。因此，金融免疫理论中的所谓Redington免疫与完全免疫要求下面三个条件：
　　第一，在当前利率r0时，资产现值与负债现值相等。
　　第二，在当前利率r0时，资产久期与负债久期相等。修正久期其实就是资产价值对于利率的导数与资产价值的比，即X'(r)/X(r)，不过通常由于资产价值对于利率的导数为负，因此前面会加上一个负号使其为正，就象有些微观经济学教材上把需求价格弹性的定义中加上一个负号以使其为正。其中X表示在利率为r时的资产价值，它是利率变化时，资产价值的相对变化率，类似于弹性概念，但是与弹性概念相差一个利率因子。类似于宏观经济学增长理论中的变量增长率，用变量对于时间的导数除以变量原值，即f'(t)/f(t)。
　　第三，完全免疫要求准备两项资产，一项资产的到期时间在负债到期时间之前，另一项资产的到期时间在负债的到期时间之后。这其实可以推出Redington免疫的第三个条件，即资产的凸度大于负债的凸度。凸度即资产价值对于利率的二阶导数除以资产价值，即X''(r)/X(r)。是一种相对二阶导数的概念。
　　微分几何中两条曲线在某一点的切触阶定义为，两条曲线的方程展开为泰勒级数时，如果在这一点的坐标相等，即相交，则称为0阶切触；如果一阶导数也相等，则进一步称为1阶切触；如果二阶导数也相等，则进一步称为二阶切触，以此类推。也就是说，可以通过泰勒展开来研究曲线在一点相接近或近似的程度。
　　在保险学中，负债的免疫，是要求在当前利率r0时，资产利率曲线与负债利率曲线（自变量是利率）为1阶切触，并且同时，不为二阶切触，资产的二阶导数大于负债的二阶导数，这就保证资产曲线总是在负债曲线上方，而刚好在现行利率时相切。这样一来，当利率不变化时，资产价值刚好等于负债价值，而当利率上升或者下降时，资产价值都会高于负债价值。这就使得负债的利率风险得到控制，这就叫作负债的利率风险得到免疫。
　　免疫是一种疾病控制学术语，是指疾病得到预防，使人不能受到病毒的感染。负债的利率风险免疫是指负债的利率风险得到预防，不受利率风险的侵害。
　　
　　那么按照本文第一部分所讲的道理，如果资产收益函数与债务函数之差，R(t)－C(t)不是1阶切触，而是n阶切触，即R(t)－C(t)在t=r0展开式中第一项不为0的为n+1阶导数这一项了，而且这里的n一定得为奇数，即n+1为偶数，这样才能保证资产收益总是大于债务风险。那么我们就可以称此为n阶利率风险免疫，一阶风险免疫就是Redington免疫。在这个例子中，显然免疫的阶数越高越不利，这个结果与时间序列平稳性阶数越高，似乎越不利于我们进行回归分析一样。
　　
　　总结一下，科学的发展已经进行到对于事物之间的相似与差别程度进行定量分析的历史时代了。这种差别与相似的度量有两种类型，一是层级性的，或者说相似或差异程度的度量是用可列个数来进行的，即是说事物存在某种阶次的相似或差别。这里的分层级别是一个自然数而不是实数。又比如说，集合元素多少的程度用势来表示。而势也是有可列多个的，当然这至今在数学上仍然未全部弄清楚。第二种度量指标是连续统，如统计学上的离散指标，比如方差、基尼系数等。