例如，在价格竞争中，消费者知道他们的产品价格如何影响他们的利润，需求如何影响他们的利润，但可能不知道消费者对价格变化有多敏感。同样，在广告竞争中（第5.3节），知道增加广告支出如何影响他们的底线成本，但可能不知道他们的广告对需求的影响。因此，每一个投资者在投资阶段都雇佣了一个分析师，他的任务是估计齐溪。设R++表示分析师可行偏差的区间，我们可以确定A包括一个大约1的开放区间。每个分析师都有一个偏差αi∈Ar++，它使他估计策略xion需求qias f qixi,αi而不是qixi的边际e-ect,其中偏差函数f在两个参数中都是连续的，并且在qixi中是严格递增的。我们所关心的情况是，在这种情况下，气喜的标志是什么。因此，我们假定f qi,αi具有与qi相同的符号，并且f qi,αi在αi中增加。我们的结论和结果可以适用于分析者的偏差是需求敏感性的负，即f qi的符号为负，αi是qi符号的对立面。结果是，在任何朴素分析中，平衡因子雇用的分析者只对其量值有偏差，而不对其符号有偏差（即，αi-s的量值有偏差）。将αi=1归一化，以表示一个校准的（无偏差的）分析者，即f qixi,1=qixi。在本文后面介绍的应用中，我们将假定偏差是乘法的:f qixi,αi=αi·qixi。我们用FM表示这种乘性偏差，设qαii xif qi xi,αi表示分析员的有偏估计，带有偏差αi。我们用α=(α,...,αn)来表示所有a值的偏差。一个αi分析家将其归纳为choo se Xi，它解决了有偏的二阶和二阶条件sdπαii(x)dxiπixi+πiqi·qαii=0,dπαii(x)dxiddxidπαii(x)dxi！<0,（3.2）而不是（3.1）中的无偏条件。分析家可能有偏的原因有很多。一个例子是无意中在企业的战略和需求之间建立了内生相关性，而没有在分析中考虑到这种相关性。如果AfireRM在需求较低的日子设定较低的“销售”价格，而在需求较高的日子设定较高的正常价格，那么使用r esulting数据估计价格弹性将表明消费者对价格的敏感度没有实际情况那么高（第2节中的a s）。另一个例子是，当ms在节假日或周末之前设置广告预算时。这将在广告水平上与竞争对手产生相关性。在分析中忽略这种相关性可能会导致对广告效益的偏颇估计。在第5.2节（价格竞争）和第5.3节（广告）的结尾，我们提出了有偏差分析的微f oundation，然后我们根据分析师的有偏差分析α来了解这些分析在第二阶段的作用。如果每个参与者（根据分析师估计的需求敏感度）相信，对策略的任何微小改变都会降低其感知的payo值，则策略偏好是博弈的α-均衡。形式识别1(α-平衡）。修正一个偏置度profileα∈AN。如果(1)dπαi(x)dxi=0,和(2)dπαi(x)dxi<0.3.3朴素分析平衡(NAE)，则为α-等式b。朴素分析平衡(NAE)是一种偏差和一种策略，其中（1）策略是一种α-平衡，(2)每一种偏差都是对对手偏差的最佳回应（即，任何对另一种偏差的单边偏差都将导致一种新的α-平衡，对偏差者的支付率较低）。λ=(G，A)的一个朴素分析平衡是一对(α*,x*)，其中：1。

xututurix是基础对策G.2的α~-均衡。πi(x*)≥πi(x′)对于每一个i∈N，每一个α′i∈A，每一个α′i,α*-i-均衡x′，我们不把在需求阶段的均衡行为解释为知道需求函数并为其分析师计算最优α-s的复杂的投资者的显式最大化的结果。相反，我们认为需求函数及其对各种竞争者行为的依赖具有很大的不确定性。鉴于这种不确定性，他们聘请分析师来估计需求的敏感性。偶尔（例如，每年年底）考虑用一个新的分析师替换当前的分析师（例如，用一个新的随机值αi)，一个分析师更有可能这样做，它的利润越低。如果几个月后发现新的分析师降低了公司的利润，那么公司可能会重新雇佣旧的分析师。渐渐地，这样一个过程将导致投资者收敛到雇佣大多数时间内的分析员，这些分析员的值为α是对每一个分析员的最佳回答，因此构成了一个朴素的分析平衡(α，x)。现有的静态解概念的动机是假设一个类似的动态收敛过程，参见，例如，Huck和Oechssler(1999)；德克尔等人。（2007年）；温特等人。（2017）；Frenkel等人。（2 018）.值得注意的是，观察到的数据并不与投资者战略选择的及时性或分析师对需求敏感度估计的正确性相矛盾。例如，考虑第2节描述的价格竞争中的一个朴素分析均衡(α，x)。一个希望证明自己的产品确实是最优的（即，在需求的情况下，它最大限度地提高了产品的价格），很可能会尝试暂时的价格变化，以确保其随需求的变化。在可以说是合理的假设下，对这样一个实验的分析将以与导致(α，x)的o ne相同的复杂程度进行，该实验的结论将是需求的敏感性与该实验的天真分析师所估计的完全相同，并且该实验的平衡策略是最佳的（例如，在激励示例中，它诱导弹性为Of-1,从而使该结果最大化）。在一个天真分析的平衡中，如果偏离了增加利润的方向，将导致其预期利润的短期增加；然而，在嘈杂的环境中，他暂时增加的利润可能是无法衡量的。而且，一旦竞争对手观察到他们需求的变化（由于需求的偏差），他们很可能会调整他们的策略，以适应他们新的（感知的）需求。在此调整之后，偏差值将减少（这在下面的提议1中正式化）。备注1（代表团解释）。对我们的模型的另一种解释（我们在本文中没有使用）是授权的。设παII:X→R是一个主观性Payo函数，使得用n个无偏估计最大化παIII，等价于用αi的有偏估计最大化πI，即对于任何策略，X∈Xx是一个α-平衡IππαII(X)=argmaxx′i∈XiπαII(X′i,x-i)πi∈n。设πai={παIIαi∈a}是所有这类子项Payo函数的集合。可以将NAE重新解释为委托的均衡（Fershtman and Judd，1987),其中在委托阶段，每个委托的所有者同时为其管理者选择一个支付方案，从而在πAI中诱导出具有主观支付函数的管理者；在第二个委托阶段，管理者进行由主观支付函数诱导的博弈的纳什均衡。尽管这两种解释（即朴素分析和委托）对均衡策略的预测是相同的，但它们在其他可检验的预测方面以及它们的洞察力和政策含义方面是不同的（如第7节所讨论的）。

为了具体起见，我们将重点放在对价格成本的比较上（如激励示例中所示）。代表团的解释预测，Fershtman将正确地估计需求的弹性，并支付经理人的工资，即在Fershtman和Judd，1987年，第9页38）的销售增加和减少（参见，Fershtman和Judd，1987年，第9页）。天真分析的解释预测，firerms将雇佣高估需求弹性的天真分析师，其经理人的支付方案直接取决于firerms的业务。正如本文其他地方所提到的，我们相信这种预测与经验观察到的行为更加一致。3.4对单边复杂的鲁棒性在本节中我们表明，一个朴素的分析均衡对任何单方面变得耐心和复杂的玩家都是鲁棒的，在这个意义上，每个玩家都玩同样的策略，如果她是一个无偏见、复杂和耐心的玩家，她玩的策略将最大化她的Payo值，给定她的对手的偏见反应（即她的Stackelberg-leader策略）。例如，这样的非独立玩家可能代表这样一个场景，即电子商务经营者向消费者出售商品，但也允许其他第三方卖家通过零售商的网站出售竞争商品。我们首先将一个(xi，α-i)-均衡定义为一个规则，在这个规则中，玩家i玩xi，除了i之外的所有玩家都玩一个给定其偏见的最佳回复，xi是对a.formallyde firnition 3中某些可行偏见的最佳回复。固定玩家i∈N，策略Xi∈Xi，并偏置profielleα-i∈AN-1。策略profire(xi，x-i)∈X是一个(xi，α-i)-均衡，如果(1)dπαjj(X)dxj=0和dπαjj(X)dxj<0对于每个玩家j6=i，(2)存在αi∈A这样的dπαii(X)dxi=0和dπαii(X)dxi<0。接下来，我们将XSLi(α-i)定义为一个（无偏）Stackelbergleader玩家i面对具有偏见的对手的最优策略集。如果存在一个(X*i，α-i)-平衡X*,使得任意策略X′i∈Xi和任意(X′i，α-i)-平衡X′，πi(X′)≥πi(X′),则X′i∈Xi是一个Stackelberg-leader策略。设XSLi(α-I)Xibe是所有这类Stackelberg-leader策略的集合。接下来，我们将一个朴素分析均衡刻画为一个α-均衡，其中每个人都玩Stackelberg-leader策略。命题1。对(α*,X*)是一个朴素的分析平衡i,(1)X*是α*-平衡，(2)X*i∈XSLIα*-i对于每个参与者i∈N。证明简图；证据载于Ap PX.D.1。如果x*iis(resp.不是）一个Stackelberg-leader策略，那么不存在偏差α′，它导致了一个(α′i,α-i)-均衡，其中参与者i扮演Stackelberg-leader策略x′i∈XSLi(α-i)，nd获得的Payo值高于x*。4一般结果我们回答了关于朴素分析均衡中的三个主要问题：（1）参与者感知的最佳回答何时高于或低于其无偏最佳回答（第4.2节）；（2）他们何时通过有偏分析低估或高估需求的敏感性（第4.3节）；（3）他们何时达到Payo值，即帕累托支配纳什均衡（第4.4节）。在4.5.4.1节的表2中给出了一个结果摘要。假设r对假设r等于：（1）任何玩家策略对ny对手payo的外部性都是同向的，(2)对所有玩家来说，增加一个玩家策略对payo的偏导数都是同向的，即(i)所有玩家对于直接的E(cectπi i qi·qαii xi具有相同的方向，(ii)所有玩家对于间接的E(cectπi qi·qαii xi具有相同的方向。假设1（单调外部性）。

假设2（单调偏导数）.i）i xi xi对每个i∈N和每个x∈x都是正的或负的。ii）i qi·qi xi对每个i∈N和每个x∈x都是正的或负的。假设3-4要求payo函数是凹的，并且满足策略补充或策略替代。此外，我们要求这些性质对于任何可能有偏的需求敏感性估计都是成立的。假设3（鲁棒凹性）。DπαII(x)dxi<0±i∈N，x∈x和αi∈a。鲁棒凹性意味着每个对手的profectiona都有一个唯一的感知最佳回答，我们用brαII(x-i)表示，当用无偏最佳回答表示时，我们省略上标，即BRi(x-i)BRi(x-i)。假设4（鲁棒战略互补）。交叉导数dπαII(x)dxjdxxi要么全为正，要么全为负f或每个i6=j∈N,x∈x,A dαi∈A.假设3-4可以用依赖于下一对策G的更强的假设代替（而不依赖于偏置A和f的元素r）.假设3′.对于每个i∈N和x∈x,ddxiπi(x)xi,ddxiπi qi(x)xi≤0,其中两个不等式中至少有一个是严格的.假设4′.对于Every I6=j∈N和x∈x，其中至少有一个不等式是严格的。假设3′(4′)包含假设3(r,4）。然后我们假设感知的最佳回答是有界的。对Every I6=j∈N和x∈x,ddxjπi qiqi(x)xi,ddxjπi qiqi(x)xi≥0 orddxjπi qiqi(x)xi,ddxjπi qiqi(x)xi,ddxjπi qiqi(x)xi≤0,ddxjπi qiqi(x)xi≤0,ddxjπi qiqi(x)xi≤0。形式上（这里我们写x≤x′∈xi，xj≤x′j，对于每个j∈N)假设5（有界的感知最佳回答）。对于每一个偏差profielleα∈an，存在profiellexα≤Xα∈X，使得brαiixα-i，brαixα-i∈(Xα,Xα)对于eachi∈N。假设5意味着两个偏导数的符号必须di-er，即πixi·πiqi·qixi=0(4.1)，否则就不可能存在一个内部最佳回复BRi(x-i)，其中dπidxi=πixi+πiqi·qixi=0。进一步观察假设5意味着对于每一个偏置参数α存在α平衡。如果γ假设3和5，那么对于任意α∈A都存在一个α-平衡。证明。设xα={x∈xxα≤x≤xα}是在xα和xα之间有界的亲集（如假设5所示）。在凸紧集Xα和连续f函数Brα:Xα→Xα上应用Brouwer嵌点定理，得到了这一结论。我们的假设只适用于有两个以上的策略替代者的博弈。考虑这样一种情况，其中某个玩家i偏离了α均衡，然后再也不改变她的玩法。玩家I的偏离会促使其他玩家调整策略，使其适应一个被认为是最佳的回答。这种适应，反过来，诱使这些参与者进一步da pt他们的策略，以一个新的感知到的最大限度。假设6要求在二次适应后，玩家的策略相对于最初的α-均衡保持相同的偏离方向。假设6（一致的二次适应）。修正任意偏倚α∈AN，任意α-平衡x，任意玩家i∈N，任意策略y xi∈XI。那么对于每个玩家J6=IBRαJJ(xi,x-i)>xj brαJj xi,(brαkk(xi,x-i))k6=i>xj。如果（1）游戏有两个玩家（在这种情况下brα-i，xi brα-i，xi(x)brα-i，xi(x))，或者（2）游戏有策略补充（这意味着原始适应和第二适应在相同的方向上），假设6是空的（即总是成立）。

因此，假设6只有在具有n≥3个参与者和策略替代者的g ame的剩余情况下才是非平凡的。正如本文后面可以看到的那样，假设1-6被应用于各种经济学应用，如价格竞争（第5.2节）、广告竞争（第5.3节）、团队生产（第5.4节）和古诺竞争。4.2感知最佳回复我们的感知最佳回复在朴素分析均衡中是高于还是低于无偏最佳回复。具体地说，它表明，在任何朴素分析均衡中，每个参与者的感知最佳回答都高于她的无偏见最佳回答（即x*i>bri x*-i)，策略互补性与Payo外部性（即dπidxidxj·dπidxj>0)具有相同的方向。形式上（由于假设1(resp.4)，暗示符号o fdπidxidxj（resp.dπidxj)对于所有玩家和profigures是相同的，我们在没有指定profigure x和profigure i 6=j上的quantifiers的情况下，使πidxxj·dπidxj>0。如果γsatis foungies假设1-6，并且(α*,x*)是一个朴素的分析平衡：1。对于任意i∈N，iπdπidxidxj·dπidxj>0.2的xπi>bri xπ-i。对于任意i∈N，iπdπidxidxj·dπidxj<0的xπi<brixπ-i.证明。假设x*i>bri x*-i。如果对手没有对玩家i单方面减少她对BRI X*-i的策略做出反应，那么玩家i将从中受益，但事实上X*ii是Stackelberg-leader策略意味着，由于对手的反应，玩家i的策略减少对玩家i的Payo有负面影响（下文“（1）”）。只有当博弈具有稳健的战略互补和正外部性时，如果playeri降低x*i，则会导致较低的价格和Payo值s；或者当博弈具有ro崩溃的战略替代和负外部性时，才会出现这种情况（见下文“（2）”），这两者都意味着战略互补和外部性具有相同的方向。由于假设6，平衡响应保持在这个初始方向。本文认为，战略互补性与外部性在o个方向上是相同的:X*i>Brix*-ix*i<Brix*-i(1)递减Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应，Xi引起a有害对手的反应dπidxj>0 dπidxidxj·dπidxj<0。附录B给出了一个例子，说明为什么假设6（一致性次适应）对于命题2（以及本节中的其余结果）是必要的。命题2的一个直接推论是，在具有策略补充（替代）的游戏中，所有玩家的最佳回答和无偏见的最佳回答之间的直接关系总是朝着有利于（损害）对手的方向。形式上，推论1。如果γsatis假定S1-6和(α*,x*)是一个朴素的分析平衡，那么：1。SGN x*i-BRI x*-i=SGN dπidxj i（dπidxidxj>0.2）。Sgn x*i-bri x*-i=-Sgn dπidxj i？dπidxidxj>0.4.3分析偏差的方向下一个结果描述了条件f或分析师在任何原始分析均衡中高估或低估需求的敏感性。具体地，我们证明了所有参与者都高估了需求的敏感性(αi>1foreach参与者i）。当正导数的个数在策略互补Dπidxidxj、payo-externalitiesDπjdxi和偏导数πi xi三个单调导数中偶数时。命题3。如果γsatis foungies假设1-6，并且(α*,x*)是一个朴素的分析平衡：1。对于任意棋子i∈ni，πi·xi·dπjdxi·dπidxidxj>0.2，απi>1。对于任意棋子i∈ni，πi·xi·dπjdxi·dπidxidxj<0,απi<1。证明。

其结果如下:αi>1αi<1(1)qαii xi>齐xiqαii xi<qixiπi qi·qαii xi>πi qi·qixi<πi qi·qixi<0πi qi·qixi>πi qi·qixi>0或πi qi·qixi<πi qi·qixi<0i qi·qixi<0(2)πi qi·qixi<0i qi·qixi<0i qi·qixi<0i qi·qixi<0i qi·qixi<0i qi·qixi<0i qi·qixi<0i 0&dπαiidxi>dπidxi或πi xi>0&dπαiidxi<dπidxiπi xi<0&dπαiidxi<dπidxi或πi xi>0&dπαiidxi>dπidxi(3)πi xi<0&x*i<brix*-i或πi xi>0&x*i>brix*-i或πi xi>0&x*i>brix*-i或πi xi>0&x*i>brix*-i或πi xi>0&x*i<brix*-i或πi xi>0&x*i<brix*i<brix*-i或πi xj·dπidxj<0或πi xi>0&dπidxidxj·dπidxj>0πi xi<0&dπidxidxj·dπidxj<0或πi xi>0&dπidxidxj·dπidxj<0。（1）是由qαii xi在αi，2中增加的假设所暗示的。（2）是由于假设2和（4.1）（观察πi xi和πi qi·qi ximusthave o posities sign）。（3）是由于稳健的凹陷（假设4)，和4。（4）是命题2所暗示的。海菲兹等人。(2007a,引理1）在对称二PLA对策的子jective偏好演化（也可以解释为委托）中，在两个强假设下给出了与命题3类似的结果：（1）每个α∈a的唯一α-平衡x~*(α)，允许对每个偏差profection给出Payo函数~πi(α)πi(x~*(α))；（2）关于~πi(α):严格凹性和d~πi(α)dαdα<d~πi(α)dα的结构假设。我们的贡献是双重的。首先，从主观偏好/委托机制到有偏见分析机制的转变是重要的，它引发了新的预测和政策含义。其次，我们扩展了Heifetz等人。(2007a,引理1）对任意n人对策进行了改进，并在很大程度上放宽了上面提到的两个强假设。特别注意，~πi(α)是凹的假设在我们的应用中没有任何作用，也不是必需的。4.4 Pareto支配性最后，我们证明了任何具有策略补充Pareto的对策的任何朴素分析均衡都优于下博弈的Nash均衡。此外，对于有策略替代者的博弈的对称均衡则相反：任何有策略替代者的博弈的任何对称朴素分析均衡（它承认对称纳什均衡）都是由潜在博弈的纳什均衡支配的帕累托均衡。对于任意对i，j∈n，如果xi=xj，则策略profirelex是对称的。命题4。如果γsatis foungies假设1-6，并且(α*,x*)是一个朴素的分析平衡：1。IFDπidxidxj>0（策略补充），则存在一个纳什均衡xnes.t。对于每一个i∈N:(i)πi(x*)>πixnei和(ii)sgn x*i-xnei=sgn dπjdxi.2。Ifdπidxidxj<0（策略替代），则对于每一个Na sh均衡xneether存在一个博弈者i∈N s.t。SGN x*i-xnei=-SGN dπJDXI。此外，如果xneandx*都是对称的，那么对于每个玩家i∈n，πi(x*)<πixne。第（1）部分的证明；第（2）部分的simi l ar证明和引理见Appx.4.4。本文讨论了两个强假设的动态收敛结果，即Heifetz et al.，2007a，定理2；在本文中，我们没有给出一个正式的动态协整结果。推论1表明，对于每个i∈N,SGN x*i-brix*-i=SGN dπidxj。具有策略互补的对策（引理1证明了）的一个标准定理表明，一定存在一个纳什均衡xNE，使得SGN x*i-xnei=SGN dπjdxi foreach i∈N。我们只剩下证明πi(x*)>πixnei。设x′=xnei，x′-i是xnei，α-i-平衡。很容易看出（并在引理2中正式证明），对于任意j6=i,sgn x\'j-brj x\'-j=sgn dπjdxi。由于Lemma2，这意味着对于每个j6=i∈n，Sgn x\'j-xnej=Sgn dπjdxi。命题1意味着πi(x^)≥πi(x′)（由于x^i是关于α-i的Stackelberg导子作用）。

最后，Payo外部性隐含tha tπi(x′)=πixnei，x′-i>πixne。结合这两个不等式，得到πi(x*)>πixnei。4.5结论总结假设1-2映射为战略互补符号Dπidxidxj，Payo外部性Dπidxj和偏导的八种组合。由于将策略重新标记为负值（即用-Xi替换Xi）会导致本质上相同的ga me与三个单调导数中的每一个都有相反的符号（见附录A中的事实1）。表2总结了我们对这四类的结果（其余四类在附录A中列出）。5应用我们提出了o ur模型的三个应用：价格竞争、广告竞争和团队生产。在分析应用之前，我们给出了朴素分析平衡点中朴素能级的一个辅助刻划结果。5.1辅助刻划结果:α*的刻划在下面我们得到了朴素分析平衡点中朴素能级的一个有用刻划。在唯一感知到的最佳响应的假设（这在所有应用程序中都适用）下，这个结果的表示非常简单。对于每一个参与者i∈N，策略Xi∈Xi，和profireα-i∈an-1,存在唯一的(Xi，α-i)-均衡，我们用x-i(Xi，α-i)∈x-i表示。表2：假设1-6应用（第5.2-5.4节）策略comp./sub.dπidxidxjpayo}extr.dπidxjpartialpermertialπi下的结果摘要，策略comp./sub.dπidxxpartialpermertialπi partialpermissioning（prop.2）分析偏差（prop.3）paretotomyantiance（prop.4）价格竞争w。潜艇。商品（motiv.example)+战略补充++x*i>BRI x*-iα*i<1the i x*i>xneinaEvergency。&团队生产+-α*i>1ParetoDominateSne。带有互补策略的价格竞争替代-+α*i<1~ix*i>XneisymetricAdvanceTementalitysym。带有负外部性的广告--α*i>1Ne ParetoDominateSym。NAEOur的下一个结果表明，玩家i在评估其需求敏感性时的偏差大小（即qα*ii xi-qi(x*)xi)是玩家策略对对手每一个策略的影响（即(dxjxi，αj)dxi)乘以对手策略对玩家需求的影响（即qi(x*)xj)的乘积之和。形式上：索赔2。设(α*,x*)是满足假定7的博弈的朴素分析均衡。若x~i∈Int(Xi),α~i∈Int(Ai),且xj(Xi,α~i)对于每个玩家i,j在x~i,α~i)是di-erentia ble,则qα~ii xi-qi(x~)Xi=xj6=idxjx~i,α~jdxi·qi(x~)xj.证明。通过在aStackelberg-leader策略（命题1）的FOC中替换有偏的FOC(3.2)来暗示这一主张:0=dπix~i,qix~i,x-ix~i,X~ix~i,α~jdxi=πixi+πiqi·qixi+xj6=idxjxi,α~idxi·qi·qi=0=πixi+·πiqi·qα~ii·qixi=0=πixi+·πiqi·qα~ixi·qixi{z}=0(FOC of(3.2))+πiqi-qi·qixi+xj6=idxjxi,dxi·qixj·πi qià0=πi qi-qα*ii xi·qixi+xj6=idxj xi,α*-i dxi·qixjàπi qi-qα*ii xi=xj6=idxj xi,α*-i dxi·qixj.5.2价格竞争基础博弈基础博弈gp=(N,X,q,π)是线性需求的价格竞争（概括第2节的激励示例）。每个selleri∈N设置一个价格Xi∈Xi，其中Xi=R+如果CI>0,Xi=H0,aibiiif CI<0。在不丧失一般性的情况下限制最高限价，因为设定更高的价格意味着卖方的需求不可能是正的。每个i的需求是:qi(x)=ai-bixi+ci·x,xxjwj·xj(5.1)其中x是加权平均价格，权重wj>0,pjwj=1,且ci·cj,ai,bi>0,ci<bi，对于每个i,j∈n。

ci的符号（与C-I的符号一致）决定了他所销售的商品是替代商品(ci>0，在标准的Bertrand竞争中）还是补充商品(ci<0，如两家商店销售互补商品，如厨房电器和烹饪原料，或相邻商店销售无关商品，其中一家商店的价格下降吸引了更多的顾客也光顾该商店）。不等式ci<bic，使交叉弹性参数相对于自身弹性参数变小。如果CI<0，则进一步要求交叉弹性的一个额外的上界:PJ6=ICJBJ<wi，这意味着假设6。最后，每个参数的表达式由πi(xi，qi)=qi(x)·xi给出。该函数对应于固定的边际成本，已归一化为零。如果将需求函数调整为非负，即qi(x)=max(ai-bixi+ci·x-i,0）,我们的结果仍然相同。我们不这样做，因为这将以一种更麻烦的方式重新表述一般模型（第4节）的假设：假设需求是非负的，并且当需求等于零时，允许各种单调导数等于零时，我们注意到，如果CI>0，博弈GPH具有战略补充，如果CI<0，则具有战略替代。应用endix D.3中的Lemma3证明了价格竞争博弈是唯一的纳什均衡，我们用Xne表示。结果设γp=(Gp,r++,fm）是具有乘法偏差的分析博弈r++,fm qi xi,αi=αi·qi xi。我们的初步结果表明，价格竞争满足一般模型的所有假设，以及任何朴素分析均衡中的假设：1。所有的公司都雇用低估需求弹性的分析师（当不考虑价格内生性时，这一结果反映了需求弹性偏差的方向，如Berry的表1,1994和Villas-Boas and Winer的表2,1999）；2。价格高于纳什均衡；和3。朴素分析均衡帕累托支配（即帕累托被支配）纳什均衡，如果博弈有策略补充（即替代）。命题5。γPSATIs假设1-6。另外，§psatis fires的任何NAE(α*,x*):1。需求弹性低估:α*i<1.2。价格高于Nash eq uilibrium价格:x*i(α*)>xnei.3。相对于Nash均衡的Pareto占优性:CI>0yenπi(x~*)>πixne，和CI<0yenπi(x~*)<πixne。我们的证明在附录中给出。3.我们的下一个结果明确地刻画了在重要的特例（1）双寡头和（2）对称寡头情况下唯一的朴素分析均衡。这一特性将在第6节中用于分析合并的影响。命题6表明，在双寡头竞争中，两个市场都使用相同水平的天真，即交叉弹性参数与自有弹性参数之间的比值在减小。在双寡头案例中，可以方便地重新标记以下变量:(1)～CI=CIW-I，和(2)～BI=BI-CIWI。通过这种重新标记，demandfunction被简化为:qi(x)=AI-Bixi-Ci_x=AI-～Bixi+～Cix-Iproposation 6。假设n=2。然后γ提出了一个唯一的朴素分析平衡(α*,x*)，其中α*=α*=R1-～CI～C-I～BI～B-I.证明。方程(D.3)在命题D.3的证明中意味着x-i xi，α*-i=a-i+～c-ixi(1+α*-i)～b-iàdx-i xi，α*-i dxi=～c-i(1+α*-i)～b-i。这意味着由于要求1（以及qix-i=～ci，qixi=-bi)的事实，x*i满足α*i-1=dx-i xi，α*-i dxi·qixi=～ci～c-i-(1+α*-i)～b-i～bi1+α*-i(1-α*-i)=～ci～c-i ci～c-i～b-i～bi.(5.2)观察到当交换i和-i时（5.2）的R HS保持相同。

这意味着α*-i、α*Imust相等，α*=α*=R1-～CI～C-I～B-I～Bi。我们注意到，在朴素分析平衡中，当存在两个以上的需求参数时，不对称的需求参数必须具有相同的偏置水平，这一性质不成立。接下来，我们刻画了对称寡头垄断中唯一的对称朴素分析平衡，其中需求参数对所有需求参数都相同:bi=带ci=c，对于每个需求参数i∈n。命题7表明，偏置水平α*只依赖于比率bc和n，并且在bc中它是增加的。对nis的依赖是非单调的。垄断是无偏见的(α*i=1)。相反，在duopolyms中，firems具有最强的偏置（即α*i<1离1最远），且偏置程度随着竞争对手数量的增加而减小（即α*i变得更接近1）（当n→∞时收敛到1）。形式上，命题7。价格竞争是对称的。然后γ提出了一个唯一的对称朴素分析平衡(α*,x*)，其中α*iBC，n只依赖于BC，n满足以下性质:(1)α*iBC，n在n≥2时在BC中增加，(2)α*iBC，1=1>α*iBC，2，(3)α*iBC，n<α*iBC，n+1<1forn≥2,(4)limn→∞α*iBC，n=1>α*iBC，n=1=1>α*iBC，n=1=1>α*iBC，n+1<1,n！=limbc→∞α*ibc,n！=1。在附录d.4中给出了证明。对于α*i bc,n在bc中增加的直觉与在两个竞争的情况下相同。从有偏差的估计来看，垄断没有战略优势（因此，α*i BC，1=1)。当n≥2时，α*i bc,n在n中增加的直觉是，竞争对手的数量越大，玩家的价格对竞争对手有偏见的最佳回答的战略影响就越小，因此有偏见分析的战略优势就会减少。命题7如图5.1所示。左面板显示了对称竞争中偏差α*in的均衡水平，它是竞争项数n的函数，当a=20，b=1和c=0.7，0.9时。右边的面板显示了在这些情况下（无偏的）Nashequilibrium价格和朴素分析的均衡价格。结果表明，对于双寡头企业，NAE价格与纳什均衡价格之间的差异最大，并且随着n的增加而逐渐减小。这表明，对两家企业合并对均衡价格影响的反事实经济分析，忽视了有偏见的分析，会高估双寡头合并为垄断所引起的价格增长，而低估了所有其他企业合并所引起的价格。这个论点是详细的，并举例说明的。6.图5.1：对称寡头垄断(a=20，b=1)中的偏差和价格！“#！”##！“$！”$#！“%！”%#！“&！”&#！“！”#(()*+#$%&\'（！！“#$%！”#$&！！“#$%&\'()*(+)$,&-。-)\'/0”！“！”！“！#！$！%！&！”！（！）！*！“！！#$%&\'()*“！！”#$%$&\'$#()*\'$+,！“#$%！”#$&-.！-.！-/01-/01！2-#(&,\')34)53(6,7$73\'08左面板显示了对称朴素分析平衡水平α*ias在c=0.7和c=0.9情况下是竞争项数的函数。右图显示了每种情况下的（无偏的）纳什均衡价格s和朴素分析均衡价格。αi<1的微观基础我们通过讨论可能导致分析师无意中低估需求敏感性和弹性的合理机制来总结这一应用：1。该机制已在激励示例（第2节）中说明，并在此再次描述。假设每个firigrm的每日需求都有一个arandom组件，firigrm的员工观察一个信息信号。例如，员工观察与r eased需求相关的天气预报。如果员工喜欢在需求较低的日子设定较低的销售价格，例如，因为他们有更多的空闲时间来改变价格，那么允许员工选择价格折扣的日子的分析师将会在需求较低的日子和价格较低之间产生相关性。

因此，他们会低估需求的弹性。一个老练的分析家，如果严格确保价格折扣是统一的，或者在他的计量经济学分析中准确地控制天气预报，他就会对弹性做出准确的估计。第二种机制在appx.c.1中被正式化，并在这里展示。竞争商店的员工可能会选择类似的折扣日或价格折扣。一个例子是按季节（假日）或每周特定的日子（周末）设置折扣。另一个例子是，如果他们的库存水平是相关的，当库存水平高时给出折扣。价格之间的这种相关性会导致那些允许员工设定有价格折扣的日子的天真分析师低估价格弹性，因为在价格较低的日子里，竞争对手更有可能提供折扣，使得对价格折扣的理解似乎更弱。5.3广告竞争研究估计广告的E-有效性通常表明，需要Extraceare才能得出无偏见的估计，不纠正这些偏差往往会高估广告的E-有效性（Lodish et al.，1995；Blake et al.，201 5；Gordon et al.，2019；Shapiro et a l.，2019)。在我们模型的第二个应用中，我们分析了广告中的双寡头竞争，以理解为什么广告可能从朴素的分析中高估广告的有效性。底层博弈底层博弈ga=(N={1,2},X,q,π)描述了两个市场之间的广告竞争。公司i∈{1,2}销售的产品每单位的外生利润PI>0。每个项目的预期需求取决于广告预算xi∈xi，两者均为:qi=ai+bi·√xi+ci·√xi·x-i，(5.3)，其中ai,bi,ci·c-i>0。当ci>0时，可行预算集是不受限制的(xi=r+)。当ci<0时，我们将最大预算限制为mi=b-ic-i（即xi=h0,bicii）。当ci<0时，这个限制不会失去一般性，因为额外的预算会增加fiyrm的需求。在这个市场中，fiyrm自己的广告会增加对自己产品的需求（双正），但竞争对手的广告可能会增加这个增加的水平。当竞争对手做广告时，总的类别需求增加，这增加了一个公司自己的广告。当CI<0时，由于竞争（例如，超过相同的客户），竞争对手的广告中自有广告的E-ect减少。我们要求ci和c-ito的符号重合。正ci-s可能对应于一种新的商品类别，其中广告吸引了人们对商品的关注。消极的ci-s可能对应于一个成熟的类别，在这个类别中，广告主要导致消费者在竞争商品中转换。玩家i的Payo值为πi(xi，x-i)=qi(xi，x-i)·pi-xi=pi·(Ai+bi·√xi+ci·√xi·x-i)-xi。（5.4）我们要求广告外部性非常小:ci∈0，pi，这意味着内部纳什均衡表现良好。此外，如果ci<0，我们假定ci<BIB-I·P-I。附录D.5中的Lemma6证明了广告竞争存在唯一均衡，我们用xne表示它。朴素分析均衡设γa=(Ga,R++,fm）是具有乘性偏差的分析博弈，即fm qi xi,αi=αi·qi xi。我们的结果表明，广告竞争满足了一般模型的所有假设，并且在任何朴素分析均衡中：1。招聘的分析师高估了广告的有效性（两者的偏差程度相同）；2.广告预算高于纳什均衡；和3。朴素分析均衡帕累托支配（即帕累托被支配）纳什均衡，如果博弈有策略补充（即替代）。命题8。⑵Asatis对假设1-6进行了修正。此外，任何NAE(α*,x*)都符合以下条件：1。

ad的对称高估:α~=α~=1+√1-CCPP>1.2。价格高于Nash eq uilibrium价格:x*i(α*)>xneiπi∈n.3。相对于纳什均衡的Pareto占优性:CI>0yenπi(x~*)>πixne和CI<0yenπi(x~*)<πixne。证明见附录。5.αi>1的微观基础我们通过提供可能导致广告高估其广告效果的微观基础例子来总结本节：1。与价格竞争类似，广告预算与正外部性之间的相关性会导致对广告效益的高估。如果零售商选择在假期或周末前增加预算，他们将观察到需求的增加超出了他们自己的广告范围。这种相关性会造成对广告弹性的高估。当在线广告在社交媒体平台上购买时，比如在脸书，Advertiser会向广告平台提供预算和目标指标。然后，该平台的算法以消费者为目标，以便在预算约束下最大化目标指标。一个常见的指标是销售或购买，最大限度地提高这个指标的一个策略是向产品的购买者或过去的购买者展示广告。在sucha策略下，将有广告的人与没有看到广告的人的购买量进行比较的分析会高估广告的有效性(Berman，2018)。如果RMS在下一个时间段通过增加广告预算来应对需求下降，如果需求很吵，标准的“回归主题”论点意味着，不管额外的广告预算如何，需求都可能在下一个时间段增加。如果没有考虑到这一点，就会高估广告的有效性，正如我们在附录C.2.5.4中所提到的那样，到目前为止，我们将q(x)解释为市场需求，αi6=1解释为由于天真分析而产生的偏差。我们现在证明我们的模型适用于更一般的环境。具体来说，我们将模型应用于一个具有战略互补的团队生产的潜在博弈。团队生产在伙伴关系和其他投入游戏中很常见（参见，例如，Holmstrom,1982；Cooper a nd John,1988；Heller a nd Sturrock,2020）。例如，根据团队联合销售业绩获得薪酬的销售人员，从astartup退出价值中获得份额的企业家，以及从他们联合论文的影响中受益的学术合著者。人们经常观察到，创业基金是由overcon firementfounders团队创建的（Astebro et al.，2014；Hayward et al.，2006)。从这个角度出发，我们将xias解释为每个团队成员的贡献，q(x)解释为团队创建的值。这种类比直接导致在评估他们对团队创造的价值的贡献时，将αi6=1解释为偏见球员ihas，这可以被视为一种confectence的度量。我们表明，在任何一个分析平衡中，都有一个过度估计其对团队产出贡献的能力（即αi>1)的意义。以创业为例，过去的许多研究都认为过度投资是克服厌恶情绪和应对不确定性所必需的，也就是说，是对外部创业环境的一种反应。我们的结果为人们（尤其是企业家）过度投资高估自己能力的倾向提供了新的基础。我们表明，当技能是互补的时，超调有助于增加团队的ciency，并且是对内部环境的响应。

这些结果提供了一个新颖的解释，解释了为什么investorsmight更喜欢投资于过度投资的初创公司创始人，为什么经理们可能更喜欢雇佣过度投资的销售人员，以及为什么学术研究人员可能更喜欢与过度投资的合著者合作（参见Herz et al.，2020年，有证据表明合著者高估了他们对联合论文的贡献）。另见Heller(2014)，他证明企业家的过度投资可以帮助投资者分散总体风险。底层游戏我们描述了一个带有战略补充的t eam pro duction游戏GTS。考虑n个参与者，每个参与者选择在一个联合项目中施加多少e（？）ort xi∈xiàr+。该方案给出了每个agent i的一个benefinitionqi(x),其中qi在r++中连续两次可加，严格递增，严格凹，并且超模，即对于任意x∈x和anyi,j∈N，dqi(x)dxj>0,dqi(x)dxixj>0,dqi(x)dxixj>0。每个玩家i的payo值等于她的项目的bene值减去这里的ORT:πi(x)=qi(x)-xi。O但上述假设意味着Payo函数是严格意义上的凹函数，并充分体现了战略互补性。因此，下位ga me的allNash平衡点是纯的，其中一个以xLNE表示的平衡点具有最小的E能级（即对于任何Nash平衡点xNE，Xlnei≤Xnei)。最后，我们要求E-ORT的边际贡献最初非常高，而对于非常大的E-ORT的边际贡献收敛到零，这意味着玩家总是有没有被感知到的最佳回答。具体地说，我们假设，当e（ort）收敛到零时，玩家的e（ort）的边际贡献收敛到零，并且e（ort）的边际贡献是对称的：假设8。对于每个博弈者i∈nlimxi→0dqi(x)dxix=(xi,...,xi)=∞,limxi→∞dqi(x)dxix=(xi,...,xi)=0。结果设γt=(Gt,r++,fm）是由Gt诱导的a nalytics对策。我们证明了我们可以应用第4节的结果，并证明了在任何朴素分析均衡中：（1）所有主体在联合计划中都有高估自己的意义，(2)比在最低纳什均衡中发挥莫里效应，(3)最小纳什均衡中Payo s Pareto占优势。形式上（证明在应用D.6中提出）：命题9。γasatis假设1-6，这意味着γasatis f或每个参与者i的任何NAE(α*,x*):(1)α*i>1,(2)x*i>xLNEi,和(3)πi(x*)>πixlnei。6对市场结构分析的含义在这一节中，我们证明了朴素分析均衡概念f或寡头谎言中市场结构分析的含义。关于产品数量和价格的数据经常被用来推断价格-成本利润率(PCM)，用于分析兼并和市场势力(Nevo，2000，2001)。在这些分析中，人们通常假设firerms扮演了一个独立的Bertrand竞争，如第5.2节所述，观察到的价格弹性被用来推断firerms的未观察到的边际成本，以用于模拟独立的市场结构。我们说明了firerms扮演一个朴素分析均衡对这种分析结果的影响。假设三个参数i=1、2和3，进行非对称的间接伯特兰竞争，需求Qi=a-bxi+cx+x+x，边际成本为零，a>0，b>c>0。附录(D.7)明确计算了唯一的合并前NAE(xprei，αprei)，这是对称寡聚蛋白部分5.2的特例。假设第2和3条计划合并，经济学家（如监管者）使用合并前观察到的价格和数量预测合并后的流行价格。经济学家在不知道边际成本为零的情况下进行了一个幼稚的分析，假设在合并前，每个公司都设定了自己的价格，以最大化payoπmci=(xi-mci)qi，而边际成本为未知。

在合并后，经济学人假设m1将设定价格xmctomaximizeπmc，而合并后的m23将同时设定价格xmcandxmctomximizeπmc。在现实中，m3将收敛到一个新的分析均衡，其价格xpostities取决于m3的均衡偏差。我们用αposts表示longrun分析偏差，用xposti(αpost)表示长期NAE价格。简而言之，firerms可能还没有调整他们的分析，相应地设定了xposti(αpre)的价格。我们还用xposti(mc)表示了经济学家预测的均衡价格，他们假设合并后的边际成本相同，并且没有分析偏差。分析表明，经济学家会估计并购后的成本，低估并购后新的均衡价格。命题10。假设并购前的价格竞争是对称的，且n=3,a>0,b>c>0。假设post-m e rge r foungrms 2和3合并，并同时为两种商品设定价格。那么：（1）经济学将估计MCI>0。（2）经济学家将低估合并后的价格:xposti(mc)<xposti(αpre)<xpostixposti(αpost)。证明见附录(D.7)。如命题5所示，在合并前的原始分析中，价格将高于纳什均衡价格。在变动价格中，这些价格将使经济学家估计所有产品的正边际成本高于零。合并后，由于竞争减少，这些产品将提高价格。尽管经济学家高估了边际成本，这将使她能够预测合并后更高的价格，但这种偏差不足以弥补朴素分析均衡中对价格的低估。图6.1说明了在a=20,b=1和c∈(0,1）下的这些结果。上图显示，估计的边际成本McIa是稳定的，并随c增加（左），而分析偏差αIa小于1，随c和αpost<αpre，而减小（右）。底部的面板说明了玩家1（左）和合并玩家23（右）的均衡价格是如何随c变化的。在所有情况下，合并后的价格都高于合并前的价格。然而，经济学家低估了由于合并而导致的价格上涨，而长期价格上涨幅度最大。图6.1：合并分析结果(a=20，b=1)！“#$%&！&”&#&$！“！”！“#！”$！“%&！”！！！“#！”$！“%！”&！“！”（！）！“*！”+#！！“$！”&！“（！”*#！！！！！！“#$！”！左面板显示了经济学家估计的边际成本作为c的函数。右面板显示了合并前后的天真分析均衡偏差α。！！“！#！#！$！%！&！+%！+！+！！！！#$！！%&\'#$%！！%&%%！！%&%%！！#！$！%！！+#！+%！+\'！+)“！！！”！#$%！！“#&\'（”#$%！！“#&\'（”&#$%%！！“#&\'（”&#$%%！！“#&\'（”&#$%%！“）”#&\'（“&#&\')”（“&#&\')”（“&#&\')”（“）左面板显示了Figurrm1设定的均衡价格作为C的函数。右边的面板显示了由合并前的firgrm2和合并后的firgrm23 a s a a函数c.7结论i a naive analytics均衡可以用来分析这样的游戏，其中玩家对他们的行为对他们的支付权的间接影响有不确定性，并允许玩家使用有偏见的数据分析来估计这种影响。这种情况在价格竞争、广告竞争和团队生产等经济应用中很常见，我们的预测结果与通常观察到的组织和团队行为是一致的。在均衡状态下，玩家被预测会收敛到有偏见的估计方向，从而导致他们的对手以有利的方式做出反应。在不定价的竞争中，如果参与者认为消费者的价格弹性比他们实际的低，他们就会更好，这是如果他们在计量经济分析中不纠正价格内生性，对观察到的价格的一种可能解释。

在广告竞争中，我们发现，正如我们的结果所预测的那样，零售商往往高估了对他们广告的反应，并过度广告。这些对无偏估计的偏离会导致对纳什均衡的偏离，从而对玩家造成不利影响。当游戏有策略补充时，游戏者会选择偏离纳什均衡的策略，使对手受益，他们的均衡支付将支配纳什均衡支付。对于有策略替代者的博弈，则相反。我们的分析结果提供了关于偏差方向的可检验的经验预测。特别是，分析预测，双寡头将具有相似水平的偏置（见Villas-Boas and Winer，1999)。另一个预测是，在双寡头竞争中，偏向性最强，随着竞争者数量的增加，偏向性减弱，如果有许多小竞争者，或者在垄断市场中，偏向性消失。这些预测可以在经验数据中得到检验，也可以作为分析各种行业采用和复杂度分析的基础。此外，我们的结果可能会对实践中运用反事实分析来估计福利和评估监管政策的影响时所使用的一些假设提出质疑。在这些分析中，人们通常认为，投资者正确地感知了他们的经济环境，任何观察到的与这种假设不一致的情况都可能是由于研究人员未观察到的因素。然而，在一个朴素的分析均衡中，投资者错误地认识到需求的敏感性，这一事实可能会实质性地改变用于评估市场结构分析影响的统计分析的结论，正如我们在第6节中对竞争投资者合并所证明的那样。我们的结果的第二个含义是对非因果推理方法中侧重于决策偏差的研究。这项研究隐含地假设，关注因果关系和更精确的估计对firefrm性能更好，这通常转化为关于firefrm pra ctices的规范性建议（例如，参见关于A/B测试的Siroker和Koomen(2013)和Thomke(2020)）。我们的结果表明，选择更简单的启发式可能会更好，因为它们容易实现，所以非常流行。这可能表明，在竞争环境中，部署更复杂的分析能力的规范措施应该谨慎行事。参考文献Salé-Chilet，J.和J.P.Atal(2020)。行业协会与多个代理人之间的勾结：来自医生的证据。Mimeo.Antler，Y.和B.Bachi(2019)。永远追寻。Mimeo.Astebro，T.H.Herz，R.Nanda和R.A.韦伯（2014）。寻找企业家精神的根源：来自行为经济学的见解。《经济展望杂志》28(3)，49-70.阿兹列利，Y.(2009)。对大型游戏中的其他人进行分类。博弈与经济行为6 7（2）,351-362。Azrieli,Y.（2010）.随机匹配博弈中的分类与关联。数学经济学杂志46（3）,303-310.Battigalli,P.和D.Guaitoli（1997）.不完全信息agame中的猜想平衡点和可理性化性。《决策、游戏与市场》，第97-124页。柏林：斯普林格。伯曼，R(2018)。超越最后的接触：网络广告中的归因。营销学37（5）,771-792。贝里，s.t.(1994)。估计产品的离散选择模型。经济学学报25,242-262。贝桑科，D.S.Gupta和D.Jain(1998)。竞争定价行为下的Logit需求估计：一个均衡框架。管理科学44（11部分-1）,15 33-1547。布莱克，T.C.No sko,S.Tadelis（2 015）。消费者异质性和付费搜索的有效性：一个大规模的试验。

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考虑一个3人博弈，在这个博弈中，每一个方块位于一个圆内，每个方块的所有价格都在下降，它主要取决于它自己的价格和它顺时针方向的邻居的价格。也就是说，需求函数由（对于某些0<<<<1)给出:Q=120-x-x-∑x、Q=120-x-x-∑x、Q=120-x-x-∑x，每个firerm的profiret函数为πi=qixi。观察到ga me存在战略替代(DπIDXIDXJ<0)和负外部性(DπIDXJ<0)，这意味着战略互补性和Payo外部性是一致的。在下面的文章中，我们证明了在任何朴素分析平衡中，x_i<bri x_-i，这与Adicating命题2是一致的。对相反的r y假设x*>br x*-1，这意味着玩家1从单方面降低价格以达到无偏见的最佳回答中获得收益，这种降低最初会诱导竞争双方提高价格，但玩家3的反应要强烈得多。玩家3的这个新的更高的价格促使玩家2重新调整她的价格，将其降低到她的初始NAE价格以下，这增加了玩家1的Payo。这意味着玩家1从对手策略的变化中获益。因此，X*不可能是Stackelberg-leader策略，这与(α*,X*)是一个幼稚的分析均衡相矛盾。c有偏估计的微观基础c.1价格竞争中的偏差αi<1假设这两个机构中的每个机构雇佣的分析师决定通过在高价格（pH）和低价格（pL）之间交替来测试需求的价格弹性，并设定一个低价格（折扣）的时间份额。实验可以用一个水平的马虎γi∈[0,1]来表征。在一小部分时间里，分析师没有监控该公司的员工，也没有仔细监督员工随机统一选择折扣时间。因此，例如，fiengrm的员工可能会在需求较低的日子里实施折扣，这可能是因为员工在这些日子里有更多的空闲时间来处理发布的价格。在其余时间(1-γIFRaction)，分析证明价格是随机设置的。因此，当任何一个分析师随机统一设定价格时，投资者的价格之间不会有相关性。这意味着时间的1-γγ分数。在剩余的γγ部分时间里，可能存在着它们的价格之间的相关关系，我们用ρ来表示。在相关系数ρ、分数γ的条件下，价格的联合分布，γ如表4所示。PLPHPLμLL=μL+μL(1-μL)γγρμLH=μL(1-μL)(1-γγρ)PHμHL=μL(1-μL)(1-γγρ)μHH=(1-μL)+μL(1-μL)γγρ，表4：相关系数ρa nd分数γ的价格联合分布，γ当计算需求的价格弹性t o决定如何改变价格时，分析师计算:ηi=-qiqipipi(c.1)其中qi是高价格时期和低价格时期的平均需求的最差值，Qii是平均已实现的需求，pi=pH-pLi是高、低价格期间的价格差异，和pi=μLPL+(1-μL)pHis平均价格。当设置价格pi时，和当竞争对手设置价格p-ii时，firirm i观察到的需求是Qi(pi，p-i)=ai-bipi+cip-i。使用Ta ble4中的联合概率，我们发现Qi=a-(b-c)(μLPL+(1-μl)pH)和Qi=-(pH-pl)(b-cγγρ)。插入(c.1)中，firirm i将估计其价格弹性为:ηi=(b-cγγρ)(μLPL+pH(1-μl))a-(b-c)(μLPL+pH(1-μl))(μLPL+pH(1-μl))L))，(c.2)，而真实弹性为ηTI=b(μLPL+pH(1-μL))a-(b+c)(μLPL+pH(1-μL))。

因此，当c>0和ρ>0时，分析师将估计该公司的价格弹性低于ηti，在广告竞争中c2偏差αi>1。假设该公司在t时的销售额按照线性模型salest=μ+xt+θt，其中μ为平均销售额，xtis广告水平，可以是XH>XL≥0的xLor XH，需求冲击分布为I.I.D N(0,1）.在这个模型中，广告的真正E-ect,d（salest）dxtequals 1.figurrm有一个销售目标μ，其广告策略是将广告增加到xt+1=xHif销售额低于μat t ime t,即，如果Salest<μ，否则setxt+1=xl.为了估计广告的Ect,当广告增加或减少时（否则变化不能与广告的变化有关），figuryrm查看销售额的情况，并取平均值计算[i.salest]@x=e[salest+1-salestxt+1=xH,xt=xl]xh-xl+e[salest+1-salestxt+1=xl,xt=xH]xl-xh(c.3)更复杂的方法可以考虑这些估计的加权平均值，也可以考虑广告不变时的基线销售额。求和的左手部分等于:e[salest+1-salestxt+1=xH，XT=xL]XH–xL=μ+XH+E[1 T+1]–(μ+xL+E[3 T EST<μ])XH–xL==μ+XH–μ+xL–φ(–xL)Φ(–xL)XH–xL=1+φ(–xL)Φ(–xL)XH–xL>1，其中φ(·)为标准正常pdf和Φ(·)为CDF。右边的partequals:E[salest+1-salestxt+1=xL,xt=xH]xl-xh=μ+xL+e[ut+1]-(μ+xH+e[utsalest≥μ])xl-xh=μ+xl-μ+xh-φ(-xH)1-Φ(-xH)xl-xh=1-Φ(-xH)Φ(xH)xh-xl<1因为φ(x)Φ(x)在x中是递减的，所以(c.3)分子中的和大于than2，这导致了对其广告的e有效性的高估。d Techn i cal Proo fsd.1证明假设(α*，x*)是一个朴素的分析平衡，x*i/∈XSLIα*-i。x*i/∈XSLIα*-i这一事实意味着存在x′i∈Xi和x′i，α*-i-平衡x′，使得πi(x′)>πi(x′)。设α′i∈A是满足dπα′ii(x′)dxi=0和dπα′ii(x′)dxi<0的偏置（由于第4项的第（2）部分，这样的α′存在）。thenx′是α′i，α*-i-平衡，它满足πi(x′)>πi(x*)，这与(α*，x*)是一个朴素分析平衡相矛盾。其次，相反地假设x′是一个α*-平衡，x*i∈XSLIα*-i在玩家i中，and(α*，x*)不是一个朴素分析平衡。最后一个假设意味着存在i∈N，偏置α′i，α′i，α′-i-平衡x′s.t。πi(x′)>πi(x′).观察到x′是x′i，α′-i-平衡。πi(x′)>πi(x*)的事实与xi(α*)∈XSLi(α-i)的假设相矛盾。D.2命题4（策略互补）引理1。设γ是一个博弈假设1-4。设X*是一个策略方案，满足SGN X*i-bri X*-i∈NSGN DπIDXJ,对于每个i∈N为0O,对于某个k∈N为SGN X*K-bri X*-K6=0.当存在Nash方程xNE时，SGN X*i-Xnei=SGN DπJDXI,对于每个i∈N为SGN DπJDXI。我们首先给出一个稍弱的性质，即存在纳什平衡xNE，使得sgn x*i-xnei=nsgn dπjdxi,0o对于每个i∈n。对反向y假设存在一个博弈方j，对于每一个纳什均衡xne，其s gn x*j-xnej=-sgn dπjdxi。考虑一个类似于G的辅助对策，除了每个玩家i被限制选择一个策略xisatisfyingsgn(x*i-xi)∈nsgndπidxj，0o。由于凹性（假设3)，博弈分级为纯纳什均衡，我们用XRE表示。结果表明：对于每一个Na sh平衡xne，均为sgn x*j-xrej∈nsgn dπidxj，0o,而sgn x*j-xnej=-sgn dπjdxi。这是由于sgn x*j-xnej=-sgn dπjdxi不符合原ga me G的Nash平衡。

这意味着存在一个博弈方i,其中xrei=x*i，且SGN x*i-bri xre-i=-SGN dπidxj,这与SGN x*i-bri x*-i,SGN bri x*-i-bri xre-i∈nSGN dπidxj,0o相矛盾（其中后一个包含是由策略补偿和SGN x*-i-xre-i∈nSGN dπidxj,0o的事实所暗示的）。接下来，我们证明了SGN x*i-xnei=SGN dπjdxi foreach i的稍强的性质，即SGN x*i-xnei=SGN dπjdxi相反，假设存在一个博弈者j，对于每个纳什均衡xne，其sgn x*j-xnej=n-sgn dπidxj，0o。由于在上面提出的论点，gn x*i-xnei=nsgn dπjdxi，0o，对于每个i∈n。这意味着x*j=xnejandsgn brj x*-j-brj xne-j=sgn brj x*-j-xnej=(Sgndπjdxi！，0)由于战略互补。最后，证明了SGN xutj-bri xutj-j=SGN dπjdxi意味着SGN xutj-xnej=SGN dπjdxi的矛盾。引理2。设γ是一个满足假设1-6的对策。设x是α-eq uili b rium，设x′是αj，α′-j-平衡。Th en sgn(XJ-BRJ(X-J))=sgn X\'J-BRJ X\'-J。证明。x(resp.,x\')是α-平衡(resp.,αj,α\'-J-平衡）这一事实意味着dπαjj(x)dxj=0（resp.,dπαjj(x\')dxj=0)。这又意味着，由于对dqαjjdxj，假设2-3为αj·dπj(x)dxj·πj(x)xj>0（另外，αj·dπj(x′)dxj·πj(x′)xj>0)。将这些不等式结合在一起就得到了sgn dπj(x)dxj=sgn dπj(x′)dxjdueto假设2,这意味着sgn(xj-brj(x-j))=sgn x′j-brjx′-j由于假设3。4 f或策略替代的情况（第（1）部分在正文和前面的引理中得到证明）。推论1意味着对于每个i∈N,SGN xéi-brixé-i=-SGN dπidxj。我们现在证明了对于每个Nash均衡xne，存在玩家i∈N,使得SGN xéi-xnei=-SGN dπjdxi。固定任意玩家j∈N。相反地，对于每个玩家i假定s gn x*i-xnei=sgn dπjdxi。这意味着（由于强有力的战略替代品）sgn bri x*-j-brj xne-j=-sgn dπidxj，这反过来又意味着-sgn dπidxj=sgn x*j-brj xne-j=sgn x*j-xnej，我们得到了一个矛盾。其次，xNEand X*都是对称的。profections和上述论点的对称性意味着sgn x*i-xnei=-sgn dπjdxi对于每个参与者i∈n。这意味着πi(x*)<πi x*i，xne-i≤πi xne，其中fifrst（第二）不等式是由于单调外部性（resp.，xne是纳什均衡）。D.3命题5的证明（Pr冰竞争yen假设1-6）以下三个引理将有助于证明命题5。引理3。价格竞争γ证明了任意α∈r++存在唯一的α-均衡。payo函数的鲁棒凹性（如下所证明）意味着任何α-平衡都完全由FOC0=dπαiidxi=qi+αi(bi-ciwi)xi=ai-(bi+αi(bi-ciwi)xi+ci+αi(bi-ciwi)，(d.1)将每个第i个方程乘以wi，并将n个方程求和得到x=xi∈nwi(ai+ci_x)bi+αi(bi-ciwi)(d.2)，这是一个线性的单变量方程，得到唯一的解xα，通过在(d.1)中代入x=xα，得到唯一的α-平衡xα。当取代α=-→1时，这意味着存在唯一的纳什均衡，我们用xne来表示。引理4。假定brαi(x-i)=aαi+bαiipj6=iwjxj,aαi>0,bαi∈(0,1）对于每个玩家i∈N和每个αi∈A,让xi=aαii,xi=maxi∈NAαii+1-maxi∈Nbαii,则brαixα-i,brαixα-i∈(xαi,xαi).BRαII(x-i)，BRαII(x-i)>AαII=xαi是直接的。其次观察brαII(x-i)，BrαII(x-i)≤aαII+bαiimaxi∈NaαII+à1-maxi∈NbαII！≤maxi∈NaαII+bαi+1-maxi∈NbαII！maxi∈NaαII(1-maxi∈NbαII)+bαii∈NaαII+bαII[1-maxi∈NbαII<maxi∈NaαII+[1-maxi]NbαII=xi。引理5。设brαi(x-i)=aαi-bαiipj6=iwjxj,aαi>0,bαi∈(0,1）foreach棋子i∈N a nd,设xαi=mini∈N(aαi(1-bαi)),xαi=aαii,则brαixα-i,brαixα-i∈(xαi,xαi).

BrαII(x-i)，BrαII(x-i)<aαII=xαII是直接的。接着观察brαII(x-i)，brαII(x-i)≥aαII-bαIIaαII=(1-bαII)aαII≥mini∈n(AαII(1-bαII))=xαII。假设1:DπIDXJ=DπIDQIDQIDXJ=XIDQIDXJ=XIWJCI§sgn DπIDXJ=sgn(ci)。假设2:(1)πi xi=qi>0，和(2)πi qi qi xi=-xi·（bi-wici）<0.3。假设3\':（这意味着稳健凹性的假设3):(1)DDXiπi Xi=DQIDXi=-(Bi-WICI)<0，和(2)DDXiπi Qi·Qi Xi=DDXi(-Xi(Bi-WICI))=-(Bi-WICI)<0.4。假设4\':(1)ddxjπi xi=ddxj(qi)=wjci，(2)ddxjπi qi qi xi=ddxj(xi·(wici-b))=0.5。假设5（有界感知最佳回答）：对于每一个玩家i∈N和αi>0:0=dπαi(x)dxi0=πi xi+αiπi qi·qi=qi-αixi(bi-wici)=ai-bi-wici)(1+αi)(bi-wici)xi=ai+cixj6=iwjxj(1+αi)(bi-wici)。(d)3)如果ci>0，则设=maxi∈nai(1+αi)(bi-wici)+à1-maxi∈nci(1+αi)(bi-wici)，Lemma4表明假设5成立。如果ci<0，则letxαi=mini∈Nai(1+αi)(bi-wici)1-ci(1+αi)(bi-wici)！！，xαi=ai(1+αi)(bi-wici)，且Lemma5表示假设5成立。假设6（一致的二次适应）：假设是琐碎的IFCI>0。假定CI<0。设α∈AN。i∈N和xi∈XI。设x是α-平衡。x是一个α-平衡的事实意味着，对于每个j∈n:brαjj(xi,x-i)=aj+cjpk6=jwkxk+cjwi(xi-xi)(1+αj)(bj-wjcj)=xj+cjwi(xi-xi)(1+αj)(bj-wjcj)。二次适应与原始适应I[sgnxj6=ibrαjj(xi,x-i)+xi-xjxj=sgn(xi-xi)xj6=i brαjj(xi,x-xi)xj6=i brαjj(xi,x-i)xj6=i brαjj(xi,<(xi-xi)wixj6=icj(xi-xi)(1+αj)(bj-wjcj)<(xi-xi)wixj6=icj(1+αj)(bj-wjcj)<wi，由于假定pj6=icjbj+wjcj<wi而始终成立。命题3意味着α*i<1（部分（1））。如果CI>0，第（2）和（3）部分立即从Propo sition4中隐含出来。当CI<0.eq时，我们只剩下证明部分（2）和（3）。(D.2)意味着x是0=f((x，α)xi∈nwi(ai+ci_x)bi+αi(bi-ciwi)-x的唯一解。注意tf（x,α)在两个参数中都在减小，这意味着增加α会使唯一x满足f（x,α)=0。因此，在每个αi中x(α)是递减的，这意味着（由于方程(d.1)）在每个αi中每个xjis是递减的。对于每一个i来说α_i<1，这一事实意味着Pa r t(2):x_i>xnei。最后，第（3）部分由πi(x~)<πix~i，xne~i<πix~ne，其中，不等式是由于正外部性和x~i>xnei，而该不等式是由xnei是xne~i唯一的最佳回答而隐含的。D.4命题7（对称寡头垄断）的证明一个类似于Lemma3的论证暗示对于每个xi∈xi，α-i)-平衡点存在唯一的(xi，α-i)-平衡点。设x是一个(xi，α-i)-平衡，其中所有的参数都具有相同的偏置水平（即，αj-αk，对于每个j，k6=i)。方程(D.3)意味着对于每个j6=i:xj=brαjj(x-j)=aj+cjpk6=jnxk(1+αj)bj-ncj=a+～cpk6=jxk(1+αj)～b，其中我们通过具有～c=cjnand～b=bj-cjn来简化符号。根据对称性，xj=xk，对于每个j，k6=i。这意味着XJ=A+～C((n-2)XJ+xi)(1+αJ)～BXJ=A+～CXI(1+αJ)～B-～C(N-2)。这意味着XJ xi，α＇-I=A+～CXI1+α＇J～b-～C(N-2)'ADXJ XI，α＇-i dxi=1+α＇j～b～c-(n-2)，其中，反过来，暗示由于索赔1 t hat x*j必须满足α*j-1=xj6=idxj xi，α:/-i DXI·齐XJ齐c～b～c^aα*j～b～c,n！=n-2+r(n-2)-4(n-1)-4～b～c n-2-～b～c～b～c.可以简单地验证αutj～b～c,n在两个参数中都在增加，并且limn→∞αuti～b～c,n=limbc→∞αuti～b～c,n=1。

~b～c=b-cncn=nbc-1是n和bc的增函数，这一事实意味着α~ibc，n在两个参数中都在增加，并且limn→∞α~ibc，n=limbc→∞α~ibc，n=1进一步观察到(D.3)意味着对称的NAE和NE价格是x~j=a(1+α)b-c1+αn,xnej=a2b-1+nc。(D.5)D.5提案8（广告竞争）引理6的证明。本文证明了r++中任意α∈r++的一个唯一的α-均衡。payo函数的鲁棒凹陷性（见下文证明）意味着任何α-平衡都完全由FOC0=dπαiidxi=piαiBi+ci√x-i+ci√x-i，(d.6)替换√x-i=p-iα-bi+cip-iα-ib-i+c-i√xixi(α)=piαi(2bi+cip-iα-ib-i)4-pip-iαiα-icic-i！(d.7)当替换α=-→1时，这意味着a存在唯一的纳什均衡:xnei=pi(2bi+cip-ib-i)4-pip-icic-i。我们首先说明：我们符合假设1-6：1。假设1:DπIDx-i=DπIDQIDQIDx-i=PIDQIDx-i=PICI√XI√x-iyensgn DπIDx-i=sgn(ci).2。假设2:(1)πi xi=-1<0，和(2)πi qi qi xi=pi bi+ci√x-i√xi>0，其中不等式是由ci>0或x-i≤m-i=bici.3的假设隐含的。假设3\'（这意味着稳健凹性的假设3):(1)DDXiπi xi=0,(2)DDXiπi qi·qixi=DDXi pi bi+ci√x-i√xi<0.4。假设4\':(1)DDx-Iπi XI=DDx-I(-1)=0,（2）DDx-I BI+CI√x-I√XI=CI√XI√x-I.5。假设5：对于每一个玩家i∈N和αi>0:0=dπαiidxi=piαiBi+ci√x-i√xi-1^aqbrαi(x-i)=piαiBi+ci√x-i，如果ci>0，则一个类似的参数t o引理4（其中qbrαi(x-i)和√x-i代替brαii(x-i)和x-i)暗示假设5是关于任何一个>0和xαi=piαiBi！，xαi=maxi∈npiαiBi+1-maxi∈npiαiCi，如果ci<0，则Lemma4暗示假设5是satition，如果ci<0，则关于。xαi=mini∈npiαiBi1-piαiCi！！，xαi=piαiBi！。假设6（一致的二次适应）：假设在有两个游戏者的情况下是微不足道的。接下来，我们证明第（1）部分（由于命题4而暗示了第（2-3）部分）。求EQ的导数。(D.6)意味着atdx-i（xi,α*-i）dxi=√x-i√xiα*-ip-ic-i。Qi x-i=ci√xi√x-i，以及Qi x-i=2α*ipi是立即的。因此，权利要求2意味着x*iMust满足α*i-1=*x-i-xiα*-ip-ic-ici√xi2α*ipi*x-i=α*α*ppcc。(D.8)观察当交换i a nd j时(D.8)的RHS保持不变。这意味着α*jandα*imust是相等的。一元二次方程有两个解:α=α=1+√1-CCPP∈(1,2）和α=α=1-√1-CCPP>2,很容易证明只有解α=α=α=满足命题（团队生产）1的SOC.D.6证明。假设1（单调外部性）:dπidx-i=dπidqidqidx-i=dqidx-i>0.2。假设2:(1)πi xi=-1<0，和(2)πi qi qi xi=qi xi>0.3。假设3\'（包含鲁棒凹性假设3):(1)ddxiπi xi=0,(2)ddxiπi qi·qixi=ddxi qixi=dqidxi<0.4。假设4\':(1)ddxjπi xi=ddxj(-1)=0,(2)ddxjπi qi qi xi=ddxj qi xi=dqidxidxj>0.5。假设5（有界感知最佳回答）：固定偏差profoyleα∈AN。Foreach博弈者i∈N，设zibe为有偏博弈者i所感知的等于1的真需求灵敏度，即qαii xi(zi)=1。由于假设8，存在对称性xα<<xα，使得对于每个玩家i∈N:dqi(xα)dxi<zi<dqi(xα)dxi<1<dqαii(xα)dxiàdπαii(xα)dxi<0<dπαii(xα)dxiàbrαi(xα),brαi(xα)∈(xα,xα).假设6是微不足道的，因为有战略互补。D.7命题10（市场结构分析）的证明附录D.4表明，在NAE中，合并前的均衡偏差为αprei～b～c，n！=n-2+r(n-2)-4(n-1)-4～b～c n-2-～b～c～b～c～c=c+√c-36bc+36b6b-2cfor n=3，～b=b-cnand～c=c，导致价格xprei=a(1+α^)b-c(1+α^n)=3a3b(1+α^)-c(+α^n)=3a3b(1+α^)3+α:/)=6 A√36 byen36 BC+C+6 byen5 C。标准分析表明，当参数s为πmci=(xmci-mci)qithenbri(xmc-i)=a+～b·mci+～cpj6=ixmcj～b时，t为t。

在对称纳什均衡中，假设所有产品具有相同的边际成本，我们可以将条件xmci=BRi(xmc-i)归纳为接收xmc=a+～b·MCI+～c(n-1)xmc～byenxmc=a+～b·MC～b-(N-1)～c。通过求解xpre=xmc，经济学家估计边际成本asmci=3 a 6 b-3c-√36 b-36 bc+c(3b-c)√36 b-36 bc+c+6b-5c，当b>c且a>0时，边际成本总是为正值。当产品2和3合并时，由于对商品2和3的需求是对称的，我们可以假设它们将设定相同的价格xpostfor两种产品。接合部figurrm\'strue payo值将为πpost=xpost(q+q)，而figurrm1保持相同的payo值，在（5.1）中产生权重w=1/3和w=2/3。命题（6）表明，对于双寡头，长期唯一NAE产生的偏差为αpost=αpost=q1-2c(3b-c)(3b-2c)，与αpre相比，我们发现αpre>αpostc>0。将隐函数定理应用于(D.2),设g=pi∈nwi(Ai+ci_x)bi+α(bi-ci_wi)-x,thend xdα=-gαgd_x。由于bi>wici,ai>0,且x≥0,则-gdα=pi∈n(bi-ciwi)wi(ai+ci_x)(bi+α(bi-c))+α(2+α)wwcc(b+(b-c))α)<0,而gd_x=-(1+α)(bw(b-c)+bw(b-cw)α)(b+(b-cw)α)(b+(b-cw)α)<0。因此，αpre>αpostimplies当经济学家预测合并后的价格时，假设合并后的价格为πmc=(xmc-mc)(q+q)，而合并前的价格函数与合并前的价格函数相同，所得均衡价格ar exmc,post=a c√36 b-36bc+c-5 c-144bc+108b+54 bc(3b-c)(6 b-6bc+c）√36 b-36bc+c+6b-5c,xmc,post=a c√36 b-36 bc+c+6 b-6bc+c）√36 b-36bc+c+6b-5c.di-erence xpost(αpre)-xmc,post=a(3b-2c）594 bc+126 bc-108 bc-48 bc+7 c 8bc+13c-(3b-c)(6b-6bc+c)(18b-18bc+5c)√36b-36bc+c+6b-5c，当b>c>0时为正，如Mathematica软件所示（代码在补充应用程序endix中）。同样，xpost(αPRE)–xmc，POST=2 AC 17 c–144BC+108B+15 BC–18B–15BC+c–36BC+c–6BC+c+6B–6B–5c+c+7c–12B)–36B–36BC+c–72B+90BC–23c也是Mathematica软件（代码在补充附录中）规定的。