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关于篮子的概率密度函数
nandehutu2022
641 11
2022-04-16
摘要翻译：
一个篮子的状态价格密度，即使在不相关的布莱克-斯科尔斯动力学下，也不允许封闭的密度。（这句话可以被改写为对数和的陈述，尤其令人讨厌，因为这句话在金融和精算数学中使用得最频繁。）在这篇文章中，我们分别讨论了短时间和小波动率的扩展。该方法适用于具有相关性的一般多因素模型，并导致对一个普通（哈密顿）微分方程组的分析。也许令人惊讶的是，即使在两个资产布莱克-斯科尔斯的情况下（以其平坦的几何形状），扩张可以在一个关键的（篮筐）打击水平上退化；一种在迄今为止的文献中似乎没有被注意到的现象。显式的计算将这与从一个唯一的路径到一个以上的“最可能的”路径的相变联系起来（沿着这条路径，如果适当地加以条件，扩散集中在上述制度中）。这也提供了一个（可量化的）理解，一个目前没有钱的篮子选择如何准确地最终仍然是在钱里。
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英文标题：
《On the probability density function of baskets》
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作者：
Christian Bayer, Peter Friz, Peter Laurence
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最新提交年份：
2016
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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英文摘要：
  The state price density of a basket, even under uncorrelated Black-Scholes dynamics, does not allow for a closed from density. (This may be rephrased as statement on the sum of lognormals and is especially annoying for such are used most frequently in Financial and Actuarial Mathematics.) In this note we discuss short time and small volatility expansions, respectively. The method works for general multi-factor models with correlations and leads to the analysis of a system of ordinary (Hamiltonian) differential equations. Surprisingly perhaps, even in two asset Black-Scholes situation (with its flat geometry), the expansion can degenerate at a critical (basket) strike level; a phenomena which seems to have gone unnoticed in the literature to date. Explicit computations relate this to a phase transition from a unique to more than one \"most-likely\" paths (along which the diffusion, if suitably conditioned, concentrates in the afore-mentioned regimes). This also provides a (quantifiable) understanding of how precisely a presently out-of-money basket option may still end up in-the-money.
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可人4
2022-4-16 13:43:24
关于BASKETSCHRISTIAN BAYER，PETER K.FRIZ和PETER LaurenceAbstract的概率密度函数。一个篮子的状态价格密度，即使在不相关的布莱克-斯科尔斯动力学下，也不能代表一个封闭的形式密度。（这句话可以被改写为对数和的陈述，尤其令人讨厌，因为这句话在金融和精算数学中使用得最频繁。）在这篇文章中，我们分别讨论了短时间和小波动性的扩展。该方法适用于具有关联的一般多因子模型，并导出了一个普通（哈密顿）二元方程组的分析。也许令人惊讶的是，即使在两个资产布莱克-斯科尔斯的情况下（以其克雷特几何），扩张可以在一个关键的（篮筐）打击水平上退化；一种在迄今为止的文献中似乎没有被注意到的现象。显式的计算将这与从一个唯一的路径到一个以上的“最可能的”路径的相变联系起来（如果条件适当的话，在这条路径上，直角锥集中在前面提到的制度中）。这也提供了一个（完全可以理解的）理解，一个目前没有钱的篮子期权最终可能会有多少钱。引言众所周知，独立对数正态变量的和不具有封闭形式的密度。然而，在金融和精算数学中有无数的应用，在这些应用中，这种和起着至关重要的作用，例如考虑在T时刻的Black-Scholes篮子B的定律，即d几何布朗运动的加权函数。因此，人们对近似和展开有自然的兴趣，参见例如[14]及其推论。本文详细研究了小波动性和短时状态下的尾渐近性。a.Gulisashvili和P.Tankov[23]即将完成的工作涉及尾渐近性。我们的方法并不局限于几何布朗运动的情形：原则上，在一个随机波动模型（如Stein-Stein模型[38]）中，每个Black-Scholes分量都可以被资产价格所取代，所有资产与其挥发物之间完全相关。结果表明，显式解仅依赖于一个普通直列方程组的解析可处理性。如果不给出这样的可处理性，onecan仍然继续进行数值ODE求解。事实上，我们在这里的目的不是推动我们的方法工作的一般性：人们可以而且应该期望在复杂的模型中得到涉及的答案。相反，我们的主要--也有点令人惊讶--洞察是，在最简单的可能环境中已经出现了意想不到的现象：为此，我们的重点将放在d=2独立的Black-Scholes资产的情况下，没有漂移和相关性，有单位现货和单位波动）。更具体地说，如果cbb表示篮子B在K点击出的（无钱）看涨期权的公允价值，那么对于一个小的到期日T，kcb(K,T)'A(const)exp^a(K)T！√T。然而，虽然对于大多数击出都是正确的，但对于K=K*却失败了；事实上，(kcb(K，T))K=K*'A(const)exp-λ(K*)T！t3/4。就我们所知，尽管这种情况看起来很琐碎（两个独立的布莱克-斯科尔斯资产！），但“特殊”打击水平K*的存在，在这个水平K*上，篮子期权的价值（这里是关键词和短语。对数和，焦点，黄油酱的定价在篮子上扩散。2克里斯蒂安·拜耳，彼得·K·弗里兹和彼得·劳伦塞黄油酱扩散）随着成熟度接近0，有一个“特殊”的衰减行为，这似乎是新的。这一事实有确凿的证据；最基本的论证--基于卷积积分的分析--在第2节中给出。然而，这种方法虽然告诉我们发生了什么，但并没有告诉我们它是如何发生的。这篇笔记的主要贡献恰恰是对后者的很好理解。事实上，K*有一个清晰的图像。
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大多数88
2022-4-16 13:43:30
对于K<K*，并且以货币期权到期为条件，有一个唯一的“最有可能”路径，当到期接近0时，基础资产价格过程将集中在该路径附近。然而，对于K>K*，这就不再是真的了：将会有两条不同的（在这里是同样可能的）路径发生集中。这种解释的基础是，大偏差理论不仅描述了不太可能发生的事件的概率（例如，当到期时间为零时，如果当前资金不足，则立即到期），而且还描述了这些事件发生的机制。从[1,2]开始，这种理解在以前关于篮子的工作中已经是至关重要的，这些工作旨在对篮子相对于其组件的偏斜进行量化（隐含卷）。顺便说一句，这些论文中的分析依赖于这样一个陈述，即“一般而言，在（篮击）到达流形上存在一个唯一的到达点[唯一的能量最小化路径]”。然而，在布莱克-斯科尔斯模型中，情况更复杂。事实上，我们将建立一个临界罢工*的存在，在这个临界罢工*处，人们看到从一个到两个能量最小化的阶段转变，“最有可能”路径。这个信息对交易者有意义（只要他们相信一个随着到期日接近0的di withed usion模型，这可能是一个好主意，也可能不是。..）因为它告诉他们货币篮子外期权可能仍然到期的可能情况。让我们用几个技术笔记来结束这个介绍。我们将篮子价格的演化--即使在Black-Scholes模型中--视为随机波动演化模型；由此我们得到了Bt/Bt=σ(t,ω)dWt（与σ=σ(t,Bt）的局部vol演化相反）。这应该解释为什么在[10，11]第一部分中发展的用于分析随机波动模型的方法（然后在第二部分，[11]中用于解决相关Stein-Stein模型的具体微笑问题（翅膀的形状））也适合于分析篮子。在某种意义上，本说明很可能被视为这一系列论文的第三部分。致谢：马丁·福尔德好心地告诉我们以前版本中的一些误导性提法。P.K.F。根据欧洲联盟第七框架计划(FP7/2007-2013)/ERC赠款协议NR获得了欧洲研究理事会的部分资助。258237.2。基于标准D维Wiener过程的鞍点法的计算。..,wd,bt=dxi=1siexpμit+σiwit。写出bt的概率密度函数f=fT(K)；即对于p[bt∈[K,K+dK]]/dK。当然，它是由一些(d-1)维卷积积分给出的，显式渐近展开式在鞍点法中是不可能的。对于我们的目的来说，在前面提到的最简单的可能设置中说明这些就足够了:d=2,s=s=1,μ=μ=0,σ=σ=1。扩展扩展和香草选项是可能的，将在其他地方讨论。可以表明，在接近到达流形的地方，实际上存在唯一的能量最小化路径。然后对[1,2]的（近钱）分析进行了修正。关于篮子3的概率密度函数，即bt=exp wt+exp wt。对于某些常数c=c(K)>0f(K)=exp^a(K)T！√T(c+O(T)),当K,K*,(1a)exp^a(K*)T！t3/4(c+O(T)),当K=K*,(1b)withk*=2e≈5.43656,λ(K)=inf{hK(x)x∈[0,K]}with(2)hK(x):=logx~+log(k-x).注意，对于K≤K*,我们可以显式地解决这个极小化问题，得到λ(K)=log(K/2),并得到相应的极小化子x*=K/2，对应于hK的单个局部极值。对于K>K，我们有两个全局极小值，这两个极小值不能用封闭的形式给出，因此λ(K)只能用数值来计算。0.0 0.5 1.0 1.5 2.00 2 4 6 8 10(a)HK，对于K<K，0 1 2 3 4 50 2 4 6 8 10(b)HK，对于K=K，0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10(c)HK，对于K>K，图1。
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能者818
2022-4-16 13:43:36
对于K的任意选择，(A)对于K<K*,在x=K/2上有一个唯一的全局极小值，它在h(x*)>0的意义下是不退化的；(B)对于K=K*,在x=K/2上有一个唯一的全局极小值，它在h(x*)=0的意义上是退化的；(C)对于K>K*,x=K/2给出一个局部极大值。有两个对称的GlobalMinimizer,股票价格呈对数正态分布，其参数为μi=0和ζi=σi√t=√t，其中，对数正态分布的密度由(3)fμ，ζ(x)=√2πζxexp-log x-yen2ζ给出。显然，这两个独立的对数正态随机变量之和的密度为(4)f(K)=zkfμ，ζ(k-x)fμ，ζ(x)dx.4 CHRISTIAN BAYER,PETER K.FRIZ和PETER Laurence，使用我们的特殊参数，被积函数的形式为fμ，ζ(k-x)fμ，ζ(x)=2πtx(k-x)exp-hk(x)2t！。为了将拉普拉斯近似应用到（4）中，我们计算了hK的最小值，该最小值是由规则级条件(5)hK(x)=0log xx-log(k-x)k-x=0找到的。显然，这个方程是通过选择x~=K/2--来求解的，它是唯一的全局最小值IK≤2e，否则是局部最大值，在这种情况下，我们有两个全局最小值x~<K/2<x*。当K≤2e时，我们可以直接通过计算ghk(x~*)=hK(K/2)=161-log(K/2)K和(6)hK(x~*)=0K=2e来检验最小值的退化性。再做更多的工作可以看出，在K>2e的情况下，全局最小值x~*，x~*也是非退化的。因此，当K，2e时，标准的拉普拉斯方法导致展开式(1a)。在本节的剩余部分，我们考虑退化情形并建立(1b),选择K=2e,相应地x~=e,我们得到了泰勒展开式hK(x)=hK(x~)+h(4)K(x~)(x~x~)+O((x~x~)),其中hK(x~)=2,h(4)K(x~)=20e~4,我们得到了拉普拉斯近似F(K)=ZK2πT(K~x)xexp-HK(x)2T！dx=2πT ezkexp-t！exp-5e-4(x~K/2)12T！dx(1+O(T))=1/4'A(1/4)1/4√2πeexp-t！t3/3 4(1+O(T)),其中我们使用z∞-∞exp(-αx)dx='A(1/4)2α1/4,α>0,从而得到(1b)。大偏差接近我们这里的主要工具是新的边缘密度展开在小噪声区[10]。这是用来计算相关Stein-Stein模型中隐含波动率的大冲击行为的；[38,22]。事实上，[10]的技术假设在Stein-Stein模型的分析中得到了验证，而在两个IID Black-Scholes资产的（看似）微不足道的情况下，对于一个临界冲击K=K*确实违反了[10]的技术假设。如前一节所见，(kcb(K，T))K=K*/(const)exp^a(K*)T！t1/2这样一个事实就突出了这个条件的必要性。K*的计算既可以通过从依赖于Weingarten映射的黎曼年度量学中借用的几何构造来实现，也可以通过对一个哈密顿方程系统的某种（相当）初等分析来实现。事实上，当最近在赫斯顿模型中进行了一次介绍性的研究时，哈密顿的观点自然地扩展了；[26,21]及相关文献。关于篮子5相关、局部乃至随机波动的概率密度函数。明确的答案则取决于这些（边值）ODE问题的分析能力。（当然，这类问题的数值解是众所周知的。）在下面，我们回顾[10]。考虑一个由随机方程(7)dxεt=bε,xεt+εσxεt+dwt给出的d维函数xεt≥0,其中xε=xε∈Rd,其中W=(W,...,Wm）是m维布朗运动。除非另有说明，否则我们认为:[0,1)×Rd→Rd,σ=(σ,...,σm):Rd→LIN RM,Rd和X·:[0,1)→Rd是光滑的，有界于所有阶的有界导数。
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可人4
2022-4-16 13:43:43
设σ=b(0,·),并假定对于每一个多指标α,漂移向量b(ε,·)在(8)αxB(ε,·)→αxB(0,·)=αxσ(·)的意义下一致收敛于σ，在ε↓0的紧实上(9)εb(ε,·)→εb(0,·)一致收敛于ε↓0的紧实上(10)xε=x+εx+o(ε)。定理1。（小噪声）设(xε)为dxεT=bε,xεt-dt+εσxεt-dwt的解过程，其中xε=xε∈rd。假定b(ε,·)→σ(·)在(8)，(9)意义下，xεxε→xasε→0在(10)意义下，σ.在空间中处处严格为正的意义下，σ.为非退化。fixy∈Rl,ny:=y,·.设Kybe是所有h∈h的空间，是L([0,T],Rm)中具有导数的绝对连续路的Cameron-Martin空间。解todφht=σφht dt+mxi=1σiφht dhit,φh=x∈rdsatis,φht∈ny。在y的一个邻域内，假定λy=inf(khkh:h∈Ky)是光滑的，还假定(i)只有多少个极小化子，即kminy<∞,其中kminy:=(h∈Ky:khkh=λy)；(ii)对于N，[10]意义下x是非焦的。（我们将在下面回顾如何检查这一点。）则存在C=Cx,y,t\\>0,即yεt=πlxεt=xε,1t,。..,xε,lt,1≤l≤d,允许密度扩展为fεy,t"e=e^a(y)εemax{λ(y)·yt(h):h∈Kminy}εε-l(C+O(ε))为ε↓0,其中λ表示λ的梯度。如果（7）用Stratonovich的意义来理解，使dW替换为dW,则漂移向量b(ε,·)改为~b(ε,·)=b(ε,·)-ε/2 PMI=1σi·σi。特别地，σ也是(8)意义下~b(ε,·)的极限，这可以放宽到一个弱Hoermander条件，并有一个显式的能控性条件。如果#kminy=1，则可以表示能量的光滑性，而不需要假设；[10]。还要注意，在我们对尾渐近的应用中，对于θ-标度，θ∈{1,2}，能量必须是线性的。6 CHRISTIAN BAYER,PETER K.FRIZ和PETER Laurencehere y=y(h)=y，...,yl是下列（普通）二等式xt=xb0,φHT(x)+xσ(φHT(x))^h(t)xtdt+εb0,φHT(x)dt,(11)x=x的解的投影，y=πlx。注2（局部化）。定理1（光滑的，有界的，所有阶的导数都有界）中关于Coe的b,σ的假设在这种情况下是典型的（例如，参见Ben Arous[5,6])，但在实际例子中却是罕见的。可以通过适当的本地化来解决这个问题。例如，如文[10]所详述的，形式(12)limr→∞lim supε→0εlog p[τr≤T]=-∞的一个估计，其中τr:=infnt∈[0,T]:sups∈[0,T]xεs≥Ro将允许绕过有界性假设。短时渐近。用布朗标度将短时扩展简化为小噪声扩展是经典的。在目前的情况下，我们有以下陈述，摘自[10，sec.2.1]。推论3。（短时间）考虑dxt=b(Xt)dt+σ(Xt)dW，从x=x∈Rd开始，具有C∞有界的向量序列，在σ.σ是空间各处严格正序列的意义下，这些向量序列是非退化的。固定y∈Rl,ny:=y,·&并假定(i)，(ii)如定理1所示。设f(t,·)=f t,y为yt=xt的密度。...,XLT。thenf t,yléé（const)tl/2 exp-d x,y 2 t！作为t↓0，其中d x,y是从点x到a nesubspace ny.3.2的亚黎曼距离，以(σ，..,σm）为基础。计算方面。在这里，我们根据庞特里亚金最大值原理（例如[37])的精神，提出了实际计算的机制。关于细节，我们参考[10].o哈密顿量。以SDE(7)为基础，采用双矢量σ，.我们定义了Hamiltonianh x,p b p,σ(x)+mxi=1p,σi(x)=p,σ(x)+dp,σσt(x)pe。..,Wmwere被认为是独立的。许多随机模型都是用相关布朗运动来描述的，即非平凡相关矩阵Ω=ωi,j:1≤i,j≤m,其中dDWi,wjet=ωi,jdt。
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大多数88
2022-4-16 13:43:49
哈密顿量则变成(13)H×，pó=p，σ(x)+dp，σΩσt(x)pe.下面的一个普通的直接方程组(14)πx(t)πp(t)！=ph x(t),p(t).-xh x(t),p(t).！，得到了一个解，用htè0表示，因此篮子7的概率密度函数的tè0 x,p是上述有初始数据x,p.的ODE的唯一解。我们的正则性假设足以保证唯一性和局部ODE的存在性。如[8，p.37]所示，向量fieldpH，-xh是完全的，即一个具有全局存在性。使用time-T终端数据向后启动Tunow是有用的，如XT，PT；然后，我们对给定的时间-t终端数据的（14）的唯一解写出了htètxt，pt。当然，htèthtè0x,ptheresheter=htè0x,p·.以边值问题的形式求解哈密顿问题。在给定目标流形DNA=(a,·)的情况下，文[10]的分析要求解具有混合初、终、横三个条件的哈密顿方程(14)，x()=x∈Rd，x(T)=y,·\\\\\\rlrd-l,(15)p(T)=(·,0)∈rlrd-l。注意，这是一个2d维普通二次方程组，服从d+l+(d-l)=2d条件。一般说来，这类问题的边界问题可能有一个以上的解，确切地有一个或无解。在当前的设置中，总是会有一个或多个onesolution。毕竟，我们通过[10]知道至少存在一个可以通过哈密顿方程的解重构的极小化控制手，如下步骤所述。o求极小化控制。哈密顿问题作为边值问题，有选择性地获得了序条件（极小性），从而产生了由(16)πh=σ(x(·)),p(·)给出的极小控制h=h(·)的候选项。σm(x(·))，p(·).在H∈Kabut可能不是极小化的意义下，每一个这样的候选项都是可容许的。我们由此计算每个候选项的能量KHKH=H(x，p)，并识别出那些具有最小能量的候选项（“H∈KMINA”）。通过哈密顿量输出的过程也得到一个唯一的p=p(h)。如果σ=0-像我们的情况一样-能量等于H(x，p)，否则公式稍微复杂一些。o检查非焦点性。根据[10]的认识，x=y是非焦的，当N=y时，x=y是非焦的，当xt,pt：=HT：0 x,p(h)：特特：=HT：0 x,p(h)：特特：（z,q)(z,q)=(0,0)πh0：txt+z！,pt+(q,0)！是非退化的（作为d×d矩阵；这里我们考虑(z,q)∈rd-l×rl rd，并回想一下π表示t~rd-rd的投影；在坐标πx,p=x中）。注意，在point-pointsetting中，xt=y是有限的，并且只有到达“速度”pt的扰动-没有限制，即。不考虑横截性条件。结果映射的非简并性应该称为非共轭性（两点之间；这里是xTand x）。在没有漂移向量σ时，这与非共轭的通常含义是一致的；在确定了QQ=0πH0和余切空间后，精确地得到了指数映射的二阶函数。o显式的边缘密度展开式。然后我们将εy,tó=e-c/εeC/εε-L(C+O(ε))分别为ε↓0.8CHRISTIAN BAYER,PETER K.FRIZ,PETER Laurence，c=λy。二阶指数常数cthen需要解一个(#kmina<∞)辅助函数Cf。定理1.4。对一般多维Black-Scholes模型的Black-Scholes篮的分析，我们得到了HamiltonianH(x，p)=dp,(σ(x)Ωσ(x)T)pE,其中σ(x)=(σx,..,σmxm)。虽然相应的哈密顿方程可以用封闭形式求解，但边界条件导致了非线性方程组，我们再也不能显式求解了。虽然数值解当然是可能的，但为了保持最大的可追踪性，我们将自己限制在第2节的极其简化的部分，因此我们有哈密顿量H(x，p)=(σxp)+(σxp)。
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