一旦我们得到bβ，我们就可以用分块逆公式估计条目θε。算法1中总结了获得稀疏的θε的过程。算法1图形化Lasso，Friedman等人。(2008)，自适应1：初始化wε=b∑ε+λi。wε的对角线保持不变。2:j=1重复。..,p,1,....,p....直到收敛:o将wε划分为第1部分：除第j行和第j列以外的所有部分；第2部分：第j行和第j列。o使用循环坐标下降法求解得分方程:wε,11β-bσε,12+λ·符号(β)=0。这给出了一个(p-1)×1向量解bβ.oUpdateBwε，12=wε，11bβ.3:如Friedman等人所示，在i=1,...,p）循环中，求解bθ=wε，22-bβbwε，12和bθ=-bθbβ。（2008）和Mazumder and Hastie(2012)的后续论文中，由图形Lasso产生的估计量被保证是正的。注意Friedman等人开发的原始算法。（2008）不适合在因子结构下，因此，在第4节中提供了对精度矩阵估计器的统计特性的单独处理。算法1涉及调整参数λ，在5.1小节中更详细地描述了如何选择收缩强度COE的过程。在估计因子、因子负荷和特质成分的精度矩阵的基础上，我们利用Sherman-Morrison-Woodbury公式将它们结合起来，估计超额收益的精度矩阵:bθ=bθε-bθεbb[bθf+bbbθεbb]-1bbbθε。（3.6）我们将上述过程称为因子图形Lasso(FGL)，并在算法2中对其进行了总结。算法2因子图形Lasso1:FM估计ebftandbbi（定理1）。getbεt=rt-bbbft,b∑ε,b∑fandbθf=b∑-1f.2:(GL)使用算法1 getbθε。（定理2)3:FGL)用bθε，bθfandbbi从步骤1-2得到方程（3.6）中的bθ。（定理3)4:用bθ来getbwζ,ζ={GMV,MWC,MRC}。（定理4)5:用b∑=bθ-1和bwζ得到投资组合的暴露surebwζb∑bwζ。（定理5）正如我们在讨论算法1时所指出的，由图的Lassoin一般，特别是FGL所产生的估计量是正的。我们在实验和实证应用中对其进行了验证。在第4节中，给出了算法2所示的因子和负荷（定理1)、精度矩阵ε（定理2)、精度矩阵θ（定理3)、投资组合权重（定理4）和投资组合风险暴露（定理5）的估计量的相合性。我们可以用算法2的步骤4从（3.6）中得到的bθ来估计(2.2)、(2.3)和（2.10）中的投资组合权重：注1。在实践中，公因子K的数目是未知的，需要估计。标准和常用的方法之一是以数据驱动的方式确定K（Baiand Ng(2002)；Kapetanios(2010))。作为一个例子，在他们的论文Fan等人。（2013）采用Bai and Ng(2002)的方法。然而，上述所有论文都涉及到了一定数量的因素。因此，我们需要采用一个di-whited erent标准，因为在我们的设置中，K是允许增长的。为此，我们采用了李等人的方法。(2017):当K需要估计时，设bi，Kand ft,KdenoteK×1向量的载荷和因子，且BKI是堆叠bi，K的p×K矩阵。defunneV(K)=minBK，FKPTPXI=1TXT=1RIT-√KBI,Kft,K,(3.7)，其中最小值取自1≤K≤Kmax，需进行归一化BKBK/P=IK。因此，*fk=√krbk/p。defunnebfk=/fk(.fk/t)1/2，这是因子的重标估计值，用于确定K随样本量增长时因子的数量。然后我们应用Li等人描述的以下程序。（2017）估计K:BK=arg min1≤K≤kmaxln(V(K,fk))+Kg(p,T）,(3.8)其中1≤K≤kmax=o(min{p1/17,t1/16}）且g(p,T）是(p，T)的罚函数，使得(i)kmax·g(p,T)→0和(ii)c-1p,T,kmax·g(p,T)→∞,Cp,T,kmax=op maxhkmax√p,k5/2 max√ti。罚函数的选择类似于Bai和Ng(2002)。

在整篇论文中，我们都是（3.8）的解。4渐近性质在这一节中，我们简要回顾了关于图形模型的文献中使用的术语和估计精度矩阵的方法。在此基础上，建立了算法2中因子图形套索的一致性。我们还研究了(2.2)、(2.3)和（2.10）中权重估计量的相合性及其对样本外夏普比的影响。（2001）和Bishop(2006)。图由一组顶点（节点）和一组连接某些对顶点的边（弧）组成。在图形模型中，每个顶点代表一个随机变量，图形可视化整个随机变量集的联合分布。图中的边是由位势（值）参数化的，位势（值）编码了相应顶点上随机变量之间的条件依赖强度。稀疏图的边数相对较少，使用稀疏图模型的主要挑战是图的结构选择（模型选择）和从数据中估计边参数。对于j=1，对以下集合进行修改。..,p:dj(A){i:aij6=0,i6=j},dj(A)card(dj(A)),d(A)maxj=1,...,pdj(A)，(4.1)其中dj(A)是与顶点j相邻的边数（即顶点j的度）,d(A)度量最大顶点度。definne S(A)spj=1dj(A)是总的对角稀疏性模式，而S(A)ppj=1dj(A)是图中包含的边的总数。注意card(S(A))≤S(A):当S(A)=p(p-1)/2时，这将给出一个完全连通的图。4.1假设我们现在列出模型(3.1):(A.1)（尖峰协方差模型）的假设为p→∞,λ(∑)>λ(∑)>。.>λk(∑)λk+1(∑)≥..≥λp(∑)≥0,其中λj(∑)=O(p)对于j≤K,当非尖峰特征值有界时，λj(∑)=O(p)对于j>K。(a.2)（普适因子）存在一个正的K×K矩阵B，使得p-1bb-b→0和λmin(b)-1=O(1)为p→∞。(a.3)(a){εt,ft}t≥1是严格平稳的。(b)存在常数c,c>0,使得λmin(∑ε)>c,∑ε<cand mini≤p,j≤pvar(εitεjt)>c。(c)存在r,r>0和b,b>0,使得对于任意s>0,i≤p,j≤K,Pr(εit>s)≤exp{-(s/b)r},Pr(fjt>s)≤exp{-s/b)r}。设f-∞和f∞分别表示{（ft,εt):t≤0}和{（ft,εt):t≥t}生成的σ-代数。给出了混合coe-cientα(T)=supa∈f-∞,B∈f∞tpr A Pr b-pr ab.(4.2)(a.4)（强混合）存在R>0，使得3r-1+1.5r-1+3r-1>1,且C>0满足，对于所有T∈Z+,α(T)≤exp(-CTR)。(a.5)（正则性条件）存在M>0，使得对于所有i≤p，T≤T和s≤T,即:(a)kbikmax<M(b)eut-p-1/2{εsεt-e[εsεT]}<M和(C)ehp-1/2ppi=1biεIt<km。假设(A.1)(A.4)与Fan et al中相同。(2013)，并对假设(A.5)进行了修改，以考虑到越来越多的因素。假设(A.1)将特征值分为发散特征值和有界特征值。在不丧失一般性的前提下，我们假定K个最大特征值的重数为1。尖峰协方差模型的假设在近似因子模型的文献中是常见的。然而，我们注意到本文所研究的模型可以被描述为“veryspiked模型”。换句话说，K特征值和其余特征值之间的差距随着p的增加而增加。正如Fan等人所指出的。(2018)，(a.1)典型地被带有普遍因素的因素模型所充分利用，这就给我们带来了假设(a.2):因素影响单个时间序列的比例不变。

在第五节的最后，我们讨论了当扩散性假设放松时，即当发散特征值和有界特征值之间的间隙减小时，用FGL构造的投资组合的敏感性。假设(a.3)(a)比Bai(2003)稍强，因为它要求{εt}和{ft}之间具有严格的平稳性和非相关性，以简化技术计算。在(A.3)(b)中，我们要求∑ε<c，而不是λmax(∑ε)=O(1)来一致估计K。当K为已知时，如在Fan等人中。（2011年）；小池(2020)，这个条件可以放宽。(A.3)(c)要求指数型尾将大偏差理论应用于(1/t)PTT=1εitεjt-σu,ijand(1/t)PTT=1fjtuit。然而，在4.6小节中，我们讨论了我们的结果对具有椭圆分布族的设置的扩展，这更适合于更广泛的应用。具体地，我们讨论了对收益方差矩阵的初始估计量的适当调整，以使本文导出的界继续成立。(A.4)(A.5)是一致估计公因子和负荷所需的技术条件。由于我们的目标是估计一个精确矩阵，所以条件(a.5)(a-b)比Bai(2003)弱，而Bai(2003)和Bai and Ng(2006)的条件(a.5)(c)，假设因子数随p缓慢增长。此外，还对总体数量作了以下结构假设:(b.1)k∑kmax=O(1)，Kbkmax=O(1)，Kmk∞=O(1)，θε的稀疏性受确定性序列sTand:s(θε)=Op(sT)控制，对于某个序列sT∈(0，∞)，T=1,2,，。对于某些序列dT∈(0,∞）,T=1,2,，d(θε)=Op(dT)。...我们将限制DT的增长速度。注意ondtar的假设较弱，因为它们总是在st=dt时被充分利用。然而，dTcan通常比ST小。与Fan等人形成对比。（2013）我们不对特质成分的协方差矩阵施加稀疏性，相反，在考虑了公共因素后，对精度矩阵施加条件稀疏性对投资组合分析中的误差量化更为现实和相关。4.2 FGL过程实现了（3.3）中加权图形Lasso估计器对特质成分精度矩阵的识别。另外，回想一下，为了估计θ我们使用了等式（3.6）。因此，为了得到FGL估计Bθ，我们采取以下步骤：（1）：估计未知因子和因子负载，得到∑ε的估计量。(2):在（3.3）中用b∑ε得到了θε的一个估计量。（3）：将bθε与步骤1中的因子和因子负荷的估计量一起使用，得到精确矩阵估计Bθ、投资组合权重估计Bwζ和风险暴露估计BΦζ=Bwζbθ-1Bwζ,其中ζ={GMV,MWC,MRC}。第4.3小节研究了这一步骤的理论基础，第4.4-4.5小节专门讨论步骤2和3.4.3未知因子和负荷的收敛性，正如Bai(2003)和Fan等人所指出的那样。(2013)，K×1维因子加载{bi}pi=1（因子加载矩阵B的行）和K×1维公因式因子{ft}tt=1（因子加载矩阵F的列）不能单独识别。具体地说，对于任何K×K矩阵HH=IK，BFT=BHHft，我们不能从(BH，Hft)中识别元组(B，ft)。LetbK∈{1,...,Kmax}表示因子的估计数，其中Kmax允许以比min{p,T}慢的速度增加，使得Kmax=o（min{p1/3,T}）（关于速率的讨论见Li et al.(2017)）。进一步，求abK×BK矩阵H=(1/t)V-1BFFBB。对于t≤t，hft=t-1v-1bf(Bf,..,BfT)BfT，它仅取决于数据v-1bff和参数{BfT}tt=1的一部分。

因此，无论所施加的identi可寻性条件如何，HFT都不存在identi可寻性问题。设γ-1=3r-1+1.5r-1+r-1+1。下面的定理是Fanet al中结果的推广。（2013）对于因子数未知且允许增长的情况。所有定理的证明见附录A。定理1。假定Kmax=o(min{p1/3,T}）,Klog p=o(Tγ/6),KT=o(p)和假设(A.1)-(A.5)和(B.1)成立。设ω1tk3/2plog p/t+k/√p和ω2tk/√t+kt1/4/√p。然后，maxi≤p bbi-hbi=OP(ω1t)和maxt≤t bft-hft=OP(ω2t),条件Klog p=o(tγ/6),KT=o(p)与Fan等相似。(2013)，由于我们没有计算K，因此，除了因子负荷外，还有其他因子需要估计。因此，由未知生长因子引入的参数数目不应“太多”，以便我们能够一致地统一估计它们。因子数的增长速度受Kmax=o(min{p1/3,T}）控制，定理1中导出的界帮助我们建立了下一个定理：定理2中给出的估计协方差B∑ε和精度矩阵Bθε的收敛性质。设ω3tKplog p/t+k/√p。在定理1的假设下，在λω3t（其中λ是（3.3）中的调谐参数）下，用（3.2）中的因子模型估计B∑ε，得到了B∑ε-∑εmax=OP(ω3t)。设%tbe是一个正值随机变量序列，使得%–1tω3tp–→0。如果st%tp-→0，则bθε-θεL=OP(%TST)为T→∞对于anyl∈[1,∞]。注意包含k/√p的项是由于需要估计未知因子而产生的：Fanet al.（2011）得到了类似的比率，但对于可观察因素的情况（在他们的工作中，ω3t=k1/2plog p/t)。定理2的第二部分是基于Jankov\'a andvan de Geer(2018)中建立的估计协方差的收敛率与精度矩阵之间的关系（定理14.1.3）。Koike(2020)得到了因子可观测时的收敛速度：由于因子需要估计，本文得到的收敛速度较慢（具体来说，可观测因子下的收敛速度满足%-1 TPK log p/tp-→0)。Wenow对定理2中速率的最优性进行了评述：正如Koike(2020)所指出的，在无因子结构的标准高斯条件下，极大极小最优速率为d(θε)plog p/t，如果d(θε)<st,则其速度可以快于定理2中得到的速率。使用惩罚nodewiseregression可以帮助实现这一更快的速度。然而，我们对每月股票收益的实证应用表明，在样本外夏普比率和投资组合风险方面，加权图形套索比传统回归具有更好的性能。4.精确度矩阵估计量与投资组合权重的收敛性在建立了B∑ε和Bθε的收敛性后，我们转到方程（3.6）中因子调整收益的精确度矩阵的估计上。定理3。在定理2的假设下，如果dtst%tp-→0，则bθ-θ=OP(%tst)和bθ-θ=OP(%tdtk3/2st)。注意，由于通过构造使用因子图形lasso得到的精度矩阵是对称的，所以bθ-θ∞可以从上述定理中简单地得到。利用定理3，我们可以建立基于因子图形lasso的投资组合估计权重的一致性。定理4。在定理3的假设下，我们另外假设θ=O(1)（这一附加要求实质上在(a.1)中强加了λp(∑)>0)，并且%tdtst=O(1)。

算法2在(2.2)、(2.3)和（2.10）中一致地估计投资组合权重:KBWGMV-WGMVK=oP%TDTKST=oP(1)、KBWMWC–WMWCK=oP(%TDTKST)=oP(1)、KBWMRC–WMRCK=OP3/2TK·[%TST]1/2=oP(1)。（2019）对于GMV和MWC公式，当不假设股票收益率的因子结构时，需要(θ)3/2plog p/t=oP(1)，其中作者对股票收益率的精确矩阵进行了稀疏化，θ。因此，如果股票收益的精度矩阵不是稀疏的，只有当p小于t1/3时，才能一致地估计组合权重（因为需要(p-1)3/2plog p/t=o(1)才能保证组合权重的一致估计）。我们在定理4中的结果改进了这一率，并表明只要dTsTKplog p/t=oP(1)，我们就可以一致地估计投资组合的权重。具体地说，当因子调整收益的精确度稀疏时，我们可以在p>T时一致地估计组合权重，而不假设∑、θ上的稀疏性。其次，注意GMV和MWC权重的收敛速度略慢于MRC权重。这个结果在下一节的模拟中得到了进一步的支持。4.5对投资组合风险敞口的影响在研究了投资组合权重的性质后，自然要对投资组合方差估计误差进行评论。它由两个部分的误差决定：估计的协方差矩阵和估计的投资组合权重。取值a=lpθlp/p,b=lpθm/p,d=mθm/p,g=√mθm/p和ba=lpbθlp/p,bb=lpbθbm/p,bd=bmbθbm/p,bg=pbmbθbm/p。取ΦGMV=WGMV∑WGMV=(pa)-1为全局最小方差，ΦMWC=wMW C∑wMW C=P^a1 HATM-2B(R)+DAD-BII为MWC投资组合方差，ΦMRC=WMRC∑WMRC=σ(pg)为MRC投资组合方差。我们交替使用方差和风险暴露这两个术语。LetBΦGMV、BΦMWC和BΦMRCBE是各自投资组合方差的样本对应方。Fan等人导出了ΦGMV、ΦMWCs的表达式。（2008）和Callot等人。（2019年）。定理5建立了大投资组合方差估计的相合性。在定理3的假设下，FGL一致估计GMV、MWC和MRC组合方差:BΦGMV/ΦGMV-1=OP(%TDTSTK3/2)=OP(1)，BΦMWC/ΦMWC-1=OP(%TDTSTK3/2)=OP(1)，BΦMRC/ΦMRC-1=OP[%TDTSTK3/2]1/2=OP(1).（2019）在假设股票收益率的精度矩阵是稀疏的情况下，对ΦGMV、ΦMWCN也得到了类似的结果。还有，丁等人。（2021）在因子结构假设稀疏协方差矩阵和grossexposure约束的条件下给出了ΦGMV的界。第六节的实证应用表明，与GMV和MWC替代方案相比，使用MRC公式构造的投资组合具有更高的风险：使用S&P500指数成份股的月度和每日收益率，与替代方案相比，使用MRC公式构造的投资组合具有更高的样本外风险和收益。此外，实证结果表明，对于月度数据，MRC投资组合的高收益大于高风险，这从样本外夏普比的增加中得到了证明。4.6推广：亚高斯和椭圆分布到目前为止，定理4中因子图形套索的一致性依赖于(A.3)(c)中的指数型尾假设。由于这种尾部行为对投资组合的限制太大，我们对放松它的可能性发表评论。首先，回想一下以前使用(a.3)(c)的地方：我们需要这个假设来建立未知因子和加载定理1的收敛性，这个假设进一步被用来获得定理2中b∑ε的收敛性。因此，当假设(a.3)(c)放松时，人们需要寻找另一种方法来一致地估计∑ε。我们使用Fan等人开发的工具来实现它。（2018年）。

具体地说，设∑=∑λ，其中∑是遵循等式（3.1）中描述的因子结构的收益的协方差矩阵。定义B∑、Bλk、B^ak，是∑、λ、γ的估计量。我们进一步用B∑、BBBB=B^akB^akBK的前导经验特征值和相应的特征向量构造了BλK=diag(λ,...,λK)和B^aK=(V，...,Vk)。类似于Fan等人。(2018)，我们对估计量的分量极大值要求如下:(c.1)b∑-∑max=OP(plog p/T)，(c.2)(bλk-λ)λ-1max=OP(Kplog p/T)，(c.3)b∑k-ρmax=OP(k1/2plog p/(T p))。letb∑sgbe样本协方差矩阵，用b∑sgg的经验特征值和特征向量分别构造b∑sgkandbàsgk.另外，letb∑el1=bdbrbd，其中bris是用Kendall的tau相关coe cients得到的，而bd是用Huber损失构造的方差的稳健估计。此外，利用空间Kendall的tau估计得到了letb∑el2=bdbrbd。defunneBλelks是B∑EL 1的所有K个领先经验特征值的矩阵，而B^aelks是B∑EL 2的所有K个领先经验特征值的矩阵。关于构造B∑SG、B∑EL 1和B∑EL 2的更多细节，见Fan et al.(2018)，第3和4节。命题1。对于次高斯分布，B∑SG,BλSGKANDB'ASGKASSITCE(C.1)-(C.3),对于椭圆分布，B∑EL 1,BλELKANDB'AELKASSITCE(C.1)-(C.3),当(C.1)-(C.3)满足时，定理2-5中得到的界继续保持不变。命题1实质上是Fan等人的结果的改写。(2018)，第3、4节。当我们允许K增加时，就会产生di-in-erence,这在(c.2)-(c.3)中的修正率中得到反映。从上述命题可以看出，B∑EL 2仅用于估计特征向量。这是必要的，因为与B∑EL 2相比，B∑EL的本征向量的理论性质由于正弦函数而在数学上涉及。为了验证我们的理论结果，我们进行了几个仿真研究，分为四个部分。这组结果计算了经验收敛速度，并与定理3-5中导出的理论表达式进行了比较。第二组结果将FGL的性能与几种估计协方差和精度矩阵的替代模型进行了比较。为了突出使用因子结构信息而不是标准图形模型的优点，我们包括Friedman等人的图形套索。(2008)(GL)不考虑因素结构。为了探索（3.6）中用FGL进行误差量化的好处，我们考虑了（3.6）中的协方差/特征分量精度矩阵的几种替代估计：（1）由Ledoitand Wolf(2004)提出的协方差线性收缩估计，简称因子LW或FLW；(2)Ledoit和Wolf(2017)提出的协方差的非线性收缩估计（因子NLW或FNLW）；（3）诗人（范等人（2013））；(4)Clime（Cai et al.(2011))(Factor Climeor FClime）。此外，我们还发现，在某些情况下，诗人的协方差估计量不是正的。在这种情况下，我们使用Fan等人的矩阵对称化过程。（2018）然后像Callot等人那样使用特征值清洗。（2017）和Hautschet al（2012年）。这个估计者被称为投射诗人；当诗人的方差估计量为正时，它与诗人的方差估计量不谋而合。第三组结果检验了当因变量服从椭圆分布时FGL和稳健FGL的性能（在4.6小节中描述）。

第四组结果探讨了当Pervasiveness假设(A.2)放松时，即当发散特征值和有界特征值之间的差距减小时，用有限协方差和精度估计构造的投资组合的敏感性。本节中的所有练习都使用了100个蒙特卡罗模拟，我们将讨论算法1中（3.3）中调谐参数λ的选择。letbθε，λ是（3.3）的解。继Koike(2020)之后，我们利用网格搜索最小化了以下贝叶斯信息准则(BIC)：BIC(λ)Thtrace(bθε,λb∑ε)-log det(bθε,λ)i+(log T)xi≤jhbθε,λ,ij6=0i。（5.1）格网Gyen{λ,...,λm}是这样构造的：格网中的最大值λm是bθε，λmare的所有o-对角项为零的最小值，即b∑ε的o-对角项的最大模。当常数>0时，网格的最小值λ∈G是确定的。其余的网格值λ，...,λmare按对数标度从λ到λmon的升序构造:λi=exp log(λ)+i-1m-1log(λm/λ),i=2,。..,m-1。我们在模拟和经验练习中使用=ω3t，m=10。设p=Tδ,δ=0.85,K=2(log T)0.5,T=[2h],对h=7,7.5,8,...,9.5。构造了特殊成分的精确矩阵：利用随机图结构生成邻接矩阵。给出一个表示图的结构的p×p邻接矩阵aε:对于I6=j,aε，ij=1,概率q,0,否则。（5.2）设aε，ij表示邻接矩阵aε的第i,j个元素。我们设置aε，ij=aε，ji=1，对于i6=j，概率q；否则设置0。为了控制稀疏性，我们设置q=1/(Pt0.8)，使ST=O(t0.05)。邻接矩阵的对角线元素等于零。因此，为了得到一个正的计算精度矩阵，我们应用了Zhao等人所描述的方法。(2012):θε=aε·v+I(τ+0.1+u)，其中，u>0是一个正数加到精确矩阵的对角线上，以控制偏相关的强度，v控制与u的偏相关的大小，τ是aε·v的最小特征值。在我们的模拟中，我们使用u=0.1和v=0.3。假设因子具有以下结构:ft=φfft-1+ζt(5.3)rt{z}p×1=B ft{z}k×1+εt,t=1。.，T(5.4)其中，ε是N(0,∑ε)后面的特殊误差的p×1随机向量，稀疏的θε是上面描述的随机图结构，ftis是因子的K×1向量，φfs是因子中的自回归参数，为简单起见是标量，B是因子负荷的p×K矩阵，ζ是K×1随机向量，每个分量独立地跟随N(0,σζ）。为了在（5.4）中创建B，我们从p×p Toeplitz矩阵的Cholesky分解中取K行的上三角矩阵。对于这些结果，我们设置ρ=0.2，φf=0.2和σζ=1。（5.4）中的具体说明导致了股票收益率RT协方差的低秩加稀疏分解。作为一个初步练习，我们比较了精确矩阵、投资组合权重和风险敞口的经验和理论收敛速度。附录B.1提供了该过程和模拟结果的详细描述。我们发现定理3-5中的经验率和理论率是匹配的。作为第二个练习，我们将FGL的性能与本节开始时提出的替代模型进行比较。我们考虑两种情况：情况1与其他模拟结果相同(p<T):p=Tδ,δ=0.85,K=2(log T)0.5,ST=O(t0.05)。病例2在p>T时捕获病例，且p=3·Tδ，δ=0.85，其余均相等。病例2的结果在图13中报告，病例1在附录B.2中。

FGL在估计精度矩阵和组合权重的两种情况下都表现出优越的性能，在情况1和情况2的设置中都表现出一致性。此外，在估计投资组合风险方面，FGL优于GL，并一致地估计后者，然而，根据所考虑的情况，一些替代模型产生更低的平均误差。作为第三个练习，我们检验当因变量服从椭圆分布时，FGL和稳健FGL（在4.6小节中描述）的性能。附录B.3提供了数据生成过程(DGP)和仿真结果的详细描述。我们发现FGL估计精度矩阵的性能与RobustFGL的性能相当：这表明即使没有额外的改进，我们的FGL算法对重尾分布也是鲁棒的。作为一个有益的练习，我们探索了当普遍假设(a.2)放松时，使用双协方差和精度估计器构造的投资组合的敏感性。附录B.4给出了数据生成过程(DGP)的详细描述和仿真结果。我们验证了当发散特征值和有界特征值之间的差距减小时，FGL表现出鲁棒性能。相比之下，诗人和计划诗人对放松普遍假设最敏感，这与我们的经验结果以及Onatski(2013)的模拟结果一致。6经验应用在本节中，我们检验因子图形套索在使用每日数据构建投资组合时的性能。对月度数据的描述和实证结果可以在附录C中找到。我们描述了数据和估计方法，然后我们列出了在数据文献中通常报告的四个指标，并给出了结果。6.1数据使用标准普尔500指数成份股的每日回报。通过SAS接口从CRSP和Computstat中获取S&P500成份股和股票收益率的历史数据。对于每日数据，全样本量从2000年1月20日至2020年1月31日对420只股票进行了5040次观察。我们使用2000年1月20日-2002年1月24日（504个obs）作为训练（估计）周期，2002年1月25日-2020年1月31日（4536个obs）作为样本外测试周期。我们在测试样本上滚动估计窗口（训练期），以每月重新平衡投资组合。在每月末，在投资组合构建之前，我们删除历史股票回报数据少于2年的股票。我们检查因子图形套索在三个替代投资组合配置(2.2)、(2.3)和（2.10）中的性能，并将其与等权重投资组合(EW)、指数投资组合(index)、FClime、FLW、FNLW（在模拟中，我们使用替代协方差和精确估计器，通过谢尔曼-莫里森反演公式将因子结构纳入其中）、POER和投影POER进行比较。Index是S&P500综合指数，被列为§GSPC。我们从Kenneth R.French的数据库中提取了therisk-free率和Fama/French因子。6.2性能测量与Callot等人相似。(2019)，我们考虑了四个常见的统计指标：夏普比率、投资组合周转率、平均收益和投资组合的风险（以投资组合样本外方差的平方根计算）。我们考虑了两种情况：有交易成本和没有交易成本。设T表示总的观察数，训练样本由m=504个观察数组成，测试样本为n=t-m，当不考虑交易费用时，样本外的平均投资组合收益、方差和夏普比(SR)分别为:μtest=nt-1xt=mbwtrt+1,σtest=n-1t-1xt=m(Bwtrt+1-μtest),SR=μtest/σtest。（6.1）当考虑交易费用时，我们遵循Ban等人。（2018年）；卡洛特等人。（2019年）；德米格莱特阿尔。

（2009年）；Li(2015)以说明交易成本，进一步表示为TC。根据上述文献，我们将tc设置为50bps。将时间t+1的超额投资组合以交易成本(tc)为rt+1,portfolio=bwtrt+1-tc(1+bwtrt+1)pxj=1 wt+1,j-w+t,j,(6.2)其中w+t,j=wt,j1+rt+1,j+rft+11+rt+1,portfolio+rft+1为第j项资产的超额收益与无风险利率之和，而rt+1,portfolio+rft+1为该投资组合的超额收益与无风险利率之和。样本外平均投资组合回收率、方差、Sharpe比率和周转率相应地计算:μtest，tc=nt-1xt=MRT，portfolity，σtest，tc=n-1t-1xt=m(rt，portfolity-μtest，tc)，Srtc=μtest，tc/σtest，tc，(6.4)周转率=nt-1xt=mpxj=1 wt+1,j-w+t,j。（6.5）6.3结果本节探讨因子图形套索对每日投资组合数据的性能。我们考虑了两种情况，当因素未知并使用标准PCA（统计因素）估计时，以及当因素已知时。根据注1估计统计因子K的数目。对于已知因素的情况，我们包括多达5个Fama-French因素:FF1包括市场上的超额收益，FF3包括FF1加上规模因素（小减大，SMB)和价值因素（高减低，HML)，而FF5包括FF3加上可投资性因素（稳健减弱，RMW)和风险因素（保守Agressive,CMA）。在表1和附录C中，我们报告了(2.2)、(2.3)和（2.10）中三种替代投资组合分配的每日和每月投资组合操作能力。紧随Callotet al（2019年），我们设定的回报目标为μ=0.0378%，复合后相当于10%的年回报率。权重约束和风险约束Markowitzportfolio（MWC和MRC）的目标风险水平设定为σ=0.013，即标准普尔500指数在训练集内每日超额收益的标准差。跟随卡洛特等人。(2019)，每只股票的交易成本设定为0.1%。让我们在表1中总结每日数据的结果：（1）与MWC和GMV相比，MRC投资组合产生更高的回报和更高的风险。然而，MRCis的样本外夏普比低于MWC和GMV，这意味着MRC投资组合的高风险并没有被高收益所补偿。(2)FGL优于所有竞争对手，包括EWand指数。具体而言，我们的方法具有最低的风险和周转率（与FClime、FLW、FNLW和诗人相比），以及与所有替代方法相比最高的样本外夏普比。(3)POER在MRC中的应用导致了该方法估计组合权重的不稳定行为，具体地说，权重矩阵中的许多条目都有“nan”条目。我们在下面详细阐述了这样的表现背后的原因。（4）与基于统计因子的投资组合相比，在FGL中使用observableFama-French因子的投资组合通常具有更高的收益和更高的样本外夏普比。有趣的是，这种回报的增加并没有伴随着更高的风险。月数据的结果在附录C中提供：所有的结论都与日常数据的结论相似。我们现在检查诗人和项目诗人所观察到的令人困惑的行为背后的可能原因。前者的不稳定行为是由于协方差的Point估计器不是正的，这产生了GMV和MWC权重的较差估计，使得计算MRC权重变得不可行（回想一下，在（2.10）中构造MRC权重需要平方根）。为了探索被投射诗人的退化行为，让我们突出现有密切相关的文献所概述的两个方面。首先是贝利等人。

（2020）检验了实证文献中常用的146个因素的“渗透”程度或强度，发现只有市场因素是强的，而所有其他因素都是半强的。这表明因子普遍假设(A.2)在实践中可能是不切实际的。第二，正如Onatski(2013)所指出的，“诗人的素质随着系统学的特征值差距变小而急剧恶化”。因此，在上述两个结论的指导下，我们将Point和Projected Point的性能恶化归因于过去关于收益率的研究中所记录的发散特征值和有界特征值之间的差距减小。我们的额外模拟研究（附录B.4)进一步支持了这两个协方差估计器在这种情况下的高度敏感性，该研究检验了使用双协方差和精度估计器构造的投资组合的稳健性。表2比较了FGL和替代方法在有趣事件的每日数据中的性能，以累积超额收益和风险为基础。为了说明所有方法在经济衰退和经济扩张时期的表现，我们选择了四个时期，并在每个时期记录了全年的CER。2002年和2008年两年对应于经济衰退时期，这就是为什么我们称之为“衰退期”。我们注意到，提到阿根廷大萧条和金融危机并不打算将这些经济衰退限制在一年之内。它们只是为衰退提供了一个文本。其他两年，2017年及2019年对应于对股票市场有利的年份（“繁荣”）。表2揭示了一些有趣的发现：（1）MRC投资组合收益更高的CER，它们的特点是风险更高。（2）在两次衰退期间，MRC是唯一一种产生正CER的投资组合。请注意，在此期间所有使用MWC和GMV的模型都经历了较大的负CER。（3）当EW和Index的CER为正时（在繁荣时期），所有组合公式的CER也为正，但MRC组合公式的累积收益大多高于MWC组合公式和GMV组合公式。（4）FGL在CER和Risk方面都优于EW和Index等竞争对手。7结论本文结合图形模型和因子结构的优点，提出了一种新的带未观测因子的近似因子模型下超额收益的条件精度矩阵估计。在不假设股票收益协方差或精度矩阵稀疏的情况下，证明了FGL在谱和矩阵范数上的一致性，并证明了三个最优组合分配公式的组合权重和风险暴露的一致性。本文所建立的所有理论结果都适用于广泛的分布：亚高斯族（包括高斯族）和椭圆族。仿真结果表明，该方法对重尾分布具有很强的鲁棒性，这使得我们的方法适合于更广泛的应用。此外，我们还证明了与Point和Projected Point相比，所提方法的有效性不严重依赖于因子普遍假设：当发散特征值和有界特征值之间的差距减小时，FGL对场景具有鲁棒性。实验使用了S&P500指数的成分，并在样本外夏普比和风险方面证明了FGL与估计精度(FClime)、协方差(FLW、FNLW、POER)矩阵、等权(EW)投资组合和指数投资组合的几种替代模型相比的优越性。该结果对每月和每天的数据都是稳健的。

我们考察了三个独立的投资组合公式，发现在衰退期间唯一产生正累积超额收益(CER)的投资组合是那些放松了要求投资组合权重总和为1的要求的投资组合。参考文献Ait-Sahalia，Y.和Xiu,D.(2017)。利用主成分分析法估计一个高维因子模型与高频数据。计量经济学杂志，201(2):384-399.阿沃耶，O.A.(2016).Markowitz最小方差投资组合优化使用新的MachineLearning方法。博士论文，伦敦大学学院，Bai J.(2003)。大维因子模型的推理理论。经济计量学，71(1):135-171.白建，吴珊（2002）.近似因子模型中因子个数的确定。经济计量学，70(1):191-221.白建，吴山（2006）.双参数指数预测和因子增广回归推论的间隔。经济计量学，74(4):1133-1150.Bailey,N.,Kapetanios,G.和Pesaran,M.H.（2020）.因素强度的测量：理论与实践。Ban,G-Y.,El Karoui,N.和Lim,A.E.（2018）。机器学习与投资组合优化。管理科学，64(3):1136-1154。Barigozzi,M.Brownlees,C.和Lugosi,G.（2018）。幂律偏相关网络模型。电子统计学杂志，12(2):2905-2929.毕晓普，C.M.(2006).模式识别与机器学习（信息科学与统计学）。斯普林格-弗拉格，柏林，海德堡。布朗利斯，C.，Nualart，E和Sun，Y.(2018)。实现的网络。应用计量经济学学报，33(7):986-1006.蔡涛，刘伟，罗旭（2011）.稀疏精度矩阵估计的约束L1-最小化方法。美国统计协会学报，106(494):594-607.蔡泰泰，胡君，李彦，郑旭（2020）.基于高频数据的高维最小方差投资组合估计。计量经济学杂志，214(2):482-494.卡洛特，L.Caner，M.，E.O.，A.O.和Ula.San,E.(2019).估计大型投资组合的节点回归方法。商业与经济统计杂志，0(0):1-12.卡洛特，L.A.F.，Kock，A.B.，Medeiros，M.C.(2017)。建模和预测大的实现协方差矩阵和投资组合选择。应用计量经济学学报，32(1):140-158.坎贝尔，J.Y.罗，A.W.和麦金雷，A.C.(1997)。金融市场计量经济学，普林斯顿大学出版社，张伯伦和罗斯柴尔德（1983）。套利、因子结构和大型资产市场的均值-方差分析。经济计量学，51(5):1281-1304.康纳，G.和科拉杰奇克，R.A.(1988)。均衡状态下的风险与收益：一种新的检验方法的应用。金融经济学杂志，21(2):255-289.Demiguel,V.，Garlappi,L.和Uppal,R.（2009）.最优与幼稚的背离：1/N投资组合策略是什么？金融研究述评，22(5):1915-1953.丁云，李云，郑旭（2021）.统计因子模型下的高维最小方差投资组合估计。计量经济学杂志，222(1，B部分）：502-515。法马，E.F.和弗伦奇，K.R.(1993)。股票和债券收益中的常见风险因素。金融经济学杂志，33(1):3-56.法马，E.F.，French，K.R.(2015).一个fireve-factor资产定价模型。金融经济学学报，116(1):1-22.范君，范云，吕君（2008）.基于因子模型的高维协方差矩阵估计。计量经济学学报，147(1):186-197.范军，廖永，明切瓦，明永（2011）.高维协方差矩阵估计，非近似因子模型。《统计年鉴》，39(6):3320-3356.范建，廖永，明切瓦，M.(2013).基于正交互补的阈值化大协方差估计。英国皇家统计学会学报：B辑，75(4):603-680.范军，刘海，王文（2018）。

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机器学习研究杂志，13(1):1059-1062.图1：对数标度上情况2的θ估计量的平均误差:P=3·t0.85,K=2(log T)0.5,ST=O(t0.05)。图2：对数标度上Case2的wGMV（左）和wMRC（右）估计量的平均误差；p=3·t0.85,K=2(log T)0.5,ST=O(t0.05)。图3：对数标度上Case2的ΦGMV（左）和ΦMRC（右）估计量的平均误差；p=3·t0.85,K=2(log T)0.5,ST=O(t0.05)。低迷#1阿根廷大萧条（2002）低迷#2金融危机（2008）繁荣#1（2017）繁荣#2（2019）CER风险CER风险CER风险CER风险CER风险CER风险QUAL加权和指数-0.1633 0.0160-0.5622 0.0310 0.0627 0.0218 0.1642 0.0185指数-0.2418 0.0168-0.4746 0.0258 0.1752 0.0042 0.2934 0.0086 Markowitz风险-约束(MRC)FGL 0.2909 0.0206 0.2938 0.0282 0.7262 0.6872 0.0263 FClime-0.0079 0.0348-0.8912 0.1484 0.5331 0.0383 0.2346 0.0557 FLW 0.0308 0.0231.85 0.0315 0.3164 0.0118 0.5520 0.0287 FNLW 0.0728 0.0213 0.2075 0.0392 0.5796 0.0497 0.6315 0.0355投影诗人-0.6178 0.0545 2.81 E-05 0.1874-0.7599 0.11971.8592 0.1177马科维茨权重约束(MWC)FGL-0.0138 0.0082-0.1956 0.0135 0.13980.0044 0.3787 0.0072 FClime-0.1045 0.0124-0.3974 0.0204 0.1309 0.0041 0.2595 0.0078 FLW-0.0158 0.0080-0.2789 0.0126 0.1267 0.0037 0.3018 0.0085 FNLW-0.01950.0078-0.2811 0.0123-0.0361 0.0087 0.4078 0.0098诗人-0.2820 0.0324-0.9989 0.11980.0.5720 0.11980.0.0630 1.4756 0.0403投影诗人-0.0217 0.0130-0.0842 0.0176-0.0877 0.0089 0.5300 0.0176全球最小方差投资组合(GMV)FGL-0.0044 0.0081-0.2113 0.01381-0.1380.1384 0.0045 0.333 703 0.0072 fclime-0.1061 0.0129-0.4410 0.0241 0.1264 0.0041 0.2829 0.0081 flw-0.0151 0.0080-0.2926 0.0128 0.1323 0.0037 0.2994 0.0084 fnlw-0.0206 0.0078-0.2959 0.0124-0.0388 0.0090 0.3287 0.0097诗人-0.3190 0.0330-0.9928 0.0931-1.0000 0.2414 1.6301 0.0318投影诗人-0.0662 0.0135 0.0829 0.0247-0.1106 0.0115 0.6870 0.0186表2：使用每日数据的投资组合的累积超额收益(CER)和风险。交易费用为50个基点，targetedrisk为σ=0.013（标准普尔500指数2000年至2002年训练期间每日超额收益率的标准差），日目标收益率为0.0378%，复合后相当于10%的年收益率。样本内：2000年1月20日，2002年1月24日（504个obs），样本外：2002年1月17日-2020年1月31日（4536个obs）。补充附录本在线补充附录的结构如下：附录A包含定理的证明和伴随的引理，附录B为第5节提供额外的模拟，第6节的额外实证结果位于附录C。附录A定理的证明1定理1引理1引理。在定理1的假设下，(a)maxi，j≤k(1/t)ptt=1fitfjt-e[fitfjt]=OP(P1/t),(b)maxi，j≤p(1/t)ptt=1εitεjt-e[εitεjt]=OP(plog p/t）,(c)maxi≤k,j≤p(1/t)pt=1fitεjt=OP(plog p/t）。引理1的证明可以在Fan等人中找到。（2011）（引理B.1).引理2。在假定(A.4)下，maxt≤tpks=1e[εsεt]/p=O(1)。引理2的证明可以在Fan等人中找到。（2013）（引理A.6).在表达式（3.6）中，pr bk=k→1。证明。引理3的证明可以在Li等人中找到。（2017）（定理1和推论1）。利用Bai(2003)中的表达式(A.1)和Fan等人的表达式(C.2)。(2013)，我们得到如下恒等式:bft-hft=vp-1“ttxs=1bfse[εsεt]p+ttxs=1bfsζst+ttxs=1bfsηst+ttxs=1bfsζst#,(a.1)其中ζst=εsεt/p-e[εsεt]/p,ηst=fsppi=1biεit/p和ζst=ftppi=1biε是/p引理4。对于所有i≤bk,(a)(1/t)pt=1h(1/t)pt=1fise[εsεt]/p=OP(t-1),ptt=1fisζst/pi=OP(p-1),(c)(1/t)pt=1h(1/t)pt=1fisηst/pi=OP(k/p),(d)(1/t)pt=1h(1/t)pt=1fisζst/pi=OP(k/p)。证明。我们只证明了(c)和(d),(a)和(b)的证明可以在Fan et al.(2013)（引理8）中找到。(c)回忆，ηst=fsppi=1biεit/p。

利用假设(A.5)，我们得到Eh(1/t)×PTT=1kppi=1biεitki=ehkppi=1biεitki=O(pK)。因此，通过Cauchy-Schwarz不等式和(1/T)ptt=1kftk=O(K),以及，πi,pts=1fis=T,ttxt=1ttxs=1fisηst≤ttxs=1K fisfskttxt=1pkpxj=1biεjtk≤T ptxt=1pxj=1biεjtk≤T ptxt=1pxj=1biεjt ttxs=1fsttxs=1kfsk！=OP kp·K=OP kpζst=ttxt=1 ttxs=1ftpxj=1εjs=1kftk ttxs=1pxj=1bjεjsp fis≤ttxt=1kftk ttxs=1pxj=1bjεjsp ttxs=1pxj=1bjεjsp ttxs=1fis=OP K·pkp·1=OP kp引理5.(a)maxt≤T(1/(tp))pts=1bfse[εsεT]=OP kp）。(b)maxt≤T(1/(tp))pts=1 bfsζst=OP(√kt1/4/√p)。(c)maxt≤T(1/(tp))pts=1 bfsηst=OP(kt1/4/√p)。(d)maxt≤T(1/(tp))pts=1 bfsζst=OP(kt1/4/√p)。证明。我们的证明与Fan等人中的证明相似。（2013年）。然而，我们用柯西-施瓦兹不等式放宽了k.(a)的假定，引理2，以及(1/t)ptt=1kbftk=OP(K)的事实，我们得到maxt≤tt ptxs=1bfseεsεt≤t“ttxs=1bfs ttxs=1e[εsεt]p！#1/2≤OP(K)maxt≤t”ttxs=1e[εsεt]p！#1/2≤OP(K)maxt=1e[εsεt]p！#1/2≤OP(K)maxs,ts e[εsεt]p maxt≤t“ttxs=1e[εsεt]p#1/2=OP(K)maxs使用Cauchy-Schwarz不等式，maxt≤t ttxs=1bfsζst≤maxt≤ttxs=1ζst！1/2≤OP(K)maxttxs=1ζst！1/2=OP√K·t1/4/√p.为了得到最后一个不等式，我们使用假设(A.5)(b)得到Eh(1/t)pts=1ζsti≤maxs,t≤teζst=O(1/p),然后应用Chebyshev不等式和Bonferroni的方法得到maxt(1/t)pts=1ζst=Op√t/p。(c)使用ηstwe的定义得到maxt≤ttxs=1bfsηst≤ttxs=1bfsfsmaxtppxi=1biεit=op k·t1/4/√p。为了得到最后一个速率，我们使用假设(A.5)(c)和Chebyshev不等式和Bonferroni的方法得到maxt≤tkppi=1biεitk=op t1/4√p。(d)中的maxt≤tkppi=1biεitk=op t1/4引理4的证明我们证明了k(1/t)×ptt=1ppi=1biεit(1/p)bfsk=O pk/p,假设(a.3)意味着e[k-2ft<M]，因此，maxt≤tkftk=OP t1/4√k。利用这些界限，我们得到maxt≤t ttxs=1bfsζst≤maxt≤tkftk·txs=1pxi=1biεitpbfs=OP t1/4√k·pk/p=OP t1/4k/√p。引理6.(a)maxi≤k(1/t)pt=1(bft-hft)i=OP(1/t+k/p)(b)(1/t)pt=1kbft-hft=OP(1/t+k/p)。(b)(1/t)pt=1kbft-hft=OP(k/t+k/p)。(c)最大值≤t(1/t)kbft-hftk=OP(k/√t+kt1/4/√p)。证明。类似于Fan等人。(2013)，我们证明了这个引理在事件K=K上的条件性。SincePr(K6=K)=o(1),隐含了无条件参数。(a)使用(a.1),对于某个常数C>0,maxi≤K(1/t)txt=1(bft-hft)i≤C maxi≤kttxt=1ttxs=1fise[εsεt]p！+C maxi≤kttxt=1ttxs=1fisζst！+C maxi≤kttxt=1ttxs=1fisζst！+C maxi≤kttxt=1ttxs=1fisζst！+C/p）。(b)(b)部分来自(a)部分，并且ttxt=1kbft-hftk≤K maxi≤kttxt=1(bft-hft)i。(C)部分(C)是a.1和引理5的直接结果。引理7。(a)hh=i K+OP(k5/2/√t+k5/2/√p)。(b)hh=ik+OP(k5/2/√t+k5/2/√p)。证明。与引理6类似，我们在K=K(a)上给出了条件。这里的关键观察是，根据对H的认识，它的秩随K，thatis，kHk=OP(K)增长。设ccov(Hft)=(1/t)pTT=1Hft(Hft)。利用三角不等式，我们得到HH-i k f≤HH-cCoV(Hft)f+ccov(Hft)-i k f。(A.2)为了约束(A.2)中的第一项，我们使用引理1:khh-ccov(Hft)kf≤khkkik-ccov(Hft)kf=op(k5/2/√t)。为了约束(A.2)中的第二项，我们使用引理txt=1khftk！1/2+txt=1hft-bft txt=1bft！1/2=op kt+kp·k1/2+kt+kp·k1/2！=op k3/2‰t+k5/2‰p！(b)的证明来自Pr(K=K)→1和Fan等人提出的论点。（2013）,（引理11）定理1的K.A.2证明在引理6中证明了定理1的第二部分。我们现在讨论这部分的收敛速度。利用以下条件:bbi=(1/t)ptt=1ritbft，(1/t)ptt=1bftbft=IK，我们得到bbi-hbi=ttxt=1Hftεit+ttxt=1rit(bft-hft)+h ttxt=1ftft-ik bi。

(A.3)让我们把每个项限定在(A.3)的右边。定义Ismaxi≤pkhftεitk≤khkmaxivuutkxk=1ttxt=1fktεit！≤khk√k maxi≤p,j≤k ttxt=1fjtεit=op k·k1/2·plog p/t,其中引理1和7与Bonferroni方法一起使用。对于第二项，maxi ttxt=1rit bft-hft≤maxittxt=1ritttxt=1bft-hft！1/2=opt+kp！1/2，其中我们使用引理6和事实，即maxit-1ptt=1rit=OP(1)，因为e-rit=O(1).最后，第三项是OP(kt-1/2)，因为k(1/t)ptt=1ftft-ikk=OP kt-1/2，kHk=OP(k)和maxikbki=O(1)是假设(b.1)。a.3推论1作为定理1的结果，我们得到以下推论：推论1。在定理1的假设下，maxi≤p,t≤t bbibft-bift=OP(log t1/rkplog p/t+kt1/4/√p）。利用假设(A.4)和Bonferroni的方法，我们得到了maxt≤tkftk=OP(√k log t1/r),通过定理1,在i和t中一致地:bbibft-bift≤bbi-hbi bft-hft+khbi-hbi bft-hft+kbi-hbi khftk+kbikkftk+kt1/4+K√p·log t1/rk1/2！+OPlog t1/rk1/2 k5/2√t+k5/2√p！=OP log t1/rkplog p/t+kt1/4/√p.A.4定理2的证明利用特殊成分的识别，我们有εit-εit=biH(bft-hft)+(bbi-bih)bft+bi(Hh-ik)ft。我们将最大元素di定义为:maxi≤pttxt=1(εit-εit)≤4maxibih ttxt=1bft-hft+4maxibbi-bih ttxt=1bft+4maxibittxt=1kftk+kp！+o klog pt+kp·k！+OK·kt+kp！=OKlog pt+kp！。表示maxi≤p(1/t)ptt=1(εit-εit)=OP(ω3t)。然后，maxi，tεit-εit=OP(ω3t)=OP(1)，其中最后一个等式由推论1隐含。正如正文所指出的，定理2的第二部分是基于Jankov\'aand van de Geer(2018)（定理14.1.3）建立的估计协方差的收敛速度与精度矩阵之间的关系。A.5定理3引理8的引理。在定理1的假设下，我们得到了以下结果:(a)kBk=kBHk=O(√p)；(b)%–1tmax1≤i≤pbbi-HBi=oP(1/√k)和max1≤i≤pbbi=oP(√k)；(c)%–1t bb-bh=OPp/k和bb=oP(√p)。(c)部分是(a)-(b)的直接结果，因此，我们只证明了下面的两部分:(a)(a)部分很容易从(b.1):tr(∑-BB)=tr(∑)-KBK≥0，由于tr(∑)=O(p)由(b.1)得到KBK=O(p)。(a)部分是根据这样一个事实得出的，即B的行所跨越的线性空间与BH的行所跨越的线性空间相同，因此，在实践中，使用哪一个并不重要。(B)根据定理1，我们有maxi≤pBbi-HBi=OP(ω1t)。根据定理2中的%t，可以得出%-1 tω1 t=oP(ω1 tω-13t)。设EZTω1Tω-13T。考虑%-1 Tmax 1≤I≤P BBI-HBI=oP(zT)。后者对任何ZT≥ezT都成立，当ZT=ezT时，边界最紧。为了便于表示，我们用zt=1/√k代替ezt。(b)部分的第二个结果是利用max1≤i≤pbbi≤√kkbkmax的事实得到的，其中kbkmax=O(1)由(b.1)。引理9。设πhθf+(BH)θε(BH)i-1,bπhbθf+bbbθεbbi-1。另外，取∑f=(1/t)pt=1Hft(Hft),θf=∑-1f,b∑f(1/t)pt=1bftbft,bθf=b∑-1f。在定理2的假设下，我们得到了如下结果:(a)λmin(BB)-1=O(1/p)。(b)π=O(1/p)。(c)%–1T bθf-θf=OP1/√k。(d)%–1T bπ-π=OPST/p和bπ=OP(1/p)。(a)利用假设(a)2)我们得到了λmin(b)≤p-1 Bb-B，这里指的是(a).(b)部分。首先，请注意π=λmin(θf+(BH)θε(BH))-1。因此，我们得到π≤λmin((BH)θε(BH))-1≤λmin(BB)-1λmin(θε)-1=λmin(BB)-1λmax(∑ε)，其中第二个不等式是由于b的行所跨越的线性空间与BH的行所跨越的线性空间相同，因此在实践中，使用哪一个并不重要。

因此，(b)部分的结果是根据(a)部分的假设(a.1)和(a.2)得出的。(c)从引理7我们得到:ttxt=1Hft(Hft)-ttxt=1bftbft=1bftbft=OPK3/2√t+k5/2√p！。由于θf(b∑f-∑f)<1，我们得到bθf-θf≤θfθf(b∑f-∑f)1-θf(b∑f-∑f)=OPK3/2‰T+K5/2‰P！。设ω4T=K3/2/‰T+K5/2/‰P。根据定理2对%t的认识，得出%–1tω4t=oP(ω4tω-13t)。设Eγtω4tω-13T。考虑%-1 t bθf-θf=oP(γt)。对于任意γT≥EγT的Latternoles，当γT=EγT时得到了最紧的界。为了便于表示，我们用γT=1/√k代替EγT。(d)我们将每个项限定在bπ-π的范围内。首先，我们有bbbθεbb-(BH)θε(BH)≤bb-bh bθεbb+BH bθε-θεbb+BHθεbb-BH=OPp·ST·%T！。(A.4)现在我们将(A.4)与(b)-(c)部分的结果相结合:%–1 Tπbπ-1–π-1=OP ST。最后，由于πbπ-1–π-1<1，我们有%–1 Tπbπ-π≤%–1 Tππbπ-1–π-1–πbπ-1–π-1=OP ST定理3的证明利用Sherman-Morrison-Woodbury公式，我们得到了bθ-θL≤bθε-θεL+(bθε-ε)BBbπBBbθεL+θε(Bb-BH)bπBBbθεL+θεBH(bπ-π)BBbθεL+εBH(bπ-π)BBbθεL+εBH(bπ-π)BBbθεL+εBHπ(bb-b)bθεl+θεBHπ(BH)(bθε-θε)l=++++++++.（译者注：译者注：译者注：译者注：译者注：译者注：译者注）。(A.5)我们现在将(A.5)中的项定义为l=2和l=∞。我们从l=2开始。首先，注意定理2中的%–1t=OP(sT)。其次，利用引理8-9和定理2,我们得到了%-1 t(+)=OP(sT·√p·(1/p)·√p·1)=OP(sT)。第三，根据toLemma 8(c)，%–1t(+)可以忽略不计。最后，由引理8-9和定理M2得到%–1T=OP1·√P·(sT/P)·√P·1=OP(sT)。现在考虑l=∞。首先，与前面的情况类似，%–1T=OP(sT)。第二，%–1t(+)=OP st·√pk·(√k/p)·√pk·√dt=OP(stk3/2√dt)，其中我们使用了这样一个事实，即对于anyA∈Spwe有A=A∞≤pd(A)A,其中d(A)度量了第4节开头所述的最大顶点脱脂度。第三，根据引理8(c)，项%–1t(+)可以忽略不计。最后，给出了定理4引理10的引理:%–1T@=OP(Ⅹdt·Ⅹpk·Ⅹk(sT)/P·Ⅹpk·Ⅹdt)=OP(dtk3/2sT)。在定理4的假设下，(a)kbm-mkmax=OP(plog p/t)，其中m是股票收益在3.3小节中的无条件均值，而bm是样本均值。(b)θ=O(dtk3/2)，其中dt3/2在第4小节中被定义。证明。(a)(a)部分的证明在Chang等人中提供。（2018）（引理1）。(b)为了证明(b)部分，我们使用谢尔曼-莫里森-伍德伯里公式:θ≤θε+θεb[θf+bθεb]-1bθε=O(pdT)+OPDT·p·√KP·K·pdT=O(DTK3/2)。(A.6)中的最后一个等式是在定理4的假设下得到的。这一结果在以下几个方面具有重要意义：它表明股票收益率精度矩阵的稀疏性由特殊收益率精度的稀疏性控制。因此，当返回遵循因子结构时，不需要先验地对返回的精度强加一个不切实际的稀疏性假设--一旦考虑到共同的运动，精度的稀疏性就会出现。引理11。取值a=lpθlp/p,b=lpθm/p,d=mθm/p,g=√mθm/p和ba=lpbθlp/p,bb=lpbθbm/p,bd=bmbθbm/p,bg=pbmbθbm/p。在定理4的假设下，假定(ad-b)>0,(a)a≥c>0,b=O(1)，d=O(1)，其中顺式是表示θ的最小特征值的正常数。(b)BA-A=OP(%TDTK3/2ST)=OP(1)(b)BB-B=OP(%TDTK3/2ST)=OP(1)(d)BD-D=OP(%TDTK3/2ST)=OP(1)(e)BG-G=OP[%TDTK3/2ST)1/2=OP(1)(f)(BABD-BB)-(Ad-B)=OP%TDTK3/2ST)-(Ad-B)=OP%TDTK3/2ST)-(Ad-B)=OP%TDTK3/2ST)=OP(1)(g)AD-B=O(1).证明。(a)部分是琐碎的，直接从假设(b.1)的θ=O(1)和Kmk∞=O(1)中得出。

我们给出了d：recomp，d=mθm/p≤θkmk/p=O(1)的证明。(b)使用H-olders不等式，我们得到了ba-a=lp(bθ-θ)lp≤(bθ-θ)lpklpkmaxp≤bθ-θ=oP%tdtk3/2(st+(1/p))=oP(1)，其中最后一个速率是使用定理3的假设得到的。(c)首先，重写感兴趣的表达式:bb-b=[lp(bθ-θ)(bm-m)]/p+[lp(bθ-θ)]/p+[lp(bθ-θ)]θ)m]/p+[pθ(Bm-m)]/p。(A.7)我们现在使用在Callot等人中导出的表达式来约束(A.7)中的每一项。（2019）（见他们对引理A.2)的证明，以及log p/t=o(1).lp(bθ-θ)(bm-m)/p≤bθ-θkbm-mkmax=op%tdtk3/2st·rlog pt。(a.8)lp(bθ-θ)m/p≤bθ-θ=OP%TDTK3/2st。(A.9)lpθ（bm-m）/p≤θkBm-mkmax=OP DTK 3/2·Rlog Pt。(A.10)(d)首先，重写感兴趣的表达式:BD-D=[(bm-m)(bθ-θ)(bm-m)]/P+[(bm-m)θ(bm-m)]/P+[2(bm-m)θm]/P+[2m(bθ-θ)(bm-m)]/P+[m(bθ-θ)m]/P。(A.11)我们现在使用Callot et al.(2019)中导出的表达式（参见他们对引理A.3)的证明）和log p/t=o(1).(Bm-m)(Bθ-θ)(Bm-m)/p≤kBm-mkmaxBθ-θ=op log pt·%tdtk3/2 st(A.12)(Bm-m)θ(Bm-m)/p≤kBm-mkmaxθ=op log pt·dtk3/2的事实来约束(A.11)中的每个项。(A.13)(bm-m)θm/p≤kbm-mkmaxθ=op rlog pt·dtk3/2。(A.14)m(bθ-θ)(bm-m)/p≤kbm-mkmax bθ-θ=op rlog pt·%tdtk3/2 st。(a.15)m(bθ-θ)m/p≤bθ-θ=OP%TDTK3/2 ST。(a.16)(e)这是(d)部分的直接后果，而且首先是PBD-d≥PBD-√d。(f),重写感兴趣的表达式:(babd-bb)-(ad-b)=[(ba-a)+a][(bd-d)+d]-[(bb-b)+b]，因此，使用引理11，我们有(babd-bb)-(ad-b)≤hba-a bd-d+ba-ad+a bd-d+(bb-b)+2b bb-b i=oP%tdtk3/2st=oP(1).(g)这是(a)部分的直接结果:ad-b≤ad=O(1).定理4的证明让我们导出每个投资组合权重公式的收敛速度就像一个接一个。我们从GMV公式开始，KBWGMV-WGMVK≤AK(Bθ-θ)PKP+A-BAKθPKPBAA=oP%TDTKST=oP(1)，其中的不等式在Callot等人中得到。（2019）（见他们的表达式A.50)，引理11和10。我们现在继续MWC权重公式。首先，让我们将权重表达式简化如下:WMWC=κ(θóp/p)+κ(θm/p),其中κ=dTMbad-bκ=μa-bad-b.letBWMWC=bκ(bθóp/p)+bκ(bθbm/p)，其中Bκ、Bκ分别是κ、κ2的估计量，如Callot等人所示。（2019）（见他们的方程A.57)，我们可以将关系的数量确定为:Kbwmwc-Wmwck≤(bκ-κ)(bθ-θ)lp/p+(bκ-κ)(bθ-θ)(bm-m)/p+(bκ-κ)(bθ-θ)m/p+(bκ-κ)(bθ-θ)m/p+(bκ-κ)(bθ-θ)m/p+(bκ-κ)kθm/p+κ(bθ-θ)(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)κ(Bθ-θ)m/P。(A.17)为了便于表示，用y=AD-B表示。然后，使用与Callot Etal相似的技术。（2019）我们得到(bκ-κ)≤y bd-d+yμbb-b+by-yd-μbbyy=oP%tdtk3/2 st=oP(1)，其中速率基本遵循引理11。类似地，我们得到(bκ-κ)=oP%tdtk3/2 st=oP(1).Callot et al.（2019）表明:κ=O(1)和κ=O(1)。因此，我们可以得到的速率为(A.17):KBWMWC-WMWCK=oP%TDTKST=oP(1).我们现在继续进行MRC权重公式:KBWMRC-WMRCK≤gpH(Bθ-θ)(BM-M)+(Bθ-θ)m+Kθ(BM-M)Ki+BG-GKθMKBGG≤GPHP Bθ-θK(BM-M)Kmax+PBθ-θKMKmax+PK(BM-M)Kmax+PK(BM-M)Kmax Xi+Pbg-gθkmkmaxbgg=oP%tdtk3/2st·rlog pt+oP%tdtk3/2st+opdtk3/2·rlog pt+oP[%tdtk3/2st]1/2·dtk3/2=oP(1)，这里我们使用引理10-11.A.9定理5的证明我们从GMV公式开始。使用引理11(a)-(b)，我们得到了A-1a-1-1=a-a=OP(%TDTK3/2ST)=OP(1)。

(2019)，并引入以下符号:x=Aμ-2Bμ+d和x=Aμ-2Bμ+d以重写BΦMWC=PTM1(x/Y)。如inCallot等人所示。(2019)，y/x=O(1)（见他们的方程式A.42)。再者，通过引理11(b)-(d)x-x≤a-a(R)+2b-b(R)+d-d=OP(%tdtk3/2st)=OP(1)，以及通过引理11(f):y-y=a d-b-(ad-b)=OP(%tdtk3/2st)=OP(1)。利用上述和y=O(1)和x=O(1)的事实（由Callot等人（2019）在A.45和A.46中导出），我们有bΦmwc-ΦmwcΦmwc=(x-x)y+x(y-y)yy O(1)OP(%tdtk3/2st)=OP(1)。最后，到约束MRC风险暴露，我们使用引理11(e)和重写g-g g=oP[%tdtk3/2st]1/2)=oP(1)。附录B附加模拟sb.1验证理论速率将经验速率与定理3-5中导出的理论表达式进行比较，利用定理2中ω3tKplog p/t+k/√p和%-1 tω3tp-→0的事实，导出了在经验条件下参数选择与理论速率相对应的函数:f·=C+C·log(st%t)g·=C+C·log(dtk3/2st%t)forbθ(b.1)h=C+C·log(%tdtkst)forbwGMV,bwMWC(b.2)h=C+C·log([%tst]1/2d3/2tk)forbwMRC(b.3)h=C+C·log(dtk3/2st%t)forbΦgmv,bwmwv,bwmwv MWC(b.4)H=C+C·log(dtk3/2st%t)forbΦMRC(b.5)，其中C，..C>C（定理4)，C>C（定理5）。图B.1显示了在对数尺度（基数2）中，θ，w和Φ的估计量对样本容量T的平均误差（在蒙特卡罗模拟上）。为了补充定理3-5的理论结果，我们还绘制了由(b.1)-(b.5)中的函数给出的理论收敛速度。我们验证了经验率和理论率是匹配的。由于GMV和MWC组合权重w和风险敞口Φ的收敛速度非常相似，我们只报告前者。注意，正如定理3所预言的，精度矩阵在·-范数下的收敛速度快于在·-范数下的收敛速度。此外，GMV、MWC和MRC组合权重与风险敞口的收敛速度接近于精度矩阵θ在·-范数中的收敛速度，定理4证明了这一点。如图B.1所示，MRC风险暴露的收敛速度慢于GMV和MWC暴露的速度。这符合定理5，也与表明MRC投资组合相关的总体风险较高的经验数据一致。图B.1:对数尺度上的平均经验误差（实线）和理论收敛速度（虚线）:p=t0.85,K=2(log T)0.5,st=O(t0.05)。B.2结果对于情况1我们将FGL的性能与第5节开头列出的替代模型相比较。FGL被严格控制但略占优势的唯一例子发生在B.2:Point在谱范数中的精度矩阵收敛性方面优于FGL。这是从图1中的情况2中得出的结论，其中FGL的性能优于所有竞争模型。图B.2:对数尺度上情况1的θ估计量的平均误差:p=t0.85,K=2(log T)0.5,st=O(t0.05)。图B.3:对数尺度上情况1的wGMV（左）和wMRC（右）估计量的平均误差:p=t0.85,K=2(log T)0.5,st=O(t0.05)。图B.4:对数尺度上情况1的ΦGMV（左）和ΦMRC估计量的平均误差:p=t0.85,K=2(log T)0.5,st=O(t0.05)。B.3鲁棒FGL椭圆分布的DGP类似于Fan等人。（2018）：让（3.1）中的(ft，εt)联合遵循多变量t-分布，且自由度为。当v=∞时，这与多元正态分布相对应，较小的v值与较厚的尾巴有关。从协方差矩阵∑=diag(∑f,∑ε)的零均值多元T-分布中提取T个独立样本(ft，εT)，其中∑f=ik。

为了构造∑ε，我们使用参数化ρ=0.5的Toeplitz结构，从而得到稀疏的θε=∑-1ε。B的行是从n(0，IK)中提取的。我们设p=t0.85,K=2(log T)0.5,T=[2h],对于h∈{7,7.5,8,...,9.5}。图B.5B.6报告了使用FGL和Robust FGL（Monte Carlo模拟）对θ和两个投资组合权重（GMV和MRC）的平均估计误差（在对数标度下，基数为2）,对§=4.2使用FGL和Robust FGL。值得注意的是，FGL在估计精度矩阵方面的性能与FGL相当：这表明我们的FGL算法即使没有额外的调整也对重尾分布不敏感。此外，如图B.6所示，FGL在估计投资组合权重方面优于其稳健对应方。我们进一步比较了FGL和Robust FGL在不同自由度下的性能：图B.7给出了v=4.2,v=7和v=∞的平均估计误差（在Monte Carlo模拟上）的对数比（基2）。图B.7给出的θ估计结果与Fanet al的结果一致。（2018年）：对于较厚的尾部，稳健的FGL比非稳健的FGL表现更好。图B.5:对数标度上θ估计量的平均误差；p=t0.85,K=2(log T)0.5,§=4.2。图B.6:wGMV（左）和wMRC（右）对数标度估计量的平均误差；p=t0.85,K=2(log T)0.5,v=4.2。图B.7:FGL和稳健FGLestimators的平均误差对数比（基2）：log bθ-θbθr-θ（左）,log bθ-θbθr-θ（右）:p=t0.85,K=2(log T)0.5。b.4放宽普遍假设正如Onatski(2013)所指出的，100个工业投资组合的数据表明，除了i=1之外，样本协方差数据的特征值i和i+1之间没有很大的差距。然而，正如人们通常认为的那样，此类数据至少包含三个因素。因此，因子渗透假设表明，当i≥3时，存在一个很大的缺口。为了检验投资组合对普遍假设的敏感性并量化普遍程度，我们使用了与（5.3）-（5.4）中相同的DGP，但使用σε，ij=ρi-j，K=3。我们考虑ρ∈0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}对应于λ/λ∈3.1,2.7,2.6,2.2,1.5,1.1}。换句话说，随着ρ的增加，用λ/λ度量的系统-特性间隙减小。表B.1-B.2报告了投资组合权重和风险在100次重复下的估计量的平均质量，T=300，p∈300，400}。样本大小和回归数的选择是为了与经验应用中的值密切匹配。诗人和投影诗人对引导特征值和有界特征值之间的差距最敏感，这从这些估计量的质量急剧恶化中可以看出。其余的方法，包括FGL，都具有稳健的性能。由于投资组合权重估计量的行为与精度矩阵估计量的行为相似，为了便于表示，我们只报告前者。对于(T，p)=(300，300),FClime表现最好，其次是FGL和FLW，而对于(T，p)=(300，400),FGL表现最好。