通过Lasso引入解析性，得到以下约束优化问题:WMRC，sparse=ArgminWTTXT=1(Y-WRT)+2λKWK。（2.16）现在我们对设置（2.16）提出了两个扩展。首先，估计量wMRC，SPARSEis是不可行的，因为用于构造y的θ是未知的。奥等人。（2019）在正态分布超额收益下构造θ的估计量，假设p/T→ρ∈(0,1）且样本容量T大于资产数量p。他们的论文使用了Kan and Zhou（2007）提出的无偏估计:θ=((t-p-2)Bmb∑-1Bm-p)/T，其中Bm和B∑-1分别是样本协方差矩阵的均值和逆。Ao等人研究的模型的局限性之一。（2019）是它不能处理高维度。在模拟和实证应用中，作者所使用的股票的最大数量限制在100只。Ao et al.(2019)方法的另一个局限性是，他们没有纠正通过强加`-constraintin(2.16)引入的偏见。然而，众所周知，(2.16)中的估计量是有偏的，现有文献提出了几种去偏技术（参见Belloni et al.(2015)；Javanmard andMontanari(2014a，b)；Javanmard et al.(2018)；van de Geer et al.(2014)；Zhang and Zhang(2014)等）。为了解决上述局限性，我们建议使用一种高维精度矩阵的估计量，将在下一节讨论。所提出的估计量适用于高维环境，可以处理样本小于资产数的情况，且结构上总是非负的。因此，y的估计量为:1+θθσ1+θpθ。（2.17）接近第二个限制，由van de Geer等人提出。(2014)，我们提出了使用精度矩阵的节点回归估计量的去偏技术。首先，设R是超额收益随时间叠加的T×p矩阵，并且BY是一个T×1常数向量。考虑一个高维线性模型=Rw+e，其中e'AD(0,σEI)。（2.18）我们研究了高维框架p≥T，在渐近结果中我们要求p/T=o(1)。让我们重写(2.16):WMRC，sparse=arg minw∈rptkby-rwk+2λkwk。(2.19)(2.16)中的估计满足以下KKT条件:-R(by-rbw)/t+λbg=0,(2.20)kbgk∞≤1,如果wi6=0,则gi=sign(wi)。（2.21）其中BG是由KWK的次梯度引起的p×1向量。LetB∑=RR/T，然后重写KKT条件:B∑(BW-W)+λBG=RE/T。（2.22）我们的实证结果表明，即使使用Kan and Zhou(2007)(p.2906)中的调整估计量，无偏估计量θ=((t-p-2)bmb∑-1bm-p)/T也经常是负的。将（2.22）的两边乘以算法3得到的bθ,加减(bw-w),并重新排列项:bw-w+bθλbg=bθre/TρT(bθb∑-Ip)(bw-w){z}/τT。（2.23）在与理论结果相结合的章节中，我们证明了在一定的稀疏性假设条件下，μ是渐近可忽略的。组合（2.20）和（2.23）使我们得到了投资组合权重的去偏解：BWMRC,去偏解=BW+BθλBG=BW+Bθr(by-RBW)/T。（2.24）在第5.2.2节中使用后拉索检验了所建议的去偏估计器的性质。（2.24）中的去偏组合权重的缺点是，权重公式是针对一个特定的组合选择而定制的，该选择最大化了无约束的夏利（即（2.13）中的MRC）。然而，需要适应不同类型投资者的偏好，他们可能对与GMV(2.11)或MWC(2.12)组合相对应的权重分配感兴趣。同时，我们愿意在稀少拨款的框架内。其中一个阻碍我们追求类似于（2.16）中的技术的缺陷是，一旦增加了权重约束，(2.16)中的优化问题就有两个解，这取决于θm是正的还是负的。

如Maller和Turkington(2003)所示，当lθm<0时，对于满足完全投资约束的特定投资组合分配，不能精确地达到最小值。因此，我们可以设计一个近似的解来尽可能接近这一结果。为了克服这一困难，我们建议使用（2.19）中的拉索回归来选择一个股票子集，然后使用（2.11）-（2.13）中的任何权重公式来构造一个投资组合。算法1描述了用后套索估计稀疏投资组合的过程。注意，我们不能直接应用van de Geer等人的定理2.2。（2014）由于需要估计RC，并且我们需要显示各自估计的一致性。算法1使用LASSO1后的稀疏投资组合：使用（2.19）中的Lasso回归来选择模型b://support(bw)o应用额外的阈值来去除估计权重较小的股票:bw(t)=(bwj1[bwj>t]，j=1,..,p)，其中t≥0为阈值水平。o相应选择的模型表示为asb(t)support(bw(t))。Whent=0,bü(t)=bü.2:在(2.11)-(2.13)中选择一个所需的投资组合公式，并将其应用于stocksbü(t)的选定子集。o当card(bü(t))<et时，使用样本协方差矩阵的逆作为θ的估计量。否则，应用第3.3节中所述的精度矩阵估计。在这一节中，我们将回顾一种Nodewise回归（Meinshausen and Buhlmann(2006))，这是一种估计精度矩阵的流行方法。在高维情况下，需要对精度矩阵进行正则化，这意味着某些项θij将为零。换言之，为了实现对逆协方差的一致估计，估计的精度矩阵应该是稀疏的。3.1逐步回归在精度矩阵估计中引起稀疏性的方法之一是通过线性回归一次一列地求解bθ,用样本矩代替总体矩。当我们对每个变量j=1重复这个过程时，。.我们将用{rt}tt=1通过p线性回归逐列估计bθ的元素。Meinshausen和Béuhlmann(2006)使用这种方法将稀疏性引入到精度矩阵的估计中。它们利用eachvariable（node）作为响应，其他变量作为预测器来估计Bθ。这种方法被称为“nodewise”回归，下面根据van de Geeret al.（2014年）和卡洛特等人（2019）。设RJB为第j个回归子的T×1观测值向量，其余协变量收集在T×(p-1)矩阵R-J中。对于每个j=1，。.我们运行以下Lassorgression:Bγj=arg minγ∈rp-1krj-r-jγk/t+2λjkγk，(3.1)其中Bγj={Bγj,k；j=1,...,p,k6=j}是估计回归函数的(p-1)×1向量，该向量将用于构造精度矩阵Bθ的估计。bc=1-Bγ1,2···-Bγ1,p-Bγ2,11···-Bγ2,P.........-Bγp,1-Bγp,2···1。（3.2）对于j=1，。..,p,definneτj=krj-r-jbγjk/t+λjkbγjk(3.3)和writeBt=diag(τ,...,τp)。（3.4）近似的逆求取为ASBθ=Bt-2bc。（3.5）在算法2中总结了用nodewise回归估计精度矩阵的步骤。算法2 Meinshausen和Béuhlmann(2006)(MB)1:j=1重复。..,p:oEstimateBγjusing(3.1)对于给定的λj.o使用合适的信息标准选择λj.2:CalculatebC and Bt.3:ReturnBθ=Bt-2Bc.使用nodewise回归方法时要记住的一个警告是（3.5）中的估计量不是自伴随的。卡洛特等人。（2019）显示（见他们的Lemma.1)在(3.5)中的Bθ是阳性的可能性很大，然而，仍然可能在鱼类样本中Bθ不是阳性的。

为了解决这个问题，我们使用矩阵对称化过程，就像Fan等人一样。（2018）然后像inCallot等人那样使用特征值清洗。（2017）和Hautsch等人（2012年）。首先，构造对称矩阵bθsij=bθijh bθij≤bθji i+bθjih bθij>bθji,(3.6)，其中bθiji是估计精度矩阵（3.5）的第（i,j）个元素。其次，用特征值清洗使Bθ正定：写出谱分解Bθs=BVBλBV,其中BV是一个特征向量矩阵，Bλ是一个对角矩阵，其对角上有p个特征值。设λmmin{bλibλi>0}。我们用λma代替Allbλi<λm，并用清洁的特征值aseλ来定义对角矩阵。3.2因子逐步回归Ross(1976)提出的套利定价理论(APT)假定证券的预期收益只与它们与共同成分或因子的协方差有关。APT的目标是通过因子分解对资产收益的趋势进行建模。假定收益率生成过程(rt)遵循一个k因子模型:rt{z}p×1=B ft{z}k×1+εt,t=1,。.T(3.7)其中，ft=(f1t,...,fKt)是因子，B是因子负荷的p×k矩阵，ε是不能用公因子解释的特殊成分。（3.7）中的因子可以是可观察的，如Fama和French(1993，2015)中的因子，也可以使用统计因子模型进行估计。在本小节中，我们将研究如何使用收益中的因子结构来处理（2.11）-（2.13）中的投资组合分配问题。我们的方法称为因子节点化，利用估计的公因子来获得特征成分的稀疏精度矩阵。所得到的估计量被用来获得资产收益的精确度，以形成投资组合的权重。（2013）,我们考虑了一个尖峰协方差模型，当∑-K个主特征值随p增长，而其余的p-k个特征值有界且增长慢于p时，将方程（3.7）改写为矩阵形式：r{z}p×t=B{z}p×kf+e(3.8)设∑=t-1 rr,∑ε=t-1 ee和∑f=t-1 ffbe协方差矩阵，设θ=∑-1，θε=∑-1ε和θf=∑-1fbe它们的逆。（3.8）中的因子和负荷是通过解（bB,bF)=Argminb,fkr-bfkfs.t.tff=IK,bB是对角线来估计的。需要这些约束来确定这些因素（Fan et al.(2018))。结果表明（Stock and Watson(2002))BF=√t eigK(RR)和BB=t-1 RBF。由于我们的兴趣在于构造投资组合的权重，我们的目标是估计超额收益的精确矩阵。然而，正如Koike(2020)所指出的，当公共因子存在于超额收益中时，精度矩阵不可能是稀疏的，因为所有的收益对都是部分相关的，给定其他超额收益通过公共因子存在。因此，我们将稀疏性假设强加于特质误差的精度矩阵θε上，该矩阵是使用去除因素引起的共动后的估计残差得到的（参见Barigozzi et al.(2018)；Brownlees et al.(2018)；Koike(2020))，我们使用节点回归作为收缩技术来估计残差的精度矩阵。一旦精度θfof也得到了低秩分量，类似于Fan等人。（2011）我们使用Sherman-Morrison-Woodbury公式估计超额收益的精度:θ=θε-θεb[θf+bθεb]-1bθε。（3.9）为了得到bθf=b∑-1f，我们使用估计因子sb∑f=t-1bfbf的样本协方差的逆。为了求出bθε，我们将算法2应用于估计的特性误差bεT。一旦我们估计了bθfandbθε，我们就可以用（3.9）的样本类似物来求出bθ。

算法3.Meinshausen和Béuhlmann(2006)(FMB)1:使用PCA估计因子bF和因子负荷bB。得到b∑f=t-1bfbf,bθf=b∑-1fandbεt=rt-bbbft.2：用nodewise回归估计稀疏θε：对bεtbγj=arg minγ∈rp-1bεj-be-jγ/t+2λjkγk,（3.10）中的Lasso回归进行（3.1）得到bθε.3：使用bθffrom步骤1和步骤2中的bθε，用Sherman-Morrison-Woodbury公式的样本对应物估计θ(3.9):bθ=bθε-bθεbb[bθf+bbbθεbb]-1bbbθε。（3.11）算法3包含一个调整参数λjin(3.10):我们通过最小化广义信息准则(GIC)来选择收缩强度。设bsj(λj)表示向量bγj:gic(λj)=log bεj-be-jbγj/T+bsj(λj)log(p)Tlog(log(T))中非零参数的估计数，我们可以用（3.11）中得到的bθ来估计方程（2.17）中的y，并在（2.24）中得到稀疏的投资组合权重，算法1.4因子投资在本节中允许投资者持有一个资产和因子的投资组合，换句话说，假设因子是可交易的。注意，与Ao等人相比。(2019)，可交易因素与不可交易因素之间的区别并不在于超额收益是由共同因素驱动的。即，允许收益的要素结构与要素是否可交易无关。我们假设只有可观察的因素可以交易。将可观测因子的K×1向量aseft和不可观测因子的K×1向量表示为fP CAt,其中K1+K2=K。因子投资的目标是决定因子和股票的权重。设rt，Allbe投资组合在时间t时的收益:rt，All=wall，t{z}1×(p+k)xt。（4.1）其中xt=(eft，rt)是可观察因子与股票和沃尔的超额收益的(p+K)×1向量，而t=(wft，wt)是wftinvested Inft和wtinvestedin股票的权重向量。我们将EFTA视为额外的Kinvestments工具，这些工具将对整个投资组合做出贡献。现在考虑关于xt:xt=B fP CAt{z}k×1+et,t=1,的k-因子模型。..,T(4.2)将方程（4.2）改写为矩阵形式：x{z}(P+k)×T=B FP CA{z}k×T+E,（4.3）可以使用标准的PCA技术如（3.8）所示：bfp CA=√T eigK(XX)和bb=t-1xbfp CA。与算法3类似，我们用（3.9）估计增广的excessreturns,θX的精度。为了得到bθfp CA=b∑-1fp CA，我们使用估计因子sb∑fp CA=t-1bfp CAbFP CA的样本协方差的逆。为了得到bθe，我们将算法2应用于估计的特性误差，betin(4.2)。一旦我们估计了bθfp ca和bθe，我们就用一个（3.9）的样本类似物来计算bθx。算法4总结了这一过程。算法4因子投资使用FMB1:估计公式(4.2):bet=xt-bbbfp CAtusing pca的残差。2：使用nodewise回归估计稀疏θe:将算法2应用于bet.3:使用（3.9）中的Sherman-Morrison-Woodbury公式估计θx。我们可以使用算法4中得到的bθx来估计投资组合权重，使用2.1节中的去偏技术((2.24))或后拉索（算法1）。当得到wall，t=(bwft，bwt)时，我们可以通过检验wft=0.5的渐近性质来检验因子投资是否对投资组合收益有显著贡献。在这一部分中，我们研究了稀疏投资组合权重的去偏估计和算法1的后拉索估计的渐近性质。将s{j；wj6=0}表示为有效变量集，其中w是方程（2.18）中真实投资组合权重的向量。另外，设SS。进一步，设Sj{k；γj,k6=0}是（3.1）中节点回归的γj行的活动集，且设SjSj。definne=smax1≤j≤psj。考虑公式（3.7）中的一个因子模型:rt{z}p×1=B ft{z}k×1+εt,t=1,。...

T(5.1)我们研究了未知因素的情况，即唯一可观察的变量不等式（5.1）是超额收益RT。在本文中，我们的主要兴趣在于建立稀疏投资组合权重的渐近性质和高维情形下的样本外夏普比。我们假设公因子的数目K是有限的。5.1假设现在我们列出关于模型(5.1):(a.1)（尖峰协方差模型）的假设为p→∞,λ(∑)>λ(∑)>。.>λk(∑)λk+1(∑)≥..≥λp(∑)≥0,其中当j≤K时λj(∑)=O(p),当j>K时λj(∑)=O(p)有界，(a.2)（普适因子）存在一个正的K×K矩阵B,使得p-1bb-b→0和λmin(b)-1=O(1)为p→∞。类似于Chang等人。（2018年）和卡洛特等人(2019)，我们还给出了beta混合条件(A.3)(beta混合）设fT-∞和f∞t+k分别表示由{εu:u≤t}和{εu:u≥t+k}生成的σ-代数。则{ε}uisβ-混合，即βk→0为k→∞,其中混合Coe定义为βk=supte“supb∈F∞t+k pr bft-∞-pr b#。（5.2）就上述假设提出若干意见。假设(A.1)-(A.2)与Fan et al中相同。(2018)，假设(A.3)需要一致地估计去偏组合权重的精度矩阵。假设(A.1)将特征值分为发散特征值和有界特征值。在不丧失一般性的情况下，我们假定K个最大特征值的重数为1。在近似因子模型的文献中，人们普遍采用了aspiked协方差模型的假设，然而，我们注意到本文所研究的模型可以被描述为一个“非常尖峰模型”。换句话说，K个特征值和其余特征值之间的差距随着p的增加而增加。正如Fan等人所指出的。(2018)(A.1)典型地被带有普遍因素的因子模型所充分利用，这就给我们带来了假设(A.2):因素影响单个时间序列的非消失比例。假设(A.3)允许5.1中因子模型残差的弱相关性：因果ARMA过程、已知平稳Markov链和二阶矩的平稳GARCH模型满足该假设。我们注意到我们的假设(A.3)比Callotet Al的假设弱得多。(2019)，后者要求收益率序列的弱相关性，而我们只限制异质成分的相关性。设∑=∑λ，其中∑是遵循方程（5.1）所描述的因子结构的收益率的协方差矩阵。定义B∑、Bλk、B^ak，是∑、λ、γ的估计量。与Fan等人类似，我们进一步给出了BλK=diag(λ,...,λK)和B'AK=(V，...,Vk)的经验特征值和相应的特征向量。(2018)，我们要求估计量的分量矩阵有以下界:(b.1)b∑-∑max=opplog p/T，(b.2)(bλk-λ)λ-1max=opplog p/T，(b.3)b∑k-max=opplog p/(tp))。letb∑sgbe样本协方差矩阵，其中bλsgkandbàsgk，分别用b∑sg的前导经验特征值和特征向量构造。另外，letb∑el1=bdbrbd，其中bris是用Kendall的tau相关coe cients得到的，而bd是用Huber损失构造的方差的arobust估计量。此外，利用空间Kendall的tau估计得到了letb∑el2=bdbrbd。B∑EL 1的K个领先经验特征值的bethe矩阵，B∑EL 2的K个领先经验特征值的矩阵。有关构造B∑SG、B∑EL 1和B∑EL 2的更多细节，请参见Fan等人。(2018)，第3、4节。定理1。（Fan et al.(2018))对于亚高斯分布，B∑SG,BλSGKandBγSGKS满意(B.1)-(B.3)。对于椭圆分布，B∑EL 1,BλELKandB^aELKS满意(B.1)-(B.3)。定理1本质上是Fan et al的结果的改写。(2018)，第3、4节。

由于这些结果在他们的论文中没有单独的陈述（它是几个定理的总结），为了方便读者，我们把它作为一个定理分开。从上述定理可以看出，B∑EL 2仅用于估计特征向量。这是必要的，因为与B∑EL 2相比，B∑EL 2的特征向量的理论性质由于Sinfunctions而在数学上被涉及。此外，在该模型上施加了以下结构假设:(c.1)K∑Kmax=O(1)和KbKmax=O(1),这是对种群数量的自然假设。(2018)，我们不再估计和反演协方差矩阵，而是直接获得精度矩阵，因为它是任何投资组合优化问题的最终输入。5.2非稀疏投资组合权重的渐近性质回顾了我们使用方程（3.9）估计的θ。因此，为了建立（3.9）中估计量的相合性，我们给出了bθε的相合性。所有定理的证明在附录中。定理2。假定假设(A.1)-(A.3)、(b.1)-(b.3)和(c.1)成立。设ωtplog p/t+1/√p。则maxi≤p(1/t)ptt=1εit-εit=OP(ωt)和maxi，tεit-εit=OP(ωt)=OP(1)。在稀疏性假设sωt=o(1)下，对于λjωt，我们得到了ax1≤j≤pbθε,j-θε,j=OP(sωt),max1≤j≤pbθε,j-θε,j=OP(sωt)。首先，稀疏性假设sωt=o(1)强于Bθε收敛所需的假设：这是保证定理3中建立的Bθ的一致性所必需的，所以我们在一开始就提出了一个更强的假设。我们还指出，乍一看，我们在定理3中的稀疏性假设比van de Geer等人所要求的要强。（2014年）和卡洛特等人然而(2019)，回想一下我们将稀疏性强加于θε，而不是与前面提到的两篇论文相反的θ。因此，这种假设很容易满足，一旦公因式因素已经被考虑，而特质成分的精度预计是稀疏的。定理2中导出的界帮助我们建立了方程（3.9）中股票收益率精确矩阵的收敛性质。在定理2的假设下，另外，假设kθε,jk=O(1),我们得到了max1≤j≤pbθj-θj=OP(sωt),max1≤j≤pbθj-θj=OP(sωt),然后利用定理3我们可以建立（2.19）中估计的MRC投资组合权重的非稀疏抵消部分的一致性。定理4。在定理3的假设下，算法3一致地估计非sparsemrc组合权重，使得kbwmrc-wmrck=OP(sω1/2t)。注意，定理4中的速率依赖于θε的稀疏性。相反，如果施加sparsityonθ，则速率变得与Callot等人导出的速率相似。(2019):s(θ)3/2ω1/2t=oP(1)，其中s(θ)是θ的最大顶点度。在它们的情况下，如果股票收益的精度矩阵不是稀疏的，那么组合权重的一致估计是可能的，如果(p-1)3/2(plog p/t+1/√p)=o(1)。然而，由于要求p小于t1/3，这不包括高维情况。5.3去偏投资组合权重的渐近性质我们现在开始研究去偏投资组合的稀疏MRC投资组合权重的性质，由以下定理总结：定理5。Letbσ是满足(b.1)的协方差矩阵的估计量，Bθ是算法3中利用FMB得到的精度估计量。在定理3的假设下，考虑了线性模型(2.18)，其中e→D(0,σEI)，其中σe=O(1)。考虑在（2.19）中的Lasso回归中选取合适的参数λωt，在（3.1）中的Lasso逐点回归中选取合适的参数λjωtinj。假设(süs)log p/√t+√t/p=o(1).那么√t(bwdefisting-w)=W+，W=bθre/√t，kk∞=oP(süs)log p/√t+√t/p=oP(1)。此外，如果eN(0,σei)，letbΩbθb∑bθ。然后是W RóNp(0,σEbΩ)和BΩ-θ∞=OP(1)。

我们的定理5是van deGeer等人定理2.4的推广。（2014）对于非IID情况，后者是在Chang et al.（2018）的帮助下实现的。此外，在van de Geer等人的定理5和定理2.4之间还存在一些基本的分歧。(2014):first我们应用nodewise回归估计因子调整收益的解析精度矩阵，解释了收敛速度的不一致性。具体来说，范德格尔等人。（2014）有ωT=plog p/T，而我们有ωT=plog p/T+1/√p，其中1/√p是由于需要估计因子的事实而产生的。然而，我们注意到，由于我们处理的是高维区域p≥T，这个加法项是渐近可忽略的，我们只保留它以供参考。第二，与范德格尔等人的对比。(2014)(2.19)中Lasso回归中的因变量未知，需要估计。引理2表明，通过构造精度矩阵，定理3中的估计量与定理3中的界一致且具有相同的速率。第三，有趣的是，(2.19)中关于Lasso回归的稀疏性假设与van de Geer等人的假设相同。（2014）：如附录所示，当股票收益率服从未知因子结构时，该条件仍然是保证偏差项渐近可忽略的条件。一旦我们在（2.18）中引入e的高斯性，我们就可以推断投资组合权重的分布。注意，在这种情况下，正态分布的误差并不意味着股票收益也是高斯的：我们在（5.1）中没有假定εt·Np(·)。未知的σ可以用协调估计量代替。最后，即使当e的高斯性放宽时，我们也可以使用中心极限定理的论点来获得W的近似高斯性，或者适度增长的维数（更多细节见van de Geer et al.(2014)，然而，为了不转移本文的重点，我们将其留待将来讨论。5.4后套索组合加权的渐近性质在算法1中建立后套索估计器的性质，我们侧重于MRCweight公式，因为它满足了标准的后套索假设。对于GMV和MWC公式，算法1中描述的过程不是通常意义上的“后套索”。具体来说，后者假设算法1中的两个步骤都有相同的目标函数，这对GMV和MWC来说是违反的。因此，我们将这两个投资组合公式的严格理论推导留给未来的研究。对于MRC，我们使用了Belloni和Chernozhukov(2013)建立的后模型选择结果，具体来说，我们得到了以下定理：定理6。假设经验Gram矩阵上的限制特征值条件和限制稀疏特征值条件成立（参见Belloniand Chernozhukov(2013)，第529页）。如果是算法1的后套索权估计量，我们得到KBW-WK=OPσe(Sωt)ü(sωt)，一般情况下，σEs qt+√p，如果S≥sand^=wp→1。定理6的证明很容易从Belloni和Chernozhukov(2013)的推论2的证明中得到，这里省略。让我们来评论后拉索估计的上界：由于需要估计方程（2.18）中的因变量，所以出现了项(Sωt)ü(sωt)，这就产生了boundin Belloni和Chernozhukov(2013)与我们的定理6之间的关系。其次，与Belloni和Chernozhukov(2013)类似，当（1）特质组件的精度矩阵足够稀疏和（2）oracle模型有很好的分离COE时，上限经历了一个从标准套索所享有的oracle速率向后者提高的更快速率的转变。

值得注意的是，定理6中的上界对算法1中的第1阶段Lasso回归可能不能正确地选择theoracle模型作为子集的事实进行了否定，也就是参数的取值，即参数的取值，即参数的取值，即参数的取值，即参数的取值。最后，让我们比较定理4中的非稀疏MRC组合权重、定理5中的去偏权重和定理6中的后Lasso权重的取值速度：去偏估计的取值速度最快，其次是后Lasso和非稀疏权重。6 Monte CarloWe研究了在（2.10）中估计投资组合权重的一致性：(i)稀疏投资组合使用标准Lasso(2.19)，(ii)带去偏置的Lasso(2.24)，(iii)算法1中的后Lasso，(iv)使用FMBfrom算法3的非稀疏投资组合。我们的仿真结果分为两个部分：第一部分检验模型(i)-(iv)在高斯分布下的性能，第二部分检验在椭圆分布下性能的鲁棒性（将在后面描述）。每个部分又进一步细分为两种情况：当p<T(1)和p>T(2)时，在这两种情况下，我们都允许股票的数量随着数量的增加而增加，即p=pt→∞为T→∞。在情形1中，设p=tδ，δ=0.85和t=[2h]，对h=7,7.5,8,。...,9.5,在情形2中，设p=3·tδ,δ=0.85,其余均相等。首先考虑股票收益的数据生成过程:rt{z}p×1=m+B ft{z}k×1+εt,t=1,。.T(6.1)其中，对于每个i=1，miéN(1,1）独立。.p,ε是一个p×1随机向量随N(0,∑ε)的同步误差，其中Toeplitz矩阵∑ε参数化为ρ:∑ε=(∑ε)ij，其中(∑ε)ij=ρi-j,i,j∈1。p是由N(0,∑f=Ik/10)得到的因子的稀疏的θε,ftis aK×1向量，B是由N(0,Ik/100)得到的因子负荷的p×K矩阵。设ρ=0.5,因子数K=3,设∑=b∑fb+∑ε。为了创建稀疏的MRC投资组合权重，我们使用以下过程:figurst，我们阈值向量∑-1m，以保持顶部P/2条目的绝对值最大。这就产生了稀疏向量α=∑-1m（2.13）。我们使用∑α和∑，作为均值和协方差矩阵参数的值来生成（6.1）中的多元egaussian回报。注意，协方差的低秩加稀疏结构在这种变换下得到了保留。图3显示了在对数尺度（基数2）中，权重WMRCs与样本量T的估计值的平均误差（在蒙特卡罗模拟上）。如图3所示，(1)稀疏估计优于非稀疏估计；（2）与标准Lasso估计器相比，使用去偏置或后Lasso改进了性能。正如定理5-6所预期的，套索、去偏套索和后套索具有相似的速率，但后两种估计器具有较小的估计误差。情况2的排序仍然相似，然而，如图3所示，allestimators的性能略有恶化。高斯尾假设对模拟金融收益行为的限制太大。因此，作为第二个练习，我们检验了我们的稀疏投资组合分配估计在椭圆分布下的鲁棒性，我们在Fanet Al的基础上回顾了这些估计。（2018年）。椭圆分布族推广了多元正态分布和多元t-分布。设m∈Rpand∑∈Rp×p。一个p维随机向量r具有一个椭圆分布，记为réEDp(m,∑，ζ）,如果它有一个随机表示Rd=m+ζau,(6.2),其中U是均匀分布在Rq中单位球面Sq-1上的随机向量，ζ≥0是与U无关的标量随机变量，A∈Rp×q是满足aa=∑的确定性矩阵。正如Fan等人所指出的。(2018)，(6.2)中的表示是不可用的，因此，我们要求E[ζ]=q，使得Cov(r)=∑.

我们只考虑pr[ζ=0]=0的连续椭圆分布。椭圆分布的优势在于它能够模拟重尾数据和变量之间的尾相关性。在回顾了椭圆分布之后，我们继续进行第二部分的模拟结果。数据生成过程类似于Fan等人。（2018）：设（6.1）中的(ft，εt)与多变量t-分布共同遵循自由度。当v=∞时，符合多元正态分布，较小的v值与较厚的尾相关联。我们从协方差矩阵∑=diag(∑f,∑ε)和均值为零的多元T分布中提取T个独立样本(ft，εT),其中∑f=ik。构造∑ε时，我们使用参数化ρ=0.5的Toeplitz结构，得到稀疏的θε=∑-1ε。B的行从N(0，IK/100)中提取。图2给出了v=4.2的结果：标准套索估计器的性能恶化，在高维情况下进一步放大，在高维情况下，它表现出最差的性能。值得注意的是，post-Lasso仍然达到了最小的估计误差，其次是去偏估计。7经验应用本节分为三个主要部分。首先，我们考察了几个非稀疏投资组合的性能，包括等权重和指数型投资组合（报告了S&P500综合指数，并将其列为∑GSPC)。其次，我们研究的结果在较大自由度下的性能并没有提供任何额外的洞察力，因此我们不在这里报告它们。然而，它们可以根据要求提供。基于去偏置和后套索的稀疏投资组合。第三，我们考虑了几个有趣的时期，包括经济的不稳定状态：我们考察了在经济增长、温和的市场下跌和严重的经济衰退时期稀疏投资组合和非稀疏投资组合的优点。7.1数据使用了标准普尔500指数成份股的月收益率。通过SAS接口从CRSP和Computstat中获取S&P500成份股和股票收益率的历史数据。全样本对1980年1月1日-2019年12月1日期间的355只股票进行了480次观察。我们使用1980年1月1日至1994年12月1日（180个obs）作为训练期，1995年1月1日至2019年12月1日（300个obs）作为样本外测试期。我们在测试样本上滚动估计窗口，以每月重新平衡投资组合。在每月末，在投资组合构建之前，我们删除历史股票回报数据少于15年的股票。对于稀疏投资组合，我们采用以下策略来选择（2.16）中的调整参数λ:我们使用训练数据的三分之二（我们称之为训练窗口）来估计权重，并调整剩余三分之一训练样本中的收缩强度λ，以产生最高的锐度，作为验证窗口。我们在评估窗口和验证窗口中估计因子和因子加载。无风险率和Fama-Frenchfactors取自Kenneth R.French的数据图书馆。7.2性能测量与Callot等人相似。(2019)，我们考虑了四个常见的统计指标：夏普比率、投资组合周转率、投资组合的平均收益和风险。我们考虑两种情况：有交易费用和没有交易费用。设T表示观测次数，训练样本由m个观测量组成，测试样本为n=t-m。当不考虑交易成本时，使用每日数据得出的抽样外结论与每月报告的结论相同，因此我们不在主要手稿文本中报告它们。平均投资组合收益、风险和夏普比率分别为:μtest=nt-1xt=MBWTRT+1、(7.1)σtest=VUUTN-1t-1xt=M(BWTRT+1TMTest)、(7.2)SR=μTest/σTest。（7.3）我们遵循Ban等人的观点。（2018年）；卡洛特等人。（2019年）；德米格尔等人。

（2009年）；李（2015）对交易成本(tc)进行会计处理。根据前面提到的文献，我们设定c=50bps。以交易费用为rt+1,portfolio=bwtrt+1-c(1+bwtrt+1)pxj=1 wt+1,j-w+t，j，(7.4)其中w+t,j=wt,j1+rt+1,j+rft+11+rt+1,portfolio+rft+1，(7.5)其中rt+1,j+rft+1是第j项资产的超额收益与无风险利率之和，rt+1,portfolio=bwtrt+1+c(1+bwtrt+1)pxj=1 wt+1,j+rft+1是该组合的超额收益与无风险利率之和。样本外平均投资组合收益、风险、Sharpe比率和营业额相应地计算:μtest，tc=nt-1xt=MRT，投资组合，(7.6)σtest，tc=VUUTn-1t-1xt=M(rt，投资组合-μtest，tc)，(7.7)SRTC=μtest，tc/σtest，tc，(7.8)营业额=nt-1xt=MPxj=1wt+1，j-w+t，j。（7.9）7.3结果和讨论这组结果探讨了几种非稀疏投资组合的性能：均衡加权投资组合(EW)、指数投资组合(Index)、算法2的MB、算法3的FMB、通过谢尔曼-莫里森反演公式结合因子结构的协方差线性收缩估计器（Ledoit and Wolf(2004)，进一步参考asLW)、CLIME(Cai et al.(2011))。我们考虑了两种情况，当因素未知并使用标准PCA（统计因素）估计时，以及当因素已知时。对于统计因子，我们使用Bai and Ng(2002)和Kapetanios(2010)中讨论的信息标准，以标准的数据驱动方式确定因子数K。对于已知因素的情况，我们包括多达5Fama-French因素:FF1包括市场超额收益，FF3包括FF1 plussize因子（小减大，SMB)和价值因子（高减低，HML)，FF5包括FF3加上可投资性因子（稳健减弱，RMW)和风险因子（保守减农业，CMA)。在表2中，我们报告了(2.11)、(2.12)和（2.11）中三种替代投资组合分配的月度投资组合表现。我们设定的回报目标为μ=0.7974%，复合后相当于10%的年回报率。权重约束和风险约束Markowitz投资组合的风险目标水平设定为σ=0.05，这是S&P500指数在训练集内每月超额收益的标准差。我们现在对表2中的结果进行评论：（1）根据OOSSharpe比率计算股票收益中的因素结构改善了投资组合的表现。具体而言，忽略因子结构的EW、Index、MB和CLIME的性能比FMB和LW差。（2）使用改进的协方差估计或精度矩阵的模型在检验样本上优于EW和指数。作为一个不利因素，这样的模式有更高的成交量。第二组结果研究了稀疏投资组合的性能：我们包括我们提出的基于去偏置和后套索的方法，以及Ao等人研究的方法。（2019）（套索）无要素投资。对于后套索，我们在（2.19）中使用基于套索的权重估计器来选择权重绝对值超过小阈值的股票（我们使用=0.0001)，然后我们在（2.11）-（2.13）中使用三种替代投资组合配置与所选股票组成投资组合。让我们对表3中的结果进行评论：（1）第1栏表明，去偏置导致收益和theOOS Sharpe比率方面的显著性能改善。注意，尽管去偏投资组合的风险也更高，但它仍然满足了风险约束。这一结果强调了纠正正则化引入的偏差的重要性。（2）比较了去偏和后套索两种偏置矫正方法，发现后套索矫正具有较高的回报率和较高的风险。

然而，就样本外的锐度而言，套索后投资组合收益的增加总体上并没有超过去偏方法。（3）与表2中的非稀疏投资组合相比，稀疏投资组合具有较低的收益、风险和营业额，但OOS夏普比率是可比的，即我们没有看到任何一种方法的统一优势。因此，引入稀疏性可以让投资者以较低的回报为代价降低投资组合风险，同时保持与持有非稀疏投资组合相当的夏普比率。表4-5比较了非稀疏和稀疏（去偏“DL”和后套索“PL”）投资组合在特定时间内的表现，即在利息和风险期间的累积超额回报(CER)。所关注的第一个时期（1997-98年），将被称为“第一个时期”，与经济增长相对应，因为指数在此期间显示出正的CER。第二个关注阶段，“第二阶段”，对应于市场温和下跌，因为EW和指数有相对较小的负值CER。最后，“第三期”，对应于严重的经济衰退和EW和指数表现的显著下降。我们注意到，表4-5中对特定危机的引用并不打算将这些经济时期限制在这些时间跨度内。它们只是为感兴趣的时间间隔提供了背景。由于MWC投资组合的表现与GMV相似，为了便于表述，我们只报告MRC和GMV。让我们从表4-5中总结一下：（1）在第一阶段，依赖于协方差或精度矩阵估计的非稀疏投资组合在MRC和GMV方面都优于EW和指数。然而，在第二阶段GMV投资组合显示略负的CER，而MRC投资组合有较高的风险但正的CER（尽管比第一阶段低）。注意，在第三期，非稀疏投资组合中没有一个产生正CER，投资组合风险迅速增加。在表5中考察稀疏投资组合的性能，我们看到（2）我们提出的稀疏投资组合在所有三个感兴趣的时期都产生了正的CER。此外，即使在第I和第II期，也比非稀疏投资组合产生的回报更高。有趣的是，DL在没有高风险暴露的情况下产生阳性CER。这表明我们的投资组合权重的去偏估计具有极小极大性质。我们将后者的形式化理论处理留待以后的研究。8结论本文提出了一种构造高维稀疏投资组合的方法，解决了现有稀疏投资组合分配技术的不足。我们建立了稀疏权重估计量的oracle界，并对它们的分布提供了指导。本文从实证的角度出发，考察了稀疏投资组合在有限市场情景下的优点。我们发现，与非稀疏策略相比，我们的策略对衰退具有稳健性，在这种情况下可以用作对冲工具。我们的框架利用了网络理论中称为nodewise回归的工具，它不仅满足了理想的统计特性，而且允许研究某些行业在衰退期间是否可以作为安全避难所。我们发现，在200709年全球金融危机和新冠肺炎疫情期间，消费品、医疗保健、零售和食品等非周期性行业都在推动稀疏投资组合的回报，而保险行业在这两个时期都是最不具吸引力的投资。最后，我们开发了一个简单的框架，为如何使用本文开发的方法实施要素投资提供了明确的指导。9感谢Tae-Hwy Lee、Jean Helwege、Jang-Ting Guo、Aman Ullah、Matthew Lyle、Varlam Kutateladze和UCRiverside金融学院的深思熟虑的意见和大力支持。

我也感谢第14届国际金融会议（虚拟）、2021年西南金融协会年会和维尔纽斯大学的与会者。Referencesao,M.,Yingying,L.和Zheng,X.（2019）。大型投资组合的均值-方差逼近。金融研究述评，32(7):2890-2919.白建，吴珊（2002）.确定近似因子模型中的因子数。《经济计量学》，70(1):191-221.班，G-Y.，El Karoui，N.和Lim，A.E.(2018)。机器学习和投资组合优化。管理科学，64(3):1136-1154.Barigozzi,M.Brownlees,C.和Lugosi,G.（2018）。幂律偏相关网络模型。电子统计学报，12(2):2905-2929.贝洛尼，A.和切尔诺朱科夫，V.(2013)。高维稀疏模型中模型选择后的最小二乘法。伯努利，19(2):521-547.Belloni，A.Chernozhukov，V.和Kato，K.(2015)。最小绝对偏差回归和其他Z-估计问题的一致选择后推论。Biometrika,102（1）：77-94。Brodie,J.,Daubechies,I.,De Mol,C.,Giannone,D.和Loris,I.（2009）。稀疏稳定的markowitz投资组合。美国国家科学院院刊，106(30):12267-12272.布朗利斯，C.，Nualart，E.，Sun,Y.(2018).实现的网络。应用计量经济学杂志，33(7):986-1006.卡乔利，F.，Kondor，I.，Marsili，M.，Still,S.(2016).资产组合优化中的流动性风险和不稳定性。国际金融理论与应用学报，19(05):1650035.蔡涛，刘伟，罗旭（2011）.稀疏精度矩阵估计的约束L1-最小化方法。美国统计协会学报，106(494):594-607.卡洛特，L.，Caner，M.，E.O.，A.O.和Ulas安，E.(2019)。估计大型投资组合的逐步回归方法。商业与经济统计杂志，0(0):1-12.卡洛特，L.A.F.，Kock，A.B.，Medeiros，M.C.(2017)。建模和预测大型实现了协方差矩阵和投资组合选择。应用计量经济学杂志，32(1):140-158.卡纳，M.，科克，A.B.(2018)。用Desparsi保守套索对高维参数的渐近诚实控制区域。计量经济学学报，203(1):143-168.张洁，邱燕，姚琴，邹东（2018）.大精度矩阵项的控制区域。计量经济学杂志，206(1):57-82.Demiguel,V.，Garlappi,L.和Uppal,R.（2009）.最优与幼稚的背离：1/N投资组合策略是怎样的？金融研究回顾，22(5):1915-1953.法马，E.F.和弗伦奇，K.R.(1993)。股票和债券收益中常见的风险因素。金融经济学学报，33(1):3-56.法马，E.F.，French，K.R.(2015).一个fireve-factor资产定价模型。金融经济学学报，116(1):1-22.范军，廖永，明切瓦，明永（2011）.近似因子模型中的高维协方差矩阵估计。《统计年鉴》，39(6):3320-3356.范建，廖永，明切瓦，M.(2013).基于阈值化正交互补的大协方差估计。英国皇家统计学会学报：B辑（统计方法学），75(4):603-680.范军，刘海，王伟（2018）.椭圆因子模型的大协方差估计。统计年鉴，46(4):1383-1414.范军，翁海，周勇（2019）.高维均值和协方差矩阵泛函的最优估计。ARXIV:1908.07460.Friedman,J.,Hastie,T.和Tibshirani,R.（2008）。用图形套索进行稀疏逆协方差估计。生物统计学，9(3):432-441.Hautsch,N.,Kyj,L.M.和Oomen,R.C.A.（2012）.高维实现协方差估计的分块正则化方法。应用计量经济学杂志，27(4):625-645.贾万玛德，和蒙塔纳里，A.(2014a)。高维回归的区间和假设检验。

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皇家统计学会杂志：系列B（统计方法），76（1）：217-242.图3：对数尺度上WMRCF病例1估计量的平均误差（左）：p=t0.85,K=3,对数标度2（右）：p=3·t0.85,K=3。图4：椭圆分布(Ⅴ=4.2):wMRCfor病例1对数量表估计量的平均误差（左）：p=t0.85,K=3，对于情况2在对数标度上（右）：p=3·t0.85,K=3.去偏后拉索马科维茨(RC)马科维茨(RC)马科维茨(WC)GMVReturn Risk Risk Risk Risk Risk Risk Risk SR Rispert Risk Risk SR Rispert Risk SR Rispert Risk SR Rispert Risk SR Rispert Risk SR Rispert Risk SR Rispert Risk SR Rispert Risk SR Rispert Rist SR Turnover Risk SR Turnover Bush Tro Turnover Bush Tro Turnover Bush0.0287 0.1217 0.2362--0.0174 0.4987-0.0350--0.0187 0.4941-0.0379套索(PC)0.0006 0.0052 0.1122去偏置套索(PC)0.0067 0.0265 0.2542-0.0290 0.1005 0.2882-0.0075 0.0624 0.1205-0.0087 0.0458 0.1901套索(FF1)0.0007 0.0039 0.1902去偏置套索(FF1)0.0109 0.0346 0.3213-0.0207 0.1192 0.1738-0.0031 0.2468 0.0124--0.0222 0.6047-0.0367套索(FF3)0.0004 0.0040 0.1113去偏置套索(FF3)0.0072 0.0265 0.2721-0.0157 0.1245 0.1263-0.0136 0.1153 0.1182--0.0226 0.6054-0.0373套索(FF5)0.0002 0.0042 0.0577去偏置套索(FF5)0.0073 0.0300 0.2467-0.0212 0.1127 0.1879-0.0093 0.0693 0.1342-0.0094 0.0980 0.0959与TCLasso(PC0)0.0006 0.0049 0.1189 0.0719去偏拉索(PC0)0.0020 0.0100 0.1953 0.7952 0.0262 0.1212 0.2155 2.1249-0.0191 0.4945-0.0383 1.5373-0.0199 0.4945-0.0402 1.0737拉索(PC)0.0004 0.0052 0.0845 0.1136 1.0055 0.0265 0.2061 1.2113 0.0268 0.2668 2.1756 0.0059 0.0624 0.0940 1.5777 0.0076 0.0458 0.16624 0.1756 0.0789去偏拉索(FF1)0.0100 0.0346 0.2949 0.8298 0.0186 0.1192 0.1559 2.1589 0.0013 0.2458 0.0052 1.7374-0.0234 0.6056-0.0386 1.1113拉索(FF3)0.0003 0.0040 0.0852 0.0785去偏拉索(FF3)0.0062 0.0265 0.2352 0.9142 0.0134 0.1245 0.1077 2.2245 0.0120 0.1149 0.1046 1.6208-0.0236 0.6058-0.03901.0482套索(FF5)0.0001 0.0042 0.0310 0.0861去偏套索(FF5)0.0062 0.0300 0.2124 0.9507 0.0184 0.1122 0.1639 2.2542 0.0076 0.0693 0.1098 1.6033 0.0083 0.0980 0.0844 1.0944表3：稀疏投资组合（FMB用于去偏）：每月投资组合收益、风险、夏普比率和成交量。交易费用设为50个基点，目标风险设为σ=0.05（标准普尔500指数1980-1995年训练期内每月超额收益的标准差），每月目标收益为0.7974%，复合后相当于10%的年收益。采用精度矩阵的因子逐步回归估计器进行去偏。后套索选择阈值=0.0001。样本内：1980年1月1日-1995年12月31日（180个obs），样本外：1995年1月1日-2019年12月31日（300个obs）。附录本附录我们收集了定理2-5的证明。A.1定理2的证明定理2的部分在Fan等人中得到了证明。（2018）（参见他们对定理2.1的证明）在假设(a.1)-(a.3)、(b.1)-(b.3)和log p=o(T)下。为了证明因子调整收益的精度矩阵的收敛速度，我们跟随Chang等人。(2018)，Caner和Kock(2018)和Callot等人（2019年）。利用maxi≤p(1/t)ptt=1εit-εit=OP(ωt)和maxi，tεit-εit=OP(ωt)=OP(1)的事实，我们得到max1≤j≤pkbγj-γjk=OP(sωt),其中bγj=OP(3.1)。A.1的证明类似于Chang等人的方程（23）的证明。(2018)，其情况为ωt=plog p/t。类似于卡洛特等人。(2019)，考虑以下线性模型:bεj=be-jγj+ηj，对于j=1，。..,p,(a.2)ehηjbe-ji=0.van de Geer et al.（2014）和Chang等人。（2018）表明最大值1≤J≤PηJBe-J∞/t=OP(ωt)。(a.3)设τjeηηjηj，则我们有一个定理:1≤j≤pηjηj/t-τj=OP(ωt)。(A.4)注意，(A.4)中的速率与Chang等人引理1中的速率相同。

(2018)ωt=plog p/t。然而，(a.4)中的速率是van de Geer等人导出的速率。（2014）因为我们允许因子调整后的回归之间的时间依赖性，回想一下τj=bεj-be-jbγj/t+λjkbγjk。利用三角不等式，我们得到:max1≤j≤pτj-τj≤max1≤j≤pηj≤pηjηj/tτj{z}i+max1≤j≤pηjbe-jγj)/t{z}ii+max1≤j≤pηjbe-jγj/t{z}iii+max1≤j≤pγjbe-j-j(bγj-j)/t{z}iii+max1≤j≤pηjbe-j/t∞max1≤j≤pηjbe-j/t∞jk=OP(sωt)，我们使用了A.1和A.3。对于iiii，我们有III≤max1≤j≤pηjbe-j/t∞max1≤j≤pkγjk=OP(√sωt)，其中我们使用了A.3，并且事实是kγjk≤√sjkγjk=O(√sj)。为了限制最后一项，我们在结点回归中使用了KKT条件:max1≤j≤pbe-jbe-j(bγj-γj)/t∞≤max1≤j≤pbe-jηj/t∞+max1≤j≤pλj=OP(ωt)，其中我们使用了A.3和λjωt。下面是Ativ=OP(ωt)max1≤j≤pkγjk=OP(√sωt)。因此，我们现在证明了max1≤j≤pτj-τj=OP(√sωt)。(A.5)利用1/τj=O(1)的事实，我们也得到1/τj-1/τj=OP(√sωt)。(A.6)最后，利用Caner和Kock(2018)(b.51)-(b.53)中的分析，我们得到了max1≤j≤pbθε，j-θε，j=OP(stωt)。(a.7)为了证明因子调整收益精度的第二个速率，我们注意到Chang等人得到的max1≤j≤pkbγj-γjk=OP(√sωt)，(a.8)。（2018）（参见他们的引理2）。我们可以写出ax1≤j≤pbθε,j-θε,j≤max1≤j≤p[kbγj-γjk/τj+kγjk1/τj-1/τj]=OP(√sωt)。(a.9)A.2定理3letbj=bλ1/2bàbθεbàbλ1/2andej=eλ1/2e'Aθεeàeλ1/2的证明。另外，用3.9中的Sherman-Morrison-Woodbury公式，我们得到了bθ-θ≤bθε-θε+δinv。(A.10)正如Fan等人所指出的。(2018)，invcan由以下三个项限定:(bθε-θε)e^ae^a1/2(ik+ej)-1e^a1/2e'Aθε=OP(sωt·p·p·√s),θε(b^abλ1/2-e'Aeλ1/2)(ik+ej)-1e^a1/2e'Aθε=OP(√s·pωt·p·√s),θεeλ1/2e^a((ik+bj)-1à(ik+ej)-1à(ik+ej)-1à(ik+ej)-1à(ik+ej)-1à(ik+ej)-1à(ik+ej)-1à(ik+ej)）-1)E'Aθε=OP(√s·p·psωt√s）。为了推导出上述速率，我们使用了(B.1)-(B.3)、定理2和B^aB^aBàB'A-BB f=OP(pωt)这一事实。定理3中的第二个速率可以用上述关于L-范数的技巧很容易地得到。定理4-5引理1的A.3引理。在定理3的假设下，(a)kbm-mkmax=OP(plog p/t)，其中m是3.2小节中股票收益的无条件均值，而bm是样本均值。(b)θ=O(s)。(a)部分的证明在Chang等人中提供。（2018）（引理1）。(b)为了证明(b)部分，我们使用3.9中的谢尔曼-莫里森-伍德伯里公式:θ≤θε+θεb[ik+bθεb]-1bθε=O(√s）+O(√s·p·p·√s）=O(s）。(A.11)在定理5的假设下，得到了A.11中的最后一个等式。这一结果在几个方面具有重要意义：它表明股票收益率精度矩阵的稀疏性是由特征变量精度的稀疏性控制的。因此，当返回遵循因子结构时，不需要先验地对返回的精度强加不切实际的稀疏性假设--当考虑到常见运动时，精度的稀疏性将被忽略。引理2。definitneθ=mθm/p和g=√mθm/p。LetBθ=BMBθBM/P和bg=PBMBθBM/P。在定理3的假设下:(a)θ=O(1).(b)bθ-θ=OP(sωt)=OP(1).(c)by-y=OP(sωt)=OP(1),其中y定义在（2.17）中。(d)bg-g=oP[sωt]1/2=oP(1)。证明。(a)(a)部分很琐碎，直接从θ=O(1)中得到。(b)首先，重写感兴趣的表达式

(A.12)我们现在使用Callot et al.(2019)中导出的表达式（参见他们对引理A.3)、引理1的证明以及log p/t=o(1)的事实来约束A.12中的每一项。(bm-m)(bθ-θ)(bm-m)/p≤kbm-mkmax bθ-θ=op log pt·sωt(a.13)(bm-m)θ(bm-m)/p≤kbm-mkmaxθ=op log pt·s。(A.14)(bm-m)θm/p≤kbm-mkmaxθ=op rlog pt·s。(a.15)m(bθ-θ)(bm-m)/p≤kBm-mkmax bθ-θ=op rlog pt·sωt。(A.16)m(bθ-θ)m/p≤bθ-θ=opsωt。(a.17)(c)部分(c)基本上是(b)部分的结果。(d)这是(b)部分的直接结果，以及使用（2.13）中MRC权重的规定证明定理4的事实Pbθ-θ≥Pbθ-τθ.a.4,我们可以重写kbwmrc-wmrck≤gph(Bθ-θ)(Bm-m)+(Bθ-θ)m+kθ(Bm-m)ki+bg-gkθmkbgg≤gphp bθ-θk(Bm-m)kmax+p bθ-θkmkmax+pbg-gθkmkmaxbgg=opsωt·rlog pt+opsωt+ops·rlog pt+oP[sωt]1/2·s=oP(1)，其中我们使用引理1-2得到了定理5A.5的证明（3.1）中nodewise Lasso的KKT条件意味着τj=(bεj-be-jbγj)bεj/t，因此bεjbebθε,j/t=1。(2014)，这些KKT条件还暗示了be-jbebθε,j∞/t≤λj/τj。(A.18)因此，精度矩阵的估计量需要满足以下“扩展的KKT”条件:B∑εBθε,J-ej∞≤λj/τj,(A.19)其中ej是第j个单位列向量。结合定理3和(a.19)中的n范数中的速率，我们得到:b∑bθj-ej∞≤λj/τj，(a.20)使用(2.23)中的参数对(2.23)中的参数进行计算，可以很简单地看出:kk∞/√t=(bθb∑-Ip)(bw-w)∞≤bθb∑-Ip∞kbw-wk。(A.21)因此，将(A.20)和(A.21)结合起来，我们得到了K∞k∞≤√tkbw-wkmaxjλj/τj=oP√t·(Süs)ωt·ωt(A.22)=oP(Süs)log p/√t+√t/p=oP(1)。(A.23)最后，我们证明了BΩ-θ∞=oP(1)。利用定理3和引理1，我们得到了bθj=OP(sj)。此外，bΩ=bθb∑bθ=(bθb∑-Ip)bθ+bθ。(A.24)并用A.20和A.21与maxjλJSJ=oP(1):(BθB∑-Ip)Bθ∞≤maxjλJBθJ/τJ=oP(1).(A.25)如下:bθ-θ∞≤maxj bθj-θj≤maxjλj√sj=oP(1)。(A.26)结合A.24-A.26完成了证明。